含有耦合電感電路

1、計(jì)算機(jī)第十章 含有耦合電感電路一、 教學(xué)基本要求1、熟練掌握互感的概念及具有耦合電感的電路計(jì)算方法。2、掌握空心變壓器和理想變壓器的應(yīng)用。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1. 教學(xué)重點(diǎn)： (1).互感和互感電壓的概念及同名端的含義；(2). 含有互感電路的計(jì)算(3). 空心變壓器和理想變壓器的電路模型2教學(xué)難點(diǎn)：(1). 耦合電感的同名端及互感電壓極性的確定；(2). 含有耦合電感的電路的方程(3). 含有空心變壓器和理想變壓器的電路的分析。三、本章與其它章節(jié)的聯(lián)系：本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容建立在前面各章理論的基礎(chǔ)之上。四、學(xué)時(shí)安排 總學(xué)時(shí)：4教 學(xué) 內(nèi) 容學(xué) 時(shí)1互感、含有耦合電感電路的計(jì)算22空心變壓器、理想變壓

2、器2五、教學(xué)內(nèi)容§10.1 互感耦合電感元件屬于多端元件，在實(shí)際電路中，如收音機(jī)、電視機(jī)中的中周線圈、振蕩線圈，整流電源里使用的變壓器等都是耦合電感元件，熟悉這類多端元件的特性，掌握包含這類多端元件的電路問題的分析方法是非常必要的。1. 互感 圖 10.1兩個(gè)靠得很近的電感線圈之間有磁的耦合，如圖10.1所示，當(dāng)線圈1中通電流i1時(shí)，不僅在線圈1中產(chǎn)生磁通11，同時(shí)，有部分磁通21穿過臨近線圈2，同理，若在線圈2中通電流i2 時(shí)，不僅在線圈2中產(chǎn)生磁通22，同時(shí)，有部分磁通12穿過線圈1，12和21稱為互感磁通。定義互磁鏈： 12 = N11221 = N221 當(dāng)周圍空間是各向同性

3、的線性磁介質(zhì)時(shí)，磁通鏈與產(chǎn)生它的施感電流成正比，即有自感磁通鏈： 互感磁通鏈： 上式中 M12 和 M21 稱為 互感系數(shù)，單位為（H）。 當(dāng)兩個(gè)線圈都有電流時(shí)，每一線圈的磁鏈為自磁鏈與互磁鏈的代數(shù)和： 需要指出的是：）M 值與線圈的形狀、幾何位置、空間媒質(zhì)有關(guān)，與線圈中的電流無關(guān)，因此，滿足 M 12 =M21 =M ）自感系數(shù) L 總為正值，互感系數(shù) M 值有正有負(fù)。正值表示自感磁鏈與互感磁鏈方向一致，互感起增助作用，負(fù)值表示自感磁鏈與互感磁鏈方向相反，互感起削弱作用。2. 耦合因數(shù)工程上用耦合因數(shù) k 來定量的描述兩個(gè)耦合線圈的耦合緊密程度， 定義 一般有： 當(dāng) k =1 稱全耦合，沒有

4、漏磁，滿足 f11 = f21 ， f22 = f12 。 耦合因數(shù) k 與線圈的結(jié)構(gòu)、相互幾何位置、空間磁介質(zhì)有關(guān)。3. 耦合電感上的電壓、電流關(guān)系當(dāng)電流為時(shí)變電流時(shí)，磁通也將隨時(shí)間變化，從而在線圈兩端產(chǎn)生感應(yīng)電壓。根據(jù)電磁感應(yīng)定律和楞次定律得每個(gè)線圈兩端的電壓為： 即線圈兩端的電壓均包含自感電壓和互感電壓。在正弦交流電路中，其相量形式的方程為 注意： 當(dāng)兩線圈的自感磁鏈和互感磁鏈方向一致時(shí)，稱為互感的“增助”作用，互感電壓取正；否則取負(fù)。以上說明互感電壓的正、負(fù)：（ 1 ）與電流的參考方向有關(guān)。（ 2 ）與線圈的相對(duì)位置和繞向有關(guān)。4. 互感線圈的同名端由于產(chǎn)生互感電壓的電流在另一線圈上，

