數(shù)字圖像的傅里葉變換

1、數(shù)字圖像的傅里葉變換一. 課程設(shè)計(jì)目的（1）了解圖像變換的意義和手段（2）熟悉傅里葉變換的基本性質(zhì)（3）熱練掌握FFT的方法反應(yīng)用（4）通過(guò)本實(shí)驗(yàn)掌握利用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)數(shù)字圖像的傅里葉變換二.課程設(shè)計(jì)要求（1）熟悉并掌握傅立葉變換（2）了解傅立葉變換在圖像處理中的應(yīng)用（3）通過(guò)實(shí)驗(yàn)了解二維頻譜的分布特點(diǎn)（4）用MATLAB實(shí)現(xiàn)傅立葉變換仿真三.設(shè)計(jì)思路1.相關(guān)知識(shí)原理（1）應(yīng)用傅里葉變換進(jìn)行數(shù)字圖像處理數(shù)字圖像處理（digital image processing）是用計(jì)算機(jī)對(duì)圖像信息進(jìn)行處理的一門技術(shù)，使利用計(jì)算機(jī)對(duì)圖像進(jìn)行各種處理的技術(shù)和方法。    

2、20世紀(jì)20年代，圖像處理首次得到應(yīng)用。20世紀(jì)60年代中期，隨電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展得到普遍應(yīng)用。60年代末，圖像處理技術(shù)不斷完善，逐漸成為一個(gè)新興的學(xué)科。利用數(shù)字圖像處理主要是為了修改圖形，改善圖像質(zhì)量，或是從圖像中提起有效信息，還有利用數(shù)字圖像處理可以對(duì)圖像進(jìn)行體積壓縮，便于傳輸和保存。數(shù)字圖像處理主要研究以下內(nèi)容：傅立葉變換、小波變換等各種圖像變換；對(duì)圖像進(jìn)行編碼和壓縮；采用各種方法對(duì)圖像進(jìn)行復(fù)原和增強(qiáng)；對(duì)圖像進(jìn)行分割、描述和識(shí)別等。隨著技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字圖像處理主要應(yīng)用于通訊技術(shù)、宇宙探索遙感技術(shù)和生物工程等領(lǐng)域。傅里葉變換在數(shù)字圖像處理中廣泛用于頻譜分析，傅里葉變換是線性系統(tǒng)分析的一個(gè)有力

3、工具，它使我們能夠定量地分析諸如數(shù)字化系統(tǒng)，采樣點(diǎn)，電子放大器，卷積濾波器，噪聲，顯示點(diǎn)等地作用（效應(yīng)）。傅里葉變換（FT）是數(shù)字圖像處理技術(shù)的基礎(chǔ)，其通過(guò)在時(shí)空域和頻率域來(lái)回切換圖像，對(duì)圖像的信息特征進(jìn)行提取和分析，簡(jiǎn)化了計(jì)算工作量，被喻為描述圖像信息的第二種語(yǔ)言，廣泛應(yīng)用于圖像變換，圖像編碼與壓縮，圖像分割，圖像重建等。因此，對(duì)涉及數(shù)字圖像處理的工作者，深入研究和掌握傅里葉變換及其擴(kuò)展形式的特性，是很有價(jià)值得。（2）關(guān)于傅里葉（Fourier）變換在信號(hào)處理中，傅里葉變換可以將時(shí)域信號(hào)變到頻域中進(jìn)行處理，因此傅里葉變換在信號(hào)處理中有著特殊重要的地位。傅里葉變換能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示

4、成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。傅里葉變換屬于諧波分析。傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似；正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個(gè)不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲取; 卷積定理指出:傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算,從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段; 離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出(其算法稱為快速傅里

5、葉變換算法(FFT).（3）傅里葉（Fourier）變換基本性質(zhì)a.線性性質(zhì)兩函數(shù)之和的傅里葉變換等于各自變換之和。數(shù)學(xué)描述是：若函數(shù)f left ( xright )和g left(x right)的傅里葉變換mathcalf和mathcalg都存在， 和 為任意常系數(shù)，則mathcalalpha f+beta g=alpha mathcalf+betamathcalg；傅里葉變換算符mathcal可經(jīng)歸一化成為么正算符；b.頻移性質(zhì)若函數(shù)f left( xright )存在傅里葉變換，則對(duì)任意實(shí)數(shù) 0，函數(shù)f(x) ei omega_ x也存在傅里葉變換，且有mathcalf(x)ei o

