單擺運(yùn)動(dòng)方程及其周期近似解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上單擺運(yùn)動(dòng)周期和相軌跡特性的研究摘要：本文首先分別用基本形式拉格朗日方程和保守系下的拉格朗日方程求解單擺運(yùn)動(dòng)方程，其次通過線性近似法求解在小擺角下的周期近似解，再通過構(gòu)建“局部常化”的近似處理方法，得到大擺角運(yùn)動(dòng)周期的一個(gè)新結(jié)論。最后，用數(shù)值模擬（四階龍格-庫塔法）求解無阻尼無驅(qū)動(dòng)單擺非線性方程，用origin作圖軟件繪制出時(shí)，取不同初值時(shí)的相軌跡，并分析了其相軌跡特性，驗(yàn)證對小角度單擺幾乎只有擺動(dòng)，對大角度單擺既有擺動(dòng)又有轉(zhuǎn)動(dòng)。關(guān)鍵詞：單擺運(yùn)動(dòng) 周期 非線性 局部?；?橢圓積分 數(shù)值模擬 相軌跡引言：非線性引起復(fù)雜性，復(fù)雜性產(chǎn)生的根源即“原來是禁錮在籠子里的非線性老虎

2、被釋放了”。對線性模型簡單、容易分析，且線性微分方程可求其解析解，而非線性模型復(fù)雜、不容易分析，非線性方程不容易求其解析解，我們利用這兩種性質(zhì)可對某一具體問題進(jìn)行不同方式的分析，得出一部分規(guī)律。單擺模型是簡單與復(fù)雜的綜合體，對該模型可用：線性化法、近似解析法、數(shù)值法和向空間法進(jìn)行求解，分析。本文求出單擺微分方程后，首先通過線性近似法求解在小擺角下的周期近似解，再通過構(gòu)建“局部常化”的近似處理方法，得到大擺角運(yùn)動(dòng)周期的一個(gè)新結(jié)論，有用數(shù)值法和相空間法，驗(yàn)證了單擺運(yùn)動(dòng)在取不同初值時(shí)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)，即為擺動(dòng)或擺動(dòng)加轉(zhuǎn)動(dòng)特性，對單擺特性研究有一定價(jià)值。除了對無阻尼無驅(qū)動(dòng)單擺系統(tǒng)研究，我們可將該分析方法用與

3、其他幾類單擺模型。正文：1 單擺運(yùn)動(dòng)方程的求解單擺運(yùn)動(dòng)問題是一個(gè)古老而又十分有趣的問題。對于擺長為L，最大擺角為的單擺系統(tǒng)，由于只有重力做功，因此滿足機(jī)械能守恒。分別用基本形式拉格朗日方程和保守系下的拉格朗日方程來求解如下：（1）基本形式拉格朗日方程為： （1）自由度為1，取廣義坐標(biāo)為，有： 廣義力為：代入基本拉格朗日方程，得（2）保守系下的拉格朗日方程為 （2）自由度為1，取廣義坐標(biāo)為，有：代入到（1）式中，有令 ，則有 （3）（3）式是一個(gè)非線性微分方程，而大多數(shù)非線性微分方程都很難找到其解析解，這給動(dòng)力系統(tǒng)的分析帶來了很大的困難。再者，非線性系統(tǒng)能產(chǎn)生“混沌”現(xiàn)象，其解析解通常也是非常復(fù)

4、雜的。文獻(xiàn)和文獻(xiàn)分別從機(jī)械能守恒定律和相圖關(guān)系求出了精確的單擺運(yùn)動(dòng)周期公式：近似為，則（2）式可簡化為，對其兩邊乘以2，然后積分： 得 即 其中c為常數(shù)積分。當(dāng)擺動(dòng)到最大角度時(shí)，。所以，因此， 分離變量并積分 如果t=0時(shí)，并設(shè)T是單擺的振動(dòng)周期，則t=T/4時(shí)，所以 （4）令，-1 < <1。兩邊積分，得： 則（4）右邊被積函數(shù)寫為： 積分限位時(shí)時(shí)，上式求解有： （5）其中是單擺的最大擺角。式（5）適合于任意擺角下的單擺運(yùn)動(dòng)，但這個(gè)公式是用完全橢圓公式表示的，過于復(fù)雜，應(yīng)用時(shí)需要查橢圓積分表，因而實(shí)用性不強(qiáng)。本文先通過線性近似求出小角度下的單擺等時(shí)公式，其次通過構(gòu)建“局部?；钡?/p>