5、因此，要確定互感電壓的符號(hào)，就必須知道兩個(gè)線圈的繞向，這在電路分析中很不方便。為了解決這一問題引入同名端的概念。同名端: 當(dāng)兩個(gè)電流分別從兩個(gè)線圈的對(duì)應(yīng)端子同時(shí)流入或流出時(shí)，若產(chǎn)生的磁通相互增強(qiáng)，則這兩個(gè)對(duì)應(yīng)端子稱為兩互感線圈的同名端，用小圓點(diǎn)或星號(hào)等符號(hào)標(biāo)記。例如圖 10.2 中線圈 1 和線圈 2 用小圓點(diǎn)標(biāo)示的端子為同名端，當(dāng)電流從這兩端子同時(shí)流入或流出時(shí)，則互感起相助作用。同理，線圈 1 和線圈 3 用星號(hào)標(biāo)示的端子為同名端。線圈 2 和線圈 3 用三角標(biāo)示的端子為同名端。圖 10.2注意：上述圖示說明當(dāng)有多個(gè)線圈之間存在互感作用時(shí)，同名端必須兩兩線圈分別標(biāo)定。根據(jù)同名端的定義可以得出

6、確定同名端的方法為： (1) 當(dāng)兩個(gè)線圈中電流同時(shí)流入或流出同名端時(shí)，兩個(gè)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)將相互增強(qiáng)。 (2) 當(dāng)隨時(shí)間增大的時(shí)變電流從一線圈的一端流入時(shí)，將會(huì)引起另一線圈相應(yīng)同名端的電位升高。兩線圈同名端的實(shí)驗(yàn)測(cè)定：實(shí)驗(yàn)線路如圖 10.3 所示，當(dāng)開關(guān) S 閉合時(shí)，線圈 1 中流入星號(hào)一端的電流 i 增加，在線圈 2 的星號(hào)一端產(chǎn)生互感電壓的正極，則電壓表正偏。 圖 10.3有了同名端，以后表示兩個(gè)線圈相互作用，就不再考慮實(shí)際繞向，而只畫出同名端及電流和電壓的參考方向即可，如圖 10.4 所示。根據(jù)標(biāo)定的同名端和電流、電壓參考方向可知： 圖 10.4 （ a ） 圖 10.4（ b ） （ a

7、 ）圖 （ b ）圖 例10-1如圖所示（a）、（b）、（c）、（d）四個(gè)互感線圈，已知同名端和各線圈上電壓電流參考方向，試寫出每一互感線圈上的電壓電流關(guān)系。 例 10-1 圖（a）例 10-1 圖（b）例 10-1 圖（c）例 10-1 圖（d）解：（a） （b） （c） （d） 例10-2電路如圖（a）所示，圖（b）為電流源波形。已知：， 例 10-2 圖 （a）例 10-2 圖 （a）（b）解：根據(jù)電流源波形，寫出其函數(shù)表示式為： 該電流在線圈 2 中引起互感電壓： 對(duì)線圈 1 應(yīng)用 KVL ，得電流源電壓為： §10.2 含有耦合電感電路的計(jì)算含有耦合電感（簡稱互感）電路的計(jì)

8、算要注意：(1) 在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，有互感的電路的計(jì)算仍可應(yīng)用前面介紹的相量分析方法。(2) 注意互感線圈上的電壓除自感電壓外，還應(yīng)包含互感電壓。(3) 一般采用支路法和回路法計(jì)算。因?yàn)轳詈想姼兄返碾妷翰粌H與本支路電流有關(guān)，還與其他某些支路電流有關(guān)，若列結(jié)點(diǎn)電壓方程會(huì)遇到困難，要另行處理。1. 耦合電感的串聯(lián) （1） 順向串聯(lián)圖 10.5 所示電路為耦合電感的串聯(lián)電路，由于互感起“增助”作用，稱為順向串聯(lián)。圖 10.5圖 10.6按圖示電壓、電流的參考方向， KVL 方程為： 根據(jù)上述方程可以給出圖 10.6 所示的無互感等效電路。等效電路的參數(shù)為： （2） 反向串聯(lián)圖 10.7 所示的耦合