6、mega_ x=F(omega + omega _0 ) 。式中花體mathcal是傅里葉變換的作用算子，平體F表示變換的結(jié)果（復(fù)函數(shù)），e 為自然對(duì)數(shù)的底，i 為虛數(shù)單位sqrt；c.微分關(guān)系若函數(shù)f left( xright )當(dāng)|x|rightarrowinfty時(shí)的極限為0，而其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的傅里葉變換存在，則有mathcalf'(x)=-i omega mathcalf(x)，即導(dǎo)函數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子-i 。更一般地，若f(pminfty)=f'(pminfty)=ldots=f(k-1)(pminfty)=0,mathcalf(

7、k)(x)存在，則mathcalf(k)(x)=(-i omega) mathcalf ，即 k 階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子( i)k。d.卷積特性若函數(shù)f left( xright )及g left( xright )都在(-infty,+infty)上絕對(duì)可積，則卷積函數(shù)f*g=int_-infty+infty f(x-xi)g(xi)dxi的傅里葉變換存在，且mathcalf*g=mathcalfcdotmathcalg 。卷積性質(zhì)的 逆形式為mathcalF(omega)G(omega)= mathcalF(omega) *mathcal G(omega) ，即兩

8、個(gè)函數(shù)乘積的傅里葉逆變換等于它們各自的傅里葉逆變換的卷積。(4)傅里葉變換的不同變種a.連續(xù)傅里葉變換一般情況下,若“傅立葉變換”一詞的前面未加任何限定語(yǔ)，則指的是“連續(xù)傅里葉變換”。“連續(xù)傅里葉變換”將平方可積的函數(shù)f(t) 表示成復(fù)指數(shù)函數(shù)的積分或級(jí)數(shù)形式。f(t)=mathcalF(omega)=fracsqrt2pi intlimits_-inftyinfty F(omega) eiomega t,domega. 上式其實(shí)表示的是連續(xù)傅里葉變換的逆變換，即將時(shí)間域的函數(shù)f(t)表示為頻率域的函數(shù)F()的積分。反過(guò)來(lái),其正變換恰好是將頻率域的函數(shù)F()表示為時(shí)間域的函數(shù)f(t)的積分形式

9、。一般可稱函數(shù)f(t)為原函數(shù),而稱函數(shù)F()為傅里葉變換的像函數(shù),原函數(shù)和像函數(shù)構(gòu)成一個(gè)傅立葉變換對(duì)(transform pair)。一種對(duì)連續(xù)傅里葉變換的推廣稱為分?jǐn)?shù)傅里葉變換（Fractional Fourier Transform）。當(dāng)f(t)為奇函數(shù)(或偶函數(shù))時(shí),其余弦(或正弦)分量將消亡,而可以稱這時(shí)的變換為余弦轉(zhuǎn)換(cosine transform) 或 正弦轉(zhuǎn)換(sine transform).另一個(gè)值得注意的性質(zhì)是,當(dāng)f(t) 為純實(shí)函數(shù)時(shí),F() = F()*成立.b.傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù)形式的傅里葉變換其實(shí)是傅里葉級(jí)數(shù)的推廣，因?yàn)榉e分其實(shí)是一種極限形式的求和算子而已。對(duì)于周期

10、函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)是存在的：f(x) = sum_n=-inftyinfty F_n ,e , 其中Fn 為復(fù)振幅。對(duì)于實(shí)值函數(shù)，函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)可以寫成：f(x) = fraca_0 + sum_n=1inf tylefta _ncos(nx)+b_nsin(nx)right,其中an和bn是實(shí)頻率分量的振幅。c.離散時(shí)間傅里葉變換離散傅里葉變換是離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）的特例（有時(shí)作為后者的近似）。DTFT在時(shí)域上離散，在頻域上則是周期的。DTFT可以被看作是傅里葉級(jí)數(shù)的逆。d.離散傅里葉變換為了在科學(xué)計(jì)算和數(shù)字信號(hào)處理等領(lǐng)域使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行傅里葉變換，必須將函數(shù)xn 定義在離散點(diǎn)而非

