數(shù)學(xué)分析下冊曲線積分

1、習(xí)題15-1圖15-11.計算下列曲線積分:(1),是半圓周,;(2) ,其中為以原點為中心的右半單位圓周;(3) ,是從到的一段;(4) ,其中是以為頂點的三角形圍線;(5) ,其中為單位圓周;(6) ,其中為球面被所截的圓周.解 (1) 積分曲線如圖15-1所示，所以.(2) 右半圓單位的參數(shù)方程為,則. (3) .(4),其中是以為頂點的三角形;(5) (提示:要注意去絕對值) 因為圓的參數(shù)方程為,所以(6) 消去得.將坐標旋轉(zhuǎn),即令,代如,有,其參數(shù)方程為,代入,有及,所以,原式.2.求曲線的質(zhì)量,并假設(shè)其線密度為.解 曲線的質(zhì)量.3.證明：若函數(shù)在光滑曲線上連續(xù),則存在點,使得,其中

2、為曲線的長度.證 由于在光滑曲線上連續(xù),故由曲線積分存在性定理知, 存在,且.因為在曲線上連續(xù),為光滑曲線,所以與在上連續(xù),由積分中值定理,存在,使得,令,顯然有,且.習(xí)題15-21.計算下列第二類曲線積分:(1) ,其中為從拋物線中從原點到的一段；(2) ,是螺旋線：,從到的一段；(3) ,其中是擺線沿著參數(shù)增加的一段；(4) ,其中為原點為中心的單位圓周,且依逆時針方向；(5) ,其中為與軸圍成的閉曲線,依順時針方向；(6) ,其中從到的直線段.解 (1) ;(2) (3)(4) (5) (6) 直線的參數(shù)方程為.所以2在地面附近,質(zhì)量為的質(zhì)點受重力作用沿空間一光滑曲線由移動到,求重力所作

3、的功.解 設(shè)光滑曲線,力,所以.3設(shè)一質(zhì)點受力作用，力的反方向指向原點，大小與質(zhì)點到原點的距離成正比(比例系數(shù)為).若質(zhì)點沿橢圓從移動到，求力所作的功.解 橢圓的參數(shù)方程為.所以為比例系數(shù)).習(xí)題15-31.應(yīng)用格林公式計算下列曲線積分:(1) ,其中為單位正向圓周;(2) ,其中是以為頂點的三角形,方向取為正向;(3) ,其中,方向取正向;(4) ,其中為常數(shù),為由到經(jīng)過圓上半部分的路線(為正數(shù)).解 (1) 原式.(2) 積分曲線如圖15-2所示,的方程:;的方程是:的方程是:.三角形區(qū)域被分成和兩部分.(3)圖15-2 , ,所以.(4) 提示:運用格林公式,積分路線必須是封閉路線,因此在本題中需補一條直線段.連結(jié)與點,與原積分路線一同構(gòu)成封閉路線,在線段上,.于是,而由格林公式.2.應(yīng)用格林公式計算下列曲線所圍面積：(1) 橢圓： ；(2) 雙扭線：.解 (1) .(2) 提示:將雙紐線直角坐標方程化為參數(shù)方程如圖15-3,令,圖15-3利用圖形的對稱性得,.3.求,它的全微分滿足：.解 因為,所以4.驗證下列積分與路徑無關(guān),并求出值(1)連續(xù); (2)沿著右半平面的路線.解 (1)因為,所以,積分和路徑無關(guān).原式.(2) ,故積分與路線無