9、電感的串聯(lián)電路，由于互感起“削弱”作用，稱為反向串聯(lián)。 圖 10.7按圖示電壓、電流的參考方向， KVL 方程為： 根據(jù)上述方程也可以給出圖10.6所示的無互感（去耦）等效電路。但等效電路的參數(shù)為： 在正弦穩(wěn)態(tài)激勵(lì)下，應(yīng)用相量分析，圖 10.5 和圖 10.7 的相量模型如圖 10.8 所示。 圖 10.8 （ a ）圖 10.8（ b ）圖（a）的 KVL 方程為： 輸入阻抗為： 可以看出耦合電感順向串聯(lián)時(shí)，等效阻抗大于無互感時(shí)的阻抗。順向串聯(lián)時(shí)的相量圖如圖 10.9 所示。 圖 10.9圖 10.10圖（b）的 KVL 方程為： 輸入阻抗為： 可以看出耦合電感反向串聯(lián)時(shí)，等效阻抗小于無互感

10、時(shí)的阻抗。反向串聯(lián)時(shí)的相量圖如圖 10.10 所示。注意：（1） 互感不大于兩個(gè)自感的算術(shù)平均值，整個(gè)電路仍呈感性，即滿足關(guān)系： （2）根據(jù)上述討論可以給出測(cè)量互感系數(shù)的方法：把兩線圈順接一次，反接一次，則互感系數(shù)為： 2. 耦合電感的并聯(lián)（1）同側(cè)并聯(lián)圖 10.11 為耦合電感的并聯(lián)電路，由于同名端連接在同一個(gè)結(jié)點(diǎn)上，稱為同側(cè)串聯(lián)。 根據(jù) KVL 得同側(cè)并聯(lián)電路的方程為： 由于 i = i1 + i2 解得 u , i 的關(guān)系：圖 10.11圖 10.12根據(jù)上述方程可以給出圖 10.12 所示的無互感等效電路，其等效電感為：（2） 異側(cè)并聯(lián)圖 10.13 中由于耦合電感的異名端連接在同一個(gè)

11、結(jié)點(diǎn)上，故稱為異側(cè)并聯(lián)。 圖 10.13此時(shí)電路的方程為： 考慮到： i = i1 + i2 解得 u , i 的關(guān)系： 根據(jù)上述方程也可以給出圖 10.12 所示的無互感等效電路，其等效電感為： 3. 耦合電感的 T 型去耦等效如果耦合電感的 2 條支路各有一端與第三條支路形成一個(gè)僅含三條支路的共同結(jié)點(diǎn)如圖 10.14 所示，稱為耦合電感的 T 型聯(lián)接。顯然耦合電感的并聯(lián)也屬于 T 型聯(lián)接。（1） 同名端為共端的 T 型去耦等效 圖 10.14圖 10.15圖 10.14 的電路為同名端為共端的 T 型聯(lián)接。根據(jù)所標(biāo)電壓、電流的參考方向得：由上述方程可得圖 10.15 所示的無互感等效電路。

12、（2） 異名端為共端的 T 型去耦等效圖 10.16圖 10.17圖 10.16 的電路為異名端為共端的 T 型聯(lián)接。根據(jù)所標(biāo)電壓、電流的參考方向得： 由上述方程可得圖 10.17 所示的無互感等效電路。注意： T 型去耦等效電路中 3 條支路的等效電感分別為：支路 3 ： （同側(cè)取“ + ”，異側(cè)取“”） 支路 1 ： 支路 2 ： 例10-3求圖（a）、（b）所示電路的等效電感 。 例 10-3 圖（a）例 10-3 圖（b）解：（a）圖中 4H 和 6H 電感為 T 型結(jié)構(gòu)，應(yīng)用 T 型去耦等效得圖（c）電路。則等效電感為： 例 10-3 圖（ c ）例 10-3 圖（ d ）（b） 圖

13、中 5H 和 6H 電感為同側(cè)相接的 T 型結(jié)構(gòu)， 2H 和 3H 電感為異側(cè)相接的 T 型結(jié)構(gòu)，應(yīng)用 T 型去耦等效得圖（d）電路。則等效電感為： 例10-4 圖（a）為有耦合電感的電路，試列寫電路的回路電流方程。 例 10 4 （ a ）例 10 4 （ b ）解：設(shè)網(wǎng)孔電流如圖（b）所示，為順時(shí)針方向，則回路方程為： 注意： 列寫有互感電路的回路電流方程是，注意互感電壓的極性和不要遺漏互感電壓。例10-5求圖（a）所示電路的開路電壓。 例 10-5 圖 （a）例 10-5 圖 （b）解法1：列方程求解。由于線圈2中無電流，線圈1和線圈3為反向串聯(lián)，所以電流 則開路電壓 解法2：作出去耦等

