單擺運(yùn)動(dòng)的描述

1、單擺運(yùn)動(dòng)的描述（1） 無(wú)阻尼單擺（小角度）上式中令 ，得到如下方程：上述方程即為相圖的方程，可由此方程畫(huà)出無(wú)阻尼單擺在小角度下的相圖：代碼如下：%w0=2%E=2時(shí)syms x y;%x表示角度,y表示角速度ezplot('x.2+4*y.2-4'),hold on%E=3時(shí)syms x y;ezplot('x.2+4*y.2-6'),hold on%E=4時(shí)syms x y;ezplot('x.2+4*y.2-8'),hold on%E=0.5時(shí)syms x yezplot('x.2+4*y.2-1'),hold onxlabe

2、l('角度')ylabel('角速度')title('無(wú)阻尼小角度單擺運(yùn)動(dòng)相圖')上圖中不同的同心橢圓表示在不同的能量下單擺的運(yùn)動(dòng)相圖，在畫(huà)上圖時(shí)，令，改變能量E得到一簇同心橢圓。改變會(huì)改變橢圓的形狀，當(dāng)時(shí)，橢圓變成圓。下面時(shí)無(wú)阻尼小角度單擺的運(yùn)動(dòng)軌跡分析：此時(shí)只要求解上述的微分方程，然后改變其中的初始條件即可，其中求解微分方程的代碼如下：%w0=1時(shí)%初始角度為pi/4時(shí)dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=0','t')%用y表示角度，Dy表示角速度%初始角度為pi

3、/3時(shí)dsolve('D2y1+y1=0','y1(0)=pi/3,Dy1(0)=0','t')%此時(shí)令y1為角度%初始角度為pi/2時(shí)dsolve('D2y2+y2=0','y2(0)=pi/2,Dy2(0)=0','t')%此時(shí)用y3表示角度畫(huà)圖的代碼如下：%初始角度為pi/4時(shí)t=0:pi/50:4*pi;y=(pi*cos(t)/4;plot(t,y),hold on%初始角度為pi/3時(shí)y=(pi*cos(t)/3;plot(t,y,'r'),hold on%初始角度為pi

4、/2時(shí)y=(pi*cos(t)/2;plot(t,y,'g'),hold onxlabel('時(shí)間')ylabel('角度')title('無(wú)阻尼小角度單擺在不同初始角度下的運(yùn)動(dòng)軌跡')legend('初始角度為pi/4的圖','初始角度為pi/3的圖','初始角度為pi/2的圖')出的圖如下：當(dāng)初始角度固定不變，改變初始角速度時(shí)，也會(huì)畫(huà)出圖，此時(shí)將初始角度固定為pi/4，畫(huà)這些圖首先需要求解運(yùn)動(dòng)方程，求解方法和上述相同，求解微分方程的代碼如下：%研究初始角度相同，初始角速度不同的時(shí)

5、候單擺的運(yùn)動(dòng)軌跡%此時(shí)都令初始的角度為pi/4%初始角速度為0時(shí)dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=0','t')%用y表示角度，Dy表示角速度%初始角速度為1時(shí)dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=1','t')%用y表示角度，Dy表示角速度%初始角速度為2時(shí)dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=2','t')%用y表示角度，Dy表示角速度%初始角速度為3時(shí)d

6、solve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=3','t')%用y表示角度，Dy表示角速度下面是畫(huà)圖的代碼：t=0:pi/50:4*pi;%w0=0y=(pi*cos(t)/4;plot(t,y),hold on%w0=1y=sin(t) + (pi*cos(t)/4;plot(t,y,'r'),hold on%w0=2y=2*sin(t) + (pi*cos(t)/4;plot(t,y,'g'),hold on%w0=3y=3*sin(t) + (pi*cos(t)/4;plot(t,y,&#

7、39;c'),hold onxlabel('時(shí)間')ylabel('角度')title('相同初始角度，不同初始角速度下的運(yùn)動(dòng)軌跡')legend('初始角速度為0的圖','初始角速度為1的圖','初始角速度為2的圖','初始角速度為3的圖')畫(huà)出的圖如下：（2）倒立擺分析倒立擺的方程為，和小角度擺相同的是，同樣通過(guò)求解方程得出運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)上式直接畫(huà)出相圖。畫(huà)圖的代碼如下：%倒立擺的運(yùn)動(dòng)相圖繪制%w0=1syms y x;%E=0時(shí)h=ezplot('y2-x2&#

8、39;),hold onset(h,'color','c')%E=1時(shí)ezplot('y2-x2-2'),hold on%E=2時(shí)h=ezplot('y2-x2-4'),hold onset(h,'color','r')%E=3時(shí)h=ezplot('y2-x2-6'),hold onset(h,'color','b')%E=4時(shí)h=ezplot('y2-x2-8'),hold onset(h,'color','k

