勾股定理題目類型總結(jié)

1、經(jīng)典例題透析類型一：勾股定理的直接用法1.如圖B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,則AB的長是多少?類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用2、 如圖，已知：在中，. 求：BC的長. 舉一反三【變式1】如圖，已知：，于P. 求證：. 【變式2】已知：如圖，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。 類型三：勾股定理的實際應(yīng)用4.一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門? 5、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個村莊A、B、C、D，且正好位于

2、一個正方形的四個頂點，現(xiàn)計劃在四個村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計了四種架設(shè)方案，如圖實線部分請你幫助計算一下，哪種架設(shè)方案最省電線 【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高為4cm，是上底面的直徑一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C，試求出爬行的最短路程類型四：利用勾股定理作長為的線段 6.作長為、的線段。 舉一反三 【變式】在數(shù)軸上表示的點。 類型五：逆命題與勾股定理逆定理 7、如果ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ABC的形狀。 舉一反三【變式1】四邊形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形

3、ABCD的面積 【變式2】如圖正方形ABCD，E為BC中點，F(xiàn)為AB上一點，且BF=AB。 請問FE與DE是否垂直?請說明。經(jīng)典例題精類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。 【變式1】若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，求n。 類型二：勾股定理的應(yīng)用 2、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且QPN30，點A處有一所中學(xué)，AP160m。假設(shè)拖拉機行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，

4、那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？ 【變式】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個小三角形都是邊長為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。（1）直接寫出單位正三角形的高與面積。（2）圖中的平行四邊形ABCD含有多少個單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？（3）求出圖中線段AC的長（可作輔助線）。 類型三：數(shù)學(xué)思想方法方程的思想方法3.如圖所示，已知ABC中，C=90，A=60，求、的值。 舉一反三：【變式】如圖所示，折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的長。 類型一：勾股定理的直接用法答案ACD=90 AD=13, CD=

5、12 AC2 =AD2CD2 =132122 =25 AC=5又ABC=90且BC=3 由勾股定理可得AB2=AC2BC2 =5232 =16 AB= 4 AB的長是4.類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用思路點撥：由條件，想到構(gòu)造含角的直角三角形，為此作于D，則有，再由勾股定理計算出AD、DC的長，進(jìn)而求出BC的長. 解析：作于D，則因， （的兩個銳角互余）（在中，如果一個銳角等于 那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）. 根據(jù)勾股定理，在中， . 根據(jù)勾股定理，在中， . 解析：連結(jié)BM，根據(jù)勾股定理，在中， . 而在中，則根據(jù)勾股定理有. 又 （已知）， . 在中，根據(jù)勾股定理有 ， . 分析：如何構(gòu)

6、造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC，或延長AB、DC交于F，或延長AD、BC交于點E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單。 解析：延長AD、BC交于E。 A=60，B=90，E=30。 AE=2AB=8，CE=2CD=4， BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。 DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=。 S四邊形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=類型三：勾股定理的實際應(yīng)用【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時其高度是否小于CH如圖所示，點D在離廠門中線0.8米處，且CD， 與地面交于H 解

7、：OC1米 (大門寬度一半)， OD0.8米 （卡車寬度一半） 在RtOCD中，由勾股定理得 CD.米， C.（米）.（米） 因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門 思路點撥：解答本題的思路是：最省電線就是線路長最短，通過利用勾股定理計算線路長，然后進(jìn)行比較，得出結(jié)論 解析：設(shè)正方形的邊長為1，則圖（1）、圖（2）中的總線路長分別為 AB+BC+CD3，AB+BC+CD3 圖（3）中，在RtABC中 同理 圖（3）中的路線長為 圖（4）中，延長EF交BC于H，則FHBC，BHCH 由FBH 及勾股定理得： EAEDFBFC EF12FH1 此圖中總線路的長為4EA+EF 32.8282

8、.732 圖（4）的連接線路最短，即圖（4）的架設(shè)方案最省電 解： 如圖，在Rt中，底面周長的一半cm， 根據(jù)勾股定理得 （提問：勾股定理） AC （cm）（勾股定理） 答：最短路程約為cm 思路點撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等于，直角邊為和1的直角三角形斜邊長就是，類似地可作。 作法：如圖所示 （1）作直角邊為1（單位長）的等腰直角ACB，使AB為斜邊； （2）以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角。斜邊為；（3）順次這樣做下去，最后做到直角三角形，這樣斜邊、的長度就是 、。 解析：可以把看作是直角三角形的斜邊， 為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù)， 而10又是

9、9和1這兩個完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以O(shè)C為半徑， 以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點B即為。思路點撥：要判斷ABC的形狀，需要找到a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有從該條件入手，解決問題。 解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ： a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3，b=4，c=5。 32+42=52, a2+b

10、2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。 總結(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的,在證明中也常要用到。 【答案】：連結(jié)ACB=90，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90（勾股定理逆定理） 分析:本題是利用勾股定理的的逆定理， 只要證明:a2+b2=c2即可 證明： 所以ABC是直角三角形. 【答案】答：DEEF。證明：設(shè)BF=a，則BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2

11、=4a2+16a2=20a2。 連接DF（如圖） DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FEDE。 思路點撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先通過比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積 解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x，4x，根據(jù)題意得： （3x）2+（4x）2202 化簡得x216； 直角三角形的面積3x4x6x296 思路點撥：首先要確定斜邊（最長的邊）長n+3，然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜邊長為n+3，由勾股定理可得： （n+1）2+（n+2）2（n+3）2化簡得：n2

12、4 n2，但當(dāng)n2時，n+110，n2 總結(jié)升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊。解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判斷， 對數(shù)據(jù)較大的可以用c2a2+b2的變形：b2c2a2（ca）（c+a）來判斷。例如：對于選擇D， 82（40+39）（4039）， 以8，39，40為邊長不能組成直角三角形。 同理可以判斷其它選項。 【答案】：A解：連結(jié)AC B=90，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25（勾股定理 AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169AC2+CD2=AD2 ACD

13、=90（勾股定理逆定理） S四邊形ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=36思路點撥：（1）要判斷拖拉機的噪音是否影響學(xué)校A，實質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m, 小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度。（2）要求出學(xué)校受影響的時間，實質(zhì)是要求拖拉機對學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學(xué)校，行至哪一點后結(jié)束影響學(xué)校。 解析：作ABMN，垂足為B。 在 RtABP中，ABP90，APB30， AP160， ABAP80。 （在直角三角形中，30所對的直角邊等于斜邊的一半） 點 A到直線MN的距離小于100m,這所中學(xué)

14、會受到噪聲的影響。 如圖，假設(shè)拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛到點C處學(xué)校開始受到影響，那么AC100(m)， 由勾股定理得： BC21002-8023600, BC60。 同理，拖拉機行駛到點D處學(xué)校開始脫離影響，那么，AD100(m)，BD60(m), CD120(m)。 拖拉機行駛的速度為 : 18km/h5m/s t120m5m/s24s。 答：拖拉機在公路 MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校會受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時間為24秒。 總結(jié)升華:勾股定理是求線段的長度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件,則可以通過作輔助垂線的方法,構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。 【答案】（1）單位正三角形的高為，面積是。（2）如圖可直接得出平行四邊形ABCD含有24個單位正三角形，因此其面積。（3）過A作AKBC于點K（如圖所示），則在RtACK中， ，故