14、效電路，消去耦合的過程如圖（b）、（c）、（d）所示(一對(duì)一對(duì)消)。 （ c ）（ d ）由圖（d）的無互感電路得開路電壓： 例10-6圖（a）為有互感的電路，若要使負(fù)載阻抗 Z 中的電流 i =0 ，問電源的角頻率為多少？ 例 10-6 （a）例 10-6 （b） 例 10-6 （c）解：根據(jù)兩線圈的繞向標(biāo)定同名端如圖（b）所示，應(yīng)用 T 型去耦等效，得無互感的電路如圖（c）所示，顯然當(dāng)電容和 M 電感發(fā)生串聯(lián)諧振時(shí)，負(fù)載阻抗 Z 中的電流為零。因此有： ， §10.3 空心變壓器變壓器由兩個(gè)具有互感的線圈構(gòu)成，一個(gè)線圈接向電源，另一線圈接向負(fù)載。變壓器是通過互感來實(shí)現(xiàn)從一個(gè)電路向

15、另一個(gè)電路傳輸能量或信號(hào)的器件。當(dāng)變壓器線圈的芯子為非鐵磁材料時(shí)，稱空心變壓器。 1.空心變壓器電路圖 10.18 為空心變壓器的電路模型，與電源相接的回路稱為原邊回路（或初級(jí)回路），與負(fù)載相接的回路稱為副邊回路（或次級(jí)回路）。圖 10.182. 分析方法（1） 方程法分析在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，圖 10.18 電路的回路方程為： 令 稱為原邊回路阻抗，稱為副邊回路阻抗。則上述方程簡寫為： 從上列方程可求得原邊和副邊電流： （2） 等效電路法分析等效電路法實(shí)質(zhì)上是在方程分析法的基礎(chǔ)上找出求解的某些規(guī)律，歸納總結(jié)成公式，得出等效電路，再加以求解的方法。 首先討論圖 10.18 的原邊等效電路。令上述原

16、邊電流的分母為： 則原邊電流為： 根據(jù)上式可以畫出原邊等效電路如圖 10.19 所示。上式中的 Zf 稱為引入阻抗（或反映阻抗），是副邊回路阻抗通過互感反映到原邊的等效阻抗，它體現(xiàn)了副邊回路的存在對(duì)原邊回路電流的影響。 從物理意義講，雖然原、副邊沒有電的聯(lián)系，但由于互感作用使閉合的副邊產(chǎn)生電流，反過來這個(gè)電流又影響原邊電流電壓。 圖 10.19把引入阻抗 Zf 展開得： 上式表明： （1）引入電阻 不僅與次級(jí)回路的電阻有關(guān)，而且與次級(jí)回路的電抗及互感有關(guān)。（2）引入電抗 的負(fù)號(hào)反映了引入電抗與付邊電抗的性質(zhì)相反。可以證明引入電阻消耗的功率等于副邊回路吸收的功率。根據(jù)副邊回路方程得： 方程兩邊取

17、模值的平方： 從中得： 應(yīng)用同樣的方法分析方程法得出的副邊電流表達(dá)式。令 則 根據(jù)上式可以畫出副邊等效電路如圖10.20所示。上式中的 Z2f 稱為原邊回路對(duì)副邊回路的引入阻抗，它與Z1f 有相同的性質(zhì)。應(yīng)用戴維寧定理也可以求得空心變壓器副邊的等效電路。（3） 去耦等效法分析對(duì)空心變壓器電路進(jìn)行 T 型去耦等效，變?yōu)闊o互感的電路，再進(jìn)行分析。圖 10.20例10-7圖（a）為空心變壓器電路，已知電源電壓 US =20 V , 原邊引入阻抗 Zl=10j10，求 : 負(fù)載阻抗 ZX 并求負(fù)載獲得的有功功率。 例 10 7 圖 （ a ）例 10 7 圖 （ b ）解：圖（a）的原邊等效電路如圖（

18、b）所示，引入阻抗為： 從中解得：此時(shí)負(fù)載獲得的功率等于引入電阻消耗的功率，因此： 注意：電路實(shí)際處于最佳匹配狀態(tài)，即 例10-8已知圖（a）空心變壓器電路參數(shù)為： L1 =3.6H , L2 =0.06H , M =0.465H , R1=20, R2=0.08, RL=42,=314rad/s, ，求：原、副邊電流 。 例 10 8 圖 （ a ）例 10 8 圖 （ b ）例 10 8 圖 （ c ）解法1：應(yīng)用圖（b）所示的原邊等效電路，得： 所以 解法2：應(yīng)用圖（c）所示的副邊等效電路，得：所以 例10-9全耦合互感電路如圖（a）所示，求電路初級(jí)端 ab 間的等效阻抗。 例 10 9