11、連續(xù)域內(nèi)，且須滿足有限性或周期性條件。這種情況下, 使用離散傅里葉變換，將函數(shù) xn 表示為下面的求和形式：x_n = frac1 sum_k=0 X_k eifrac2pi kn qquad n = 0,dots,N-1 其中Xk是傅里葉振幅。直接使用這個(gè)公式計(jì)算的計(jì)算復(fù)雜度為mathcal(n2)，而快速傅里葉變換（FFT）可以將復(fù)雜度改進(jìn)為mathcal(n log n)。計(jì)算復(fù)雜度的降低以及數(shù)字電路計(jì)算能力的發(fā)展使得DFT成為在信號(hào)處理領(lǐng)域十分實(shí)用且重要的方法。在阿貝爾群上的統(tǒng)一描述以上各種傅里葉變換可以被更統(tǒng)一的表述成任意局部緊致的阿貝爾群上的傅里葉變換。這一問(wèn)題屬于調(diào)和分析的范疇。

12、在調(diào)和分析中, 一個(gè)變換從一個(gè)群變換到它的對(duì)偶群(dual group)。此外，將傅里葉變換與卷積相聯(lián)系的卷積定理在調(diào)和分析中也有類似的結(jié)論。傅里葉變換的廣義理論基礎(chǔ)參見(jiàn)龐特里雅金對(duì)偶性（英文版）中的介紹。e.時(shí)頻分析變換小波變換，chirplet轉(zhuǎn)換和分?jǐn)?shù)傅里葉轉(zhuǎn)換試圖得到時(shí)間信號(hào)的頻率信息。同時(shí)解析頻率和時(shí)間的能力在數(shù)學(xué)上受不確定性原理的限制。傅里葉變換是一種函數(shù)的正交變換，如果將信號(hào)以函數(shù)來(lái)描述，正交變換的含義就是將一個(gè)函數(shù)分解成一組正交函數(shù)的線性組合。傅里葉正、逆變換的計(jì)算公式分別為：逆變換：顯然，對(duì)一個(gè)非周期信號(hào)，其頻譜為連續(xù)譜。對(duì)于二維信號(hào)，二維Fourier變換定義為：逆變換：在

13、數(shù)字圖像處理領(lǐng)域中，f(x,y)可以用來(lái)表示一幅圖像，而F(u,v)就表示該圖像的頻譜。二維離散傅里葉變換為：逆變換：快速傅里葉變換（FFT）要達(dá)到的目的是，將前面所給出的傅里葉變換的計(jì)算公式，通過(guò)一定的整理之后，找到一個(gè)可以將復(fù)雜的連加運(yùn)算轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的兩個(gè)數(shù)相加運(yùn)算的重復(fù)的方法，已減小傅里葉變換的計(jì)算時(shí)間代價(jià)。經(jīng)過(guò)傅里葉變換之后，可以獲得原圖像信號(hào)的頻域分布情況。由于圖像中不同特性的像素具有不同的頻域特性，因此，可以在頻域上設(shè)計(jì)相應(yīng)的濾波器，以達(dá)到濾除某些信息，或者保留某些信息的目的。另外，因?yàn)楦道锶~變換后，時(shí)域與頻域形成了對(duì)偶運(yùn)算關(guān)系，因此通過(guò)傅里葉變換也可以達(dá)到某些運(yùn)算的簡(jiǎn)化目的。2.應(yīng)

14、用軟件MATLAB簡(jiǎn)介MATLAB Compiler是一種編譯工具，它能夠?qū)⒛切├肕ATLAB提供的編程語(yǔ)言M語(yǔ)言編寫的函數(shù)文件編譯生成標(biāo)準(zhǔn)的C/C+語(yǔ)言源文件，而生成的標(biāo)準(zhǔn)C/C+源代碼可以被任何一種C/C+編譯器編譯生成函數(shù)庫(kù)或者可執(zhí)行文件，這樣就可以擴(kuò)展MATLAB功能，使MATLAB能夠同其他高級(jí)編程語(yǔ)言(例如C/C+語(yǔ)言)進(jìn)行混合應(yīng)用，取長(zhǎng)補(bǔ)短，以提高程序的運(yùn)行效率，豐富程序開(kāi)發(fā)的手段。    MATLAB除了能夠和C/C+語(yǔ)言集成開(kāi)發(fā)以外，目前的MATLAB還提供了和Java語(yǔ)言接口的能力，并且它還支持COM標(biāo)準(zhǔn)，能夠和任何一種支持COM標(biāo)準(zhǔn)的軟件協(xié)

