無窮級數知識點

1、無窮級數1. 級數收斂充要條件：部分和存在且極值唯一，即：存在，稱級數收斂。2.若任意項級數收斂，發(fā)散，則稱條件收斂，若收斂，則稱級數絕對收斂，絕對收斂的級數一定條件收斂。.2. 任何級數收斂的必要條件是3.若有兩個級數和，則 ，。 收斂，發(fā)散，則發(fā)散。 若二者都發(fā)散，則不確定，如發(fā)散，而收斂。4三個必須記住的常用于比較判斂的參考級數：a) 等比級數：b) P級數： c) 對數級數： 5.三個重要結論收斂存在正項（不變號）級數收收，反之不成立，和都收斂收，收6 常用收斂快慢正整數 由慢到快連續(xù)型 由慢到快7.正項（不變號）級數斂散性的判據與常用技巧1. 達朗貝爾比值法 2. 柯西根值法 3.

2、比階法 代數式 極限式 ，其中：和都是正項級數。 ， ，也可選用基準級數就可知原級8、任意項級數的斂散性的判據與常用技巧 萊布尼茨判交錯級數（任意項級數的特例） 收斂。這是一個必要條件，如果不滿足，則必發(fā)散，若只有不滿足，則不一定收斂還是發(fā)散，要使用絕對收斂判別其斂散性。 任意項級數判斂使用絕對值，使之轉換為正項級數，即絕對收斂、條件收斂或發(fā)散。 任意項級數判斂的兩個重要技巧： 微分積分法。換成連續(xù)變量，再利用微積分相關定理與性質。 階無窮小試探法。在不能估計出通項的無窮小階次時，使用該試探法， 9.冪級數 1阿貝爾（Abel）定理如果級數當點收斂，則級數在圓域內絕對收斂；如果級數當點發(fā)散，則

3、級數在圓域外發(fā)散。由阿貝爾（Abel）定理可見收斂點集或發(fā)散點集是分別連接成對稱連續(xù)區(qū)域，這一定理是引入冪級數收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域概念的理論依據。注意，除外，該定理并沒有完全保證圓上每一點的斂散性，正確理解阿貝爾定理是學好冪級數的關鍵。如推論：如果不是僅在一點收斂，也不是在整個數軸上都收斂，則必有一個確定的正數存在，使得：10冪級數收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域已知，若；則根據比值判斂法有：收斂。收斂半徑：。收斂區(qū)間：級數在收斂；冪級數的收斂區(qū)間是非空點集，對至少在處收斂，對至少在處收斂。由阿貝爾定理可以推出：冪級數的條件收斂點只能位于收斂區(qū)間端點。收斂域：由于級數在收斂區(qū)間的端點上（收

4、斂半徑上）收斂性待定，故收斂域是、或四種情況之一。 3在收斂區(qū)域內的性質 (1) 的和函數連續(xù)并有任意階導數； (2) 可逐項微分 (3) 可逐項積分 (4) 絕對收斂。11利用泰勒公式可將常用初等函數展開成冪級數泰勒級數展開的充要條件是泰勒公式中余項（包括拉氏余項，佩亞若余項）為零。以下是幾個常用的麥克勞林展開結論。 ，5. 冪級數求和方法 函數項級數求和方法 一般先求收斂域，然后逐次積分或微分，利用上述10各泰勒級數結論進行零部件組裝 數項級數求和方法 構造輔助冪級數法。付立葉級數 1周期函數展開成付里葉級數為在上周期為的周期函數，則特別地，當時 當是偶函數 當是奇函數2非周期函數展開成付里葉級數方法 如果非周期函數只是定義在區(qū)間，兩種區(qū)間可以令相互轉換，為了利用付里葉級數展開，必須將拓展，其方式有兩種，即：（1）偶拓展 令 ，使成為上的周期偶函數，展開后取上的函數值即為的付里葉展開。（2）奇拓展 令 ，使成為上的周期奇函數，展開后取