9、')xlabel('角度')ylabel('角速度')title('倒立擺的相圖')legend('E=0的圖','E=1的圖','E=2的圖','E=3的圖','E=4的圖')畫(huà)出的圖如下：其中E=0的圖表示漸近線。下面分析倒立擺的運(yùn)動(dòng)軌跡：<1>固定初始角速度為0，改變初始角度求解微分方程代碼如下：%倒立擺的運(yùn)動(dòng)軌跡求解%初始角速度為0,改變初始角度%初始角度為pi/4dsolve('D2y-y=0','y(0)=pi/

10、4,Dy(0)=0','t')%初始角度為pi/3dsolve('D2y-y=0','y(0)=pi/3,Dy(0)=0','t')%初始角度為pi/6dsolve('D2y-y=0','y(0)=pi/6,Dy(0)=0','t')畫(huà)圖的代碼如下：%初始角速度為0%初始角度為pi/4t=0:0.01:2;y=(pi*exp(t)/8 + (pi*exp(-t)/8;plot(t,y),hold on%初始角度為pi/3y=(pi*exp(t)/6 + (pi*exp(-t)

11、/6;plot(t,y,'r'),hold on%初始角度為pi/6y=(pi*exp(t)/12 + (pi*exp(-t)/12;plot(t,y,'g')xlabel('時(shí)間')ylabel('角度')title('倒立擺在不同初始角度下的運(yùn)動(dòng)軌跡')legend('初始角度為pi/4的圖','初始角度為pi/3的圖','初始角度為pi/6的圖')畫(huà)出的圖如下：<2>固定初始角度為pi/4,改變初始角速度求解微分方程代碼如下：%初始角度為pi/4,改

12、變初始角速度%角速度為1dsolve('D2y-y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=1','t')%角速度為2dsolve('D2y-y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=2','t')%角速度為3dsolve('D2y-y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=3','t')畫(huà)圖的代碼如下：%初始角度為pi/4,改變初始角速度%w0=1t=0:0.01:2;y=exp(t)*(pi/8 + 1/2) + exp(-t)*(pi/8 -

13、 1/2);plot(t,y),hold on%w0=2y=exp(t)*(pi/8 + 1) + exp(-t)*(pi/8 - 1);plot(t,y,'r'),hold on%w0=3y=exp(t)*(pi/8 + 3/2) + exp(-t)*(pi/8 - 3/2);plot(t,y,'g')xlabel('時(shí)間')ylabel('角度')title('倒立擺在不同初始角速度下的運(yùn)動(dòng)軌跡')legend('角速度為1','角速度為2','角速度為3')畫(huà)出

14、的圖如下：（3） 有阻尼單擺有阻尼單擺的運(yùn)動(dòng)方程為：其中是阻尼系數(shù)。有阻尼單擺分為三種情況，若阻尼，臨界阻尼和過(guò)阻尼，下面畫(huà)圖來(lái)顯示這三種情況的軌跡：畫(huà)運(yùn)動(dòng)軌跡就是求解上述微分方程的問(wèn)題，代碼如下：%阻尼單擺的運(yùn)動(dòng)軌跡繪制%若阻尼下，阻尼系數(shù)為0.1dsolve('D2y+0.2*Dy+y','y(0)=pi/4,Dy(0)=0')t=0:0.01:60;y=(pi*exp(-t/10).*cos(3*11(1/2)*t)/10)/4 + (11(1/2)*pi*exp(-t/10).*sin(3*11(1/2)*t)/10)/132plot(t,y),hold

15、 on%阻尼系數(shù)逐漸增大，到臨界阻尼狀態(tài),阻尼系數(shù)為1dsolve('D2y+2*Dy+y','y(0)=pi/4,Dy(0)=0')y=(pi*exp(-t)/4 + (pi*t.*exp(-t)/4;plot(t,y,'r')%阻尼系數(shù)逐漸增大，到過(guò)阻尼狀態(tài),阻尼系數(shù)為2dsolve('D2y+4*Dy+y','y(0)=pi/4,Dy(0)=0')y=exp(t*(3(1/2) - 2)*(pi/8 + (pi*3(1/2)/12) + (3(1/2)*pi*exp(-t*(3(1/2) + 2)*(3(1/2) - 2)/24;plot(t,y,'g')xlabel('時(shí)間')ylabel('角度')title('有阻尼單擺在不同阻尼系數(shù)下的運(yùn)動(dòng)軌跡')legend('弱阻尼下的運(yùn)動(dòng)軌跡','臨界阻尼下的運(yùn)動(dòng)軌跡','過(guò)阻尼下的運(yùn)動(dòng)軌跡')畫(huà)出的圖如下：下面是相圖繪制，相圖就是繪制的一階導(dǎo)和的關(guān)系式。以初始角度為pi/4，初始角速度為0的單擺運(yùn)動(dòng)為例，求出其運(yùn)動(dòng)軌跡后再畫(huà)出相圖，其中畫(huà)相圖的代碼如下：syms t y1