15、同工作。另外，在Release 13中，包含了MATLAB Compiler的擴(kuò)展產(chǎn)品MATLAB COM Builder和Excel Builder，分別用來(lái)將MATLAB的函數(shù)文件打包成COM組件或者Excel插件，將MATLAB應(yīng)用程序算法集成到相應(yīng)的開(kāi)發(fā)工具或者應(yīng)用軟件中。MATLAB的主要特點(diǎn)：（1）語(yǔ)言簡(jiǎn)潔緊湊，使用方便靈活，庫(kù)函數(shù)極其豐富。（2）運(yùn)算符豐富。由于MATLAB是用C語(yǔ)言編寫的，MATLAB提供了和C語(yǔ)言幾乎一樣多的運(yùn)算符，靈活使用MATLAB的運(yùn)算符將使程序變得極為簡(jiǎn)短。（3）MATLAB既具有結(jié)構(gòu)化的控制語(yǔ)句（如for循環(huán)，while循環(huán)，break語(yǔ)句和if語(yǔ)句

16、），又有面向?qū)ο缶幊痰奶匦浴＃?）程序限制不嚴(yán)格，程序設(shè)計(jì)自由度大。例如，在MATLAB里，用戶無(wú)需對(duì)矩陣預(yù)定義就可使用。（5）程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各種型號(hào)的計(jì)算機(jī)和操作系統(tǒng)上運(yùn)行。（6）MATLAB的圖形功能強(qiáng)大。在FORTRAN和C語(yǔ)言里，繪圖都很不容易，但在MATLAB里，數(shù)據(jù)的可視化非常簡(jiǎn)單。MATLAB還具有較強(qiáng)的編輯圖形界面的能力。（7）MATLAB的缺點(diǎn)是，它和其他高級(jí)程序相比，程序的執(zhí)行速度較慢。由于MATLAB的程序不用編譯等預(yù)處理，也不生成可執(zhí)行文件，程序?yàn)榻忉寛?zhí)行，所以速度較慢。（8）功能強(qiáng)大的工具箱是MATLAB的另一特色。（9）源程序的開(kāi)放性。開(kāi)

17、放性也許是MATLAB最受人們歡迎的特點(diǎn)。除內(nèi)部函數(shù)以外，所有MATLAB的核心文件和工具箱文件都是可讀可改的源文件，用戶可通過(guò)對(duì)源文件的修改以及加入自己的文件構(gòu)成新的工具箱。四設(shè)計(jì)步驟（1）打開(kāi)計(jì)算機(jī)，安裝和啟動(dòng)MATLAB程序；程序組中“work”文件夾中應(yīng)有待處理的圖像文件（2）利用MatLab工具箱中的函數(shù)編制FFT頻譜顯示的函數(shù)（3）調(diào)入、顯示獲得的圖像，圖像存儲(chǔ)格式應(yīng)為“.tif”（4）對(duì)該程序進(jìn)行編譯，檢查錯(cuò)誤并糾正（5）運(yùn)行，并顯示結(jié)果，比較差異五.程序代碼i=imread('cameraman.tif'); %讀入原圖像文件figure(1);%設(shè)定窗口ims

18、how(i);%顯示原圖像colorbar;%顯示圖像的顏色條title('原圖像')%圖像命名j=fft2(i);%二維離散傅立葉變換k=fftshift(j);%直流分量移到頻譜中心l=log(abs(k); %數(shù)字圖像的對(duì)數(shù)變換figure(2);%設(shè)定窗口imshow(l,);%顯示原圖像colorbar;%顯示圖像的顏色條title('經(jīng)過(guò)二維快速傅立葉變換后的圖像')%圖像命名n=ifft2(j)/255; %逆二維快速傅里葉變換figure(3);%設(shè)定窗口imshow(n); %顯示原圖像colorbar;%顯示圖像的顏色條title('

19、經(jīng)過(guò)二維快速傅立葉逆變換后的圖像')%圖像命名m=fftshift(j);%直流分量移到頻譜中心RR=real(m); %取傅立葉變換的實(shí)部II=imag(m); %取傅立葉變換的虛部A=sqrt(RR.2+II.2);%計(jì)算頻譜幅值A(chǔ)=(A-min(min(A)/(max(max(A)-min(min(A)*225;%歸一化figure(4); %設(shè)定窗口imshow(A); %顯示原圖像colorbar;%顯示圖像的顏色條title('離散傅立葉頻譜')； %圖像命名六運(yùn)行結(jié)果對(duì)源代碼檢查無(wú)誤后，進(jìn)行運(yùn)行，結(jié)果如下：圖1為輸入的原圖像，圖2為經(jīng)過(guò)二維快速傅立葉變換后的圖像，圖3為經(jīng)過(guò)二維快速傅立葉逆變換后的圖像，圖4為離散傅立葉頻譜，通過(guò)這四幅圖