一元二次方程講義

1、一元二次方程講義考點(diǎn)一、概念(1)定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表達(dá)式：注：當(dāng)b=0時(shí)可化為這是一元二次方程的配方式(3)四個(gè)特點(diǎn)：(1)只含有一個(gè)未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2；(3)是整式方程要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理如果能整理為的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程 （4）將方程化為一般形式：時(shí)，應(yīng)滿足（a0）(4)難點(diǎn)：如何理解 “未知數(shù)的最高次數(shù)是2”：該項(xiàng)系數(shù)不為“0”；未知數(shù)指數(shù)為“2”；若存在某項(xiàng)指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。典型

2、例題：例1、下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）A B C D 變式：當(dāng)k 時(shí)，關(guān)于x的方程是一元二次方程。例2、方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為 。考點(diǎn)二、方程的解概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。應(yīng)用：利用根的概念求代數(shù)式的值； 典型例題：例1、已知的值為2，則的值為 。例2、關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為0，則a的值為 。說明：任何時(shí)候，都不能忽略對(duì)一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)的限制.例3、已知關(guān)于x的一元二次方程的系數(shù)滿足，則此方程必有一根為 。說明：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì) “代數(shù)式形式”的觀察，再利用特殊根“-1”巧解代數(shù)式的值。例4、已知是方程的兩個(gè)根，是方程的兩個(gè)

3、根，則m的值為 。例5、已知，求 變式：若，則的值為 。6、方程的一個(gè)根為（ ）A B 1 C D 7、若 ?？键c(diǎn)三、方程解法（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通過“降次”將它化為兩個(gè)一元一次方程。（2）方法：直接開方法；因式分解法；配方法；公式法類型一、直接開方法： 就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如 對(duì)于，等形式均適用直接開方法典型例題：例1、解方程： （2） （4） （5）例2、解關(guān)于x的方程：3. 下列方程無解的是（ ）A. B. C. D.類型二、配方法基本步驟 :1.先將常數(shù)c移到方程右邊 2.將二次項(xiàng)系數(shù)化為1 3.方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的

4、平方4.方程左邊成為一個(gè)完全平方式： 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問題。典型例題：例1、試用配方法說明的值恒大于0，的值恒小于0。例2、已知x、y為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式的最小值。變式：若，則t的最大值為 ，最小值為 。例3、已知為實(shí)數(shù)，求的值。變式1：已知，則 .變式2：如果,那么的值為 。例4、分解因式：類型三、因式分解法: 把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，讓兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè)根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法方程特點(diǎn)：左邊可以分解為兩

5、個(gè)一次因式的積，右邊為“0”，方程形式：如， ，分解方法:提公因式,利用平方差與完全平方公式,十字相乘法針對(duì)練習(xí)：例1、的根為（ ）A B C D 例2. （1）(平方差) (2) (提公因式) （3）（平方差) （4） (完全平方式) (5） (完全平方式) （6）（十字相乘法） （7）（十字相乘法） （8）(提公因式)例3、若，則4x+y的值為 。例4、方程的解為（ ）A. B. C. D.例5、解方程： 例6、已知,則的值為 。變式：已知,且,則的值為 。例7、解下列方程(1) (2x 3)2 = (3x 2)2 (2) -= x+2 (4) 5m2 17m + 14=0 (5) (x2

6、 +x+1)(x2 +x + 12)=42 類型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計(jì)算判別式的值，當(dāng)判別式大于等于零時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)a, b, c的值代入求根公式,就可得到方程的根。 條件：公式： ,典型例題：例1、選擇適當(dāng)方法解下列方程： 說明：解一元二次方程時(shí)，首選方法是因式分解法和直接開方法、其次選用求根公式法；一般不選擇配方法。類型五、 “降次思想”的應(yīng)用主要內(nèi)容：求代數(shù)式的值；解二元二次方程組。典型例題：例1、已知，求代數(shù)式的值。例2、如果，那么代數(shù)式的值。例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。說明：在運(yùn)用降次思想求代數(shù)式的值的時(shí)候，要注意兩方面的問題：能對(duì)已知式進(jìn)行靈活的

7、變形；能利用已知條件或變形條件，逐步把所求代數(shù)式的高次冪化為低次冪，最后求解。例4、用兩種不同的方法解方程組說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：先消元，再降次；先降次，再消元。但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學(xué)思想化歸思想，即把新問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為我們已知的問題.考點(diǎn)四、根與系數(shù)的關(guān)系前提：對(duì)于而言，當(dāng)滿足、時(shí)，才能用韋達(dá)定理。主要內(nèi)容：應(yīng)用：整體代入求值。典型例題：例1、已知一個(gè)直角三角形的兩直角邊長恰是方程的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊是（ ） A. B.3 C.6 D.說明：要能較好地理解、運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，必須熟練掌握、之間的運(yùn)算關(guān)系.例2、解方程組：說明：一些含有、的二元二次

8、方程組，除可以且代入法來解外，往往還可以利用根與系數(shù)的關(guān)系，將解二元二次方程組化為解一元二次方程的問題.有時(shí)，后者顯得更為簡便.例3、已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。例4、當(dāng)取何值時(shí)，方程的根與均為有理數(shù)？例5、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）時(shí)，小明因看錯(cuò)常數(shù)項(xiàng)，而得到解為8和2，小紅因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，而得到解為-9和-1。你知道原來的方程是什么嗎？其正確解應(yīng)該是多少？例6、已知，求 變式：若，則的值為 。例7、已知是方程的兩個(gè)根，那么 .測試

9、題目： 一、選擇題1解方程：3x2+27=0得（   ）.(A)x=±3  (B)x=-3   (C)無實(shí)數(shù)根   (D)方程的根有無數(shù)個(gè)2.方程(x-1)2=4的根是(   ).(A)3,-3   (B)3,-1   (C)2,-3   (D)3,-2二、填空3方程9x2=25的根是_. 4.已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一個(gè)根是2,則t=_,另一個(gè)根是_.5.關(guān)于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一個(gè)根是

10、0,則m的值為_.6.關(guān)于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的條件為_.7.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有兩個(gè)相同的解,則a=_.三、用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝嘘P(guān)于x和y的方程(x+2)(x-2)=1.   (3x-4)2=(4x-3)2 3x2-4x-4=0.     x2+x-1=0.x2+2x-1=0.   (2y+1)2+3(2y+1)+2=0. 8用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.（A） 因式分解法  （B）配方法 （C）公式法9解關(guān)于x的方程：x2-2x+1-k（x2-1）=010已知|2m-3|=1，試解關(guān)于x的方程3mx（x+1）-5（x+1）（x-1）=x211、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個(gè)月能售出500千克，銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對(duì)此回答：（1）當(dāng)銷售價(jià)定為每千克55元時(shí)，計(jì)算月銷售量和月銷售利潤。（2）商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月