無(wú)窮級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)

1、無(wú)窮級(jí)數(shù)1. 級(jí)數(shù)收斂充要條件：部分和存在且極值唯一，即：存在，稱級(jí)數(shù)收斂。2.若任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，發(fā)散，則稱條件收斂，若收斂，則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定條件收斂。.2. 任何級(jí)數(shù)收斂的必要條件是3.若有兩個(gè)級(jí)數(shù)和，則 ，。 收斂，發(fā)散，則發(fā)散。 若二者都發(fā)散，則不確定，如發(fā)散，而收斂。4三個(gè)必須記住的常用于比較判斂的參考級(jí)數(shù)：a) 等比級(jí)數(shù)：b) P級(jí)數(shù)： c) 對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)： 5.三個(gè)重要結(jié)論收斂存在正項(xiàng)（不變號(hào)）級(jí)數(shù)收收，反之不成立，和都收斂收，收6 常用收斂快慢正整數(shù) 由慢到快連續(xù)型 由慢到快7.正項(xiàng)（不變號(hào)）級(jí)數(shù)斂散性的判據(jù)與常用技巧1. 達(dá)朗貝爾比值法 2. 柯西根值法 3.

2、比階法 代數(shù)式 極限式 ，其中：和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)。 ， ，也可選用基準(zhǔn)級(jí)數(shù)就可知原級(jí)8、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判據(jù)與常用技巧 萊布尼茨判交錯(cuò)級(jí)數(shù)（任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的特例） 收斂。這是一個(gè)必要條件，如果不滿足，則必發(fā)散，若只有不滿足，則不一定收斂還是發(fā)散，要使用絕對(duì)收斂判別其斂散性。 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂使用絕對(duì)值，使之轉(zhuǎn)換為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，即絕對(duì)收斂、條件收斂或發(fā)散。 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂的兩個(gè)重要技巧： 微分積分法。換成連續(xù)變量，再利用微積分相關(guān)定理與性質(zhì)。 階無(wú)窮小試探法。在不能估計(jì)出通項(xiàng)的無(wú)窮小階次時(shí)，使用該試探法， 9.冪級(jí)數(shù) 1阿貝爾（Abel）定理如果級(jí)數(shù)當(dāng)點(diǎn)收斂，則級(jí)數(shù)在圓域內(nèi)絕對(duì)收斂；如果級(jí)數(shù)當(dāng)點(diǎn)發(fā)散，則

3、級(jí)數(shù)在圓域外發(fā)散。由阿貝爾（Abel）定理可見(jiàn)收斂點(diǎn)集或發(fā)散點(diǎn)集是分別連接成對(duì)稱連續(xù)區(qū)域，這一定理是引入冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域概念的理論依據(jù)。注意，除外，該定理并沒(méi)有完全保證圓上每一點(diǎn)的斂散性，正確理解阿貝爾定理是學(xué)好冪級(jí)數(shù)的關(guān)鍵。如推論：如果不是僅在一點(diǎn)收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂，則必有一個(gè)確定的正數(shù)存在，使得：10冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域已知，若；則根據(jù)比值判斂法有：收斂。收斂半徑：。收斂區(qū)間：級(jí)數(shù)在收斂；冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是非空點(diǎn)集，對(duì)至少在處收斂，對(duì)至少在處收斂。由阿貝爾定理可以推出：冪級(jí)數(shù)的條件收斂點(diǎn)只能位于收斂區(qū)間端點(diǎn)。收斂域：由于級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間的端點(diǎn)上（收

4、斂半徑上）收斂性待定，故收斂域是、或四種情況之一。 3在收斂區(qū)域內(nèi)的性質(zhì) (1) 的和函數(shù)連續(xù)并有任意階導(dǎo)數(shù)； (2) 可逐項(xiàng)微分 (3) 可逐項(xiàng)積分 (4) 絕對(duì)收斂。11利用泰勒公式可將常用初等函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的充要條件是泰勒公式中余項(xiàng)（包括拉氏余項(xiàng)，佩亞若余項(xiàng)）為零。以下是幾個(gè)常用的麥克勞林展開(kāi)結(jié)論。 ，5. 冪級(jí)數(shù)求和方法 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和方法 一般先求收斂域，然后逐次積分或微分，利用上述10各泰勒級(jí)數(shù)結(jié)論進(jìn)行零部件組裝 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和方法 構(gòu)造輔助冪級(jí)數(shù)法。付立葉級(jí)數(shù) 1周期函數(shù)展開(kāi)成付里葉級(jí)數(shù)為在上周期為的周期函數(shù)，則特別地，當(dāng)時(shí) 當(dāng)是偶函數(shù) 當(dāng)是奇函數(shù)2非周期函數(shù)展開(kāi)成付里葉級(jí)數(shù)方法 如果非周期函數(shù)只是定義在區(qū)間，兩種區(qū)間可以令相互轉(zhuǎn)換，為了利用付里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，必須將拓展，其方式有兩種，即：（1）偶拓展 令 ，使成為上的周期偶函數(shù)，展開(kāi)后取上的函數(shù)值即為的付里葉展開(kāi)。（2）奇拓展 令 ，使成為上的周期奇函數(shù)，展開(kāi)后取