19、 圖 （ a ）例 10 9 圖（ b ）解法1：應(yīng)用原邊等效電路，因?yàn)椋?所以解法2：應(yīng)用 T 型去耦等效電路如圖（b）所示，則等效電感為： 例10-10已知圖（a）所示電路中，L1=L2=0.1mH , M =0.02mH , R1=10 , C1=C2=0.01mF , =106rad/s, ， 問：R2=？時(shí)能吸收最大功率,并求最大功率。 例 10-8 圖 （a）例 10-8 圖 （b）例 10-8 圖 （c）解法 1：因?yàn)?所以原邊自阻抗為： 副邊自阻抗為： 原邊等效電路如圖（b）所示，引入阻抗為： 因此當(dāng) 即 R2 =40 時(shí)吸收最大功率，最大功率為： 解法2：應(yīng)用圖（c）所示的副

20、邊等效電路，得 因此當(dāng) 時(shí)吸收最大功率，最大功率為： 例10-11圖示互感電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0 時(shí)開關(guān)打開，求 t0+ 時(shí)開路電壓 u2(t)。 例 10 11 圖解：副邊開路，對(duì)原邊回路無影響，開路電壓 u2(t) 中只有互感電壓。先應(yīng)用三要素法求電流 i(t)： 當(dāng) ，時(shí)間常數(shù)為： 當(dāng) ，有： 所以 則 例10-12已知圖（a）電路中 ， 問負(fù)載 Z 為何值時(shí)其上獲得最大功率，并求出最大功率。 例 10-12 圖 （a）例 10-12 圖 （b）（ c ）（ d ）（ e ）解：（1）首先判定互感線圈的同名端，如圖（b）所示。（2）做出去耦等效電路如圖（c）所示。由于 LC 串聯(lián)支路發(fā)生

21、諧振，可用短路線替代這條支路，如圖（d）所示，斷開負(fù)載，得開路電壓： 由圖（e）得等效阻抗 當(dāng) 時(shí)，負(fù)載獲取最大功率，最大功率為： §10.4 理想變壓器理想變壓器是實(shí)際變壓器的理想化模型，是對(duì)互感元件的理想科學(xué)抽象，是極限情況下的耦合電感。1理想變壓器的三個(gè)理想化條件條件1：無損耗，認(rèn)為繞線圈的導(dǎo)線無電阻，做芯子的鐵磁材料的磁導(dǎo)率無限大。條件2 ：全耦合，即耦合系數(shù) 條件3 ：參數(shù)無限大，即自感系數(shù)和互感系數(shù) 但滿足： 上式中 N 1 和 N 2 分別為變壓器原、副邊線圈匝數(shù)， n 為匝數(shù)比。以上三個(gè)條件在工程實(shí)際中不可能滿足，但在一些實(shí)際工程概算中，在誤差允許的范圍內(nèi)，把實(shí)際變壓

22、器當(dāng)理想變壓器對(duì)待，可使計(jì)算過程簡化。2. 理想變壓器的主要性能滿足上述三個(gè)理想條件的理想變壓器與有互感的線圈有著質(zhì)的區(qū)別。具有以下特殊性能。（1）變壓關(guān)系 圖 10.21 為滿足三個(gè)理想條件的耦合線圈。由于 ，所以 因此 圖 10.21圖 10.22根據(jù)上式得理想變壓器模型如圖 10.22 所示。注意：理想變壓器的變壓關(guān)系與兩線圈中電流參考方向的假設(shè)無關(guān)，但與電壓極性的設(shè)置有關(guān)，若 u1、u2 的參考方向的“+”極性端一個(gè)設(shè)在同名端，一個(gè)設(shè)在異名端，如圖 10.23 所示，此時(shí) u1 與 u2 之比為： （2）變流關(guān)系根據(jù)互感線圈的電壓、電流關(guān)系（電流參考方向設(shè)為從同名端同時(shí)流入或同時(shí)流出）： 則 圖 10.23圖 10.24 代入理想化條件： ， 得理想變壓器的電流關(guān)系為： 注意：理想變壓器的變流關(guān)系與兩線圈上電壓參考方向的假設(shè)無關(guān)，但與電流參考方向