5、近似處理方法，給出在時(shí)近似度較好的一個(gè)單擺運(yùn)動(dòng)周期解。2 小擺角下的周期近似解在單擺運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，如果擺角很小（一般）時(shí)，可將單擺運(yùn)動(dòng)近似成一種簡諧振動(dòng)。對于運(yùn)動(dòng)方程（3），可以做如下近似：由于擺角很小，所以可以將非線性因子作一級近似，將方程（3）轉(zhuǎn)化成線性方程。即有：，所以（3）式可寫成： （6）該方程的解為： 所以，現(xiàn)在，我們將這種近似周期公式與精確的周期公式進(jìn)行比較，其結(jié)果如表1示：（T由橢圓積分表查得）表1：與的相對誤差對比3461020300.99980.99970.99930.99810.99250.98284050607080900.96960.95260.93180.90740.

6、87910.8427從表中可以看到，當(dāng)最大擺角較小時(shí)，由計(jì)算得到的周期相對誤差較小，而當(dāng)最大擺角較大時(shí)，相對誤差較大。3“局部?；钡慕浦芷诮馍厦妫覀儗⒆髁艘患壗?，將非線性微分方程轉(zhuǎn)換成了線性微分方程，但通過表1我們看到，這種近似是很粗略的，當(dāng)大較大時(shí)產(chǎn)生的誤差比較大?，F(xiàn)在，我們需通過構(gòu)建“局部?；钡慕品椒▉斫o出近似度較好的單擺運(yùn)動(dòng)周期解公式。對于方程（3），我們可以采用，將作如下變換： （7）在這里，我們將變量視為常量。其中。現(xiàn)在，將（7）式代入（3）式得 （8）其中，。式（8）是對動(dòng)力學(xué)方（3）的有一個(gè)修正，將一個(gè)分線性問題轉(zhuǎn)換成一個(gè)線性問題。由（6）式我們可以很容易的得到單擺的

7、周期公式 （9）式中的是一個(gè)修正常數(shù)，修正的方發(fā)事將式（6）與標(biāo)準(zhǔn)式（3）在取不同角度時(shí)進(jìn)行比較。通過取的不同值進(jìn)行嘗試比較，我們發(fā)現(xiàn)修正值為=0.496時(shí)有比較高的精度。下面我們將這種近似公式與精確的周期公式進(jìn)行比較，結(jié)果如下表2所示.表2：與的相對誤差對比3461020301.00001.00001.00001.00001.00000.99984050607080900.99980.99981.00001.00081.00211.0043表2的數(shù)據(jù)表明，當(dāng)時(shí)，公式的近似度很好，相對公式來說近似度明顯的提高了。4 數(shù)值模擬分析相軌跡 運(yùn)動(dòng)微分方程： 數(shù)值編程：令t=x,則微分方程轉(zhuǎn)換為： 用

8、四階龍格-庫塔法程序如下： Function f(y As Double) As Double g = 9.8 l = 0.6 f = -g * Sin(y) / lEnd FunctionPrivate Sub Command1_Click() Dim g As Double, l As Double, n As Integer, h As Double, a As Double, b As Double Dim t As Double, t0 As Double, t1 As Double, y0 As Double, y1 As Double, z0 As Double, z1 As D

9、ouble Dim l1 As Double, l2 As Double, l3 As Double, l4 As Double a = 0: b = 2 n = 800 h = (b - a) / n Open "時(shí)間.txt" For Output As #1 Open "角度.txt" For Output As #2 Open "角速度.txt" For Output As #3 y0 = 20: z0 = 6: t0 = a For t = a To b Step h t1 = t0 + h l1 = f(y0) l2 =

