澈力木格論文

1、泰勒公式的應(yīng)用摘要：泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中的重要組成部分，也是數(shù)學(xué)中的一類基本問題，本文詳細(xì)介紹泰勒公式及其應(yīng)用在數(shù)學(xué)領(lǐng)域上的幾個(gè)應(yīng)用作論述。文章首先是介紹泰勒公式的定義，然后是泰勒公式應(yīng)用的闡述，體現(xiàn)在求行列式的值、函數(shù)極限，計(jì)算近似值，求不等式的證明,求初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式。關(guān)鍵詞： 泰勒公式 行列式 極限 級(jí)數(shù) 近似值 不等式 泰勒公式是18世紀(jì)早期英國(guó)牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒，在微積分中將函數(shù)展開成無窮級(jí)數(shù)而定義出來，泰勒將函數(shù)展開成級(jí)數(shù)從而得到泰勒公式，對(duì)于一般函數(shù)，設(shè)它在點(diǎn)存在直到階導(dǎo)數(shù)，由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)成一個(gè)次多項(xiàng)式+，稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒多項(xiàng)式，若函數(shù)在點(diǎn)存在直到

2、階導(dǎo)數(shù)，則有 ，即+稱為泰勒公式 。 眾所周知泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中非常重要的內(nèi)容，它的理論方法已經(jīng)成為研究函數(shù)極限等方面不可或缺的數(shù)學(xué)工具，泰勒公式在分析和研究數(shù)學(xué)問題中有著重要作用，它可以應(yīng)用于求極限、判斷函數(shù)極值，判斷行列式的值、函數(shù)的極限，計(jì)算近似值，求不等式的證明等方面。一、利用泰勒展式求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式 如果函數(shù)在處存在任意階的導(dǎo)數(shù)，這時(shí)稱形式為 (1) 的級(jí)數(shù)為函數(shù)在的泰勒公式。如果能在的某領(lǐng)域上等于其函數(shù)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則稱函數(shù)在的這領(lǐng)域內(nèi)可以展開成泰勒公式，并稱等式= 的右邊為在處的泰勒展開式，或稱冪級(jí)數(shù)展開式。在實(shí)際應(yīng)用上，主要討論函數(shù)在處的展開式，這時(shí) (1) 式可以寫作稱

3、為麥克勞林級(jí)數(shù)。例1 展開成冪級(jí)數(shù)解： 利用兩邊積分 -1,1 -1,1 二、利用泰勒公式證明不等式關(guān)于不等式的證明，課本上介紹了多種方法，如拉格朗日中值定理、函數(shù)的凸性以及通過討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來得到函數(shù)的單調(diào)性.下面我們舉例說明，泰勒公式也是證明不等式一個(gè)重要辦法。例2 設(shè)在有三階導(dǎo)數(shù)，且，證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得分析；能將函數(shù)及其一階導(dǎo)、二階導(dǎo)數(shù)、三階導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起的唯有泰勒公式，要判斷，自然考慮對(duì)在點(diǎn)展開泰勒公式。，（），其中在與之間證明：考慮到區(qū)間，分別取為區(qū)間的斷點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，取，由泰勒公式得 ， ，兩式相減并化簡(jiǎn)得 因此，至少有一個(gè)的函數(shù)值不小于12，即 例3 證明不等式 0，0 證明

4、令 0 則 在或 0 ，0 是凹的，于是 即 即例4 設(shè)在上的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)并且當(dāng)時(shí)，求證：，證明：因?yàn)?其中在與之間取，則泰勒公式為 其中0<<，因?yàn)槭剑?）減去（3）得又所以而故三、利用泰勒公式求極限 一般是把所求極限式經(jīng)過變換后，其部分項(xiàng)用泰勒公式替換并注意到0 其次在解題過程中可能用到下面幾個(gè)情形 （k為常數(shù)）simCOSln例 5 求極限 解由泰勒公式知?jiǎng)t例 6 求極限解 1+0 1+0 1+0 1+0由此可得 +0 + 0 注：帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式是求函數(shù)極限的一個(gè)非常有力的工具，運(yùn)用得當(dāng)會(huì)使求函數(shù)的極限變得十分簡(jiǎn)單。四、 利用泰勒公式計(jì)算近似值 當(dāng)要求的算式不能得

5、出它的準(zhǔn)確值時(shí)，既只能求出其近似值，這時(shí)泰勒公式是解決這種問題的好方法。 例7）求中的近似值，精確到 解因?yàn)橹械谋环e函數(shù)是不可積的；現(xiàn)用泰勒公式的方法求的近似值 在的展開式中以代得 1+逐項(xiàng)積分 得 1+ 1+上式右端而一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù),由其系項(xiàng) 的估計(jì)式知 1+ 五、 利用泰勒公式求行列式的值 利用泰勒公式計(jì)算行列式的主要思路，根據(jù)所求行列式的特點(diǎn)構(gòu)造相應(yīng)的行列式函數(shù)， 再把這個(gè)行列式函數(shù)按泰勒公式在某點(diǎn)展開，只要求出行列式函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)值即可。例8 解記 按泰勒公式在處展開 1 2由2得，1，2， n 時(shí)都成立 3根據(jù)行列式的求導(dǎo)的規(guī)則，有 于是 在處的各階導(dǎo)數(shù)注意到公式3為 =把以上各

6、導(dǎo)數(shù)代入1式中，有 若有若有本文主要對(duì)泰勒公式在求極限、不等式的證明、求初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式、計(jì)算行列式和近似值等方便做了簡(jiǎn)單系統(tǒng)的介紹和分析。假如通過這幾個(gè)方面的研究，使我們?cè)谔囟ǖ念}設(shè)條件下形成特定的解題思路，使一些問題得到更好的解答。在平時(shí)解題能夠做到舉一反三的話，那么對(duì)以后遇到的各種題型的解決大有裨益，從而體現(xiàn)泰勒公式在數(shù)學(xué)分析中有很重要的地位。特別是用泰勒公式求解行列式這一方法在數(shù)學(xué)分析中沒有介紹過，從而使行列式的求解又多了一種新方法，也是用數(shù)學(xué)分析手段研究高等代數(shù)問題中作了一個(gè)初步探索，以便為高等數(shù)學(xué)的教學(xué)起到促進(jìn)作用。Abstract: the Taylor formula i

7、n mathematical analysis is important component, is also a type of mathematical problems, this paper introduced the Taylor formula and its application in the field of mathematics on several application discuss.The article first introduces the definition of Taylor formula, and then the application of

8、the Taylor formula elaboration, manifests in the calculation of the value of determinant, the limit of function, approximation, and the proof of inequality, and elementary function and the power series expansion.Key words: Taylor series approximation formula of ultimate determinant inequality參考文獻(xiàn)1 高尚華 .數(shù)學(xué)分析上. 高等教育出版社 2 曾捷 .數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解. 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社3 高等代數(shù)M.北京人民教育出版社4 歐伯群 .泰勒公