10、f(y0) l3 = f(y0 + (h 2 * l1) / 4) l4 = f(y0 + h 2 * l2 / 2) y1 = y0 + h * z0 + h 2 * (l1 + l2 + l3) / 6 z1 = z0 + h * (l1 + 2 * l2 + 2 * l3 + l4) / 6 Text1.Text = Text1.Text & t & " " & Format(y1, "#.#") & " " & Format(z1, "#.#") & vbCr

11、LfWrite #1, t Write #2, y1 Write #3, z1 y0 = y1 z0 = z1 Next t Close #1, #2, #3End Sub按理論： （1）取n=800,t=0-2s,g=9.8kg2/s,l=0.6m。初值：,z0=0、1、 2、 3、 4、 5rad/s 同一橫坐標(biāo)z1，同一縱坐標(biāo)y1模擬相軌跡如下：20 5 20 4 20 3 20 2 20 1 20 0分析：由圖可知初值在角度y一定的情況下，隨著初角速度z的增大，相軌跡橢圓越來越大，并且在在初值為5時(shí)，橢圓出現(xiàn)缺口。由于，所以，即相軌跡方程?？偰芰繛槌踔祔不變，初值 z增大后，擺能量增大

12、，對應(yīng)橢圓面積較大，圖示符合理論，當(dāng)初始能量越大，單擺由擺動(dòng)轉(zhuǎn)為振動(dòng)，如果繼續(xù)取值。橢圓缺口會越來越大，最后形狀變化無規(guī)律可尋。（2）取n=800,t=0-2s,g=9.8kg2/s,l=0.6m。初值：z0=0rad/s，y0= 1、20、30、50、65、75度，同一橫坐標(biāo)z1，模擬相軌跡如下：1 020 0 30 0 50 0 65 0 75 0分析：由圖可知在初角速度z一定的情況下，隨著角度y的增大，相軌跡橢圓變化較明顯。初值為1度時(shí)，橢圓近似為圓；當(dāng)初值小于30度時(shí)，橢圓縱橫向都增大，符合能量公式；當(dāng)初值為50度時(shí)，橢圓縱向顯著增大橫向顯著減小，當(dāng)初值為65度時(shí)，橢圓又產(chǎn)生缺口，再到

13、后面變化不一。由于，所以，即相軌跡方程?？偰芰繛椋撼踔祕0不變， y0增大后，能量增大，小角度擺動(dòng)符合理論規(guī)律，大角度已不僅僅為擺動(dòng)，除此之外，由于對應(yīng)橢圓縱向取值范圍不一致，可比性較差。5結(jié)論本文從最基本點(diǎn)著手，首先分別用基本形式拉格朗日方程和保守系下的拉格朗日方程求解單擺運(yùn)動(dòng)微分方程，再通過線性近似求出了小擺角下的單擺運(yùn)動(dòng)周期，通過表格分析，我們看到這種近似法求出的單擺周期在大擺角下的近似程度是很差的。接著，我們通過構(gòu)建“局部?；苯品椒ǎ擅畹膶⒎志€性因子進(jìn)行了線性化，從而得到了一個(gè)近似程度較好的單擺運(yùn)動(dòng)周期解。通過表格分析，我們確實(shí)看到這個(gè)公式在的情況下的近似程度的確很好。 最后，用

14、數(shù)值模擬（四階龍格-庫塔法）求解無阻尼無驅(qū)動(dòng)單擺非線性方程，用origin作圖軟件繪制出時(shí)取不同初值時(shí)的相軌跡，并分析了其相軌跡特性：初值y不變，初值 z增大后，擺能量增大，對應(yīng)橢圓面積較大，圖示符合理論：初值z不變， y增大后，對應(yīng)橢圓縱向取值范圍不一致,圖示可對比性較差，但總體來說，對擺的小角度擺動(dòng)相軌跡近似為圓，大角度既有擺動(dòng)又有轉(zhuǎn)動(dòng)，擺相軌跡規(guī)律難找。參考文獻(xiàn)【1】 周衍柏.理論力學(xué)教程.高等教育出版社，1986年3月第二版.【2】 趙凱華.從單擺到混沌.現(xiàn)代物理知識，1993，5（8）：12-14.【3】Marion J B.Classical Dynamics.New York:Academic press,1965,181-182.【4】 譚志中.求大擺角周期近似解的“局部?；狈椒?，大學(xué)物理，2005