第二章3立方根》講解與例題（新版）北師大版

1、第二章3立方根講解與例題1立方根的概念及表示方法(1)立方根的概念：如果一個數(shù)x的立方等于a，即x3a，那么這個數(shù)x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)如238，那么2就叫做8的立方根，由于3，所以叫做的立方根(2)立方根的表示方法：a的立方根可表示為“”，讀作“三次根號a”，其中“3”是根指數(shù)，“a”是被開方數(shù)要注意，這里的根指數(shù)“3”不能省略例如：2的立方根可表示為.哦，判斷一個數(shù)x是不是某數(shù)a的立方根，就看x3是不是等于a.對啊! 求一個數(shù)的立方根，應(yīng)先找到一個立方等于所求數(shù)的數(shù)，再求立方根.【例11】 求下列各數(shù)的立方根：(1)8；(2)125；(3)；(4)0.064；(5)0；(6)

2、6.解：(1)因?yàn)?38，所以8的立方根是2，即2.(2)因?yàn)?5)3125，所以125的立方根是5，即5.(3)因?yàn)?，所以的立方根是，即.(4)因?yàn)?0.4)30.064，所以0.064的立方根是0.4，即0.4.(5)因?yàn)?30，所以0的立方根是0，即0.(6)6的立方根是.談重點(diǎn) 化簡立方根完全立方數(shù)的立方根是可以化簡的，如(1)(5)；非完全立方數(shù)的立方根是不可以化簡的，只需表示出來即可，如(6)【例12】 下列語句正確的是()A的立方根是2B3是27的立方根C的立方根是D(1)2的立方根是1解析：A因?yàn)?，而2的立方等于8，故8的立方根是2.B因?yàn)?的立方是27，3是27的立方根是

3、錯誤的.C因?yàn)榈牧⒎绞牵缘牧⒎礁?D因?yàn)?1)21，它的立方根是1，而不是1.答案：A2立方根的性質(zhì)(1)立方根的性質(zhì)：一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；0的立方根是0.(2)開立方求一個數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方如同開平方與平方互為逆運(yùn)算一樣，開立方與立方也互為逆運(yùn)算【例2】 有下列命題：負(fù)數(shù)沒有立方根；一個數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；一個正數(shù)或負(fù)數(shù)的立方根和這個數(shù)同號，0的立方根是0；如果一個數(shù)的立方根是這個數(shù)本身，那么這個數(shù)必是1和0.其中錯誤的是()A BC D解析：一個正數(shù)的立方根是一個正數(shù)，一個負(fù)數(shù)的立方根是一個負(fù)數(shù)，0的立方根是0.立方根等于本身的數(shù)有0

4、,1和1.所以都是錯的，只有正確答案：B辨誤區(qū) 1,0，1的立方根深入理解概念，特別地，要關(guān)注1,0，1的立方根的情況3立方根的應(yīng)用立方根在日常生活中應(yīng)用很廣泛，如求物體的體積等【例3】 某金屬冶煉廠，將27個大小相同的立方體鋼錠在爐中熔化后澆鑄成一個長方體鋼錠，量得這個長方體鋼錠的長、寬、高分別為160 cm、80 cm和40 cm，求原來立方體鋼錠的邊長為多少？分析：原來立方體鋼錠體積在爐中熔化后澆鑄成的長方體鋼錠的體積解：設(shè)立方體的邊長為x cm，則27x31608040.解得x.答：原來立方體鋼錠的邊長為 cm.點(diǎn)評：本題是一個等積變形問題，利用體積不變列方程即可4立方根的化簡公式；a

5、；()3a.如果x3a，那么x就是a的立方根，即x，所以x3()3a.同樣，根據(jù)定義，a3是a的三次方，所以a3的立方根就是a，即a.設(shè)x3a，則(x)3x3a.根據(jù)立方根的定義可知，x，x.要深入理解立方根的性質(zhì)，必須掌握以上性質(zhì)公式【例4】 化簡：(1)；(2)；(3).分析：求一個負(fù)數(shù)的立方根，可以根據(jù)立方根的定義來求，也可以轉(zhuǎn)化成它的絕對值的立方根，再求其相反數(shù)，因?yàn)?求帶分?jǐn)?shù)的立方根，首先要把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)再求解：(1)4.(2)0.05.(3).5靈活利用立方根與平方根解題平方根與立方根是兩個很相近的概念，如果不正確地認(rèn)識和理解它們的異同，在解題中很容易引起混淆而造成解題錯誤(1

6、)區(qū)別：定義不同平方根：如果x2a，那么x叫做a的平方根立方根：如果x3a，那么x叫做a的立方根表示方法不同正數(shù)a的平方根記為，數(shù)a的立方根記為.表示平方根時，根指數(shù)2一般省略不寫，但是用根號表示立方根時，根指數(shù)3絕對不能省略，否則就與二次根式混淆了讀法不同正數(shù)a的平方根，讀作“正、負(fù)根號a”數(shù)a的立方根讀作“三次根號a或a的立方根”被開方數(shù)的取值范圍不同在平方根中，被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)，即a0.但在中，a可以是任意的數(shù)根的個數(shù)不同一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒有平方根任何數(shù)都存在立方根，一個正數(shù)有一個正的立方根，一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根，0的立方根是0.(2)聯(lián)

7、系：求平方根與立方根的運(yùn)算都是開方運(yùn)算，開平方與平方互為逆運(yùn)算，開立方與立方互為逆運(yùn)算，都是乘方的逆運(yùn)算【例51】 已知|b327|0，求(ab)b的立方根分析：由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b即可解：由題意，得0，|b327|0，于是a3640，b3270.解得a4，b3.因此(ab)b(43)3343.故(ab)b的立方根為7.析規(guī)律 非負(fù)數(shù)的性質(zhì)幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則每個非負(fù)數(shù)都為0.【例52】 已知2，求x17的平方根分析：由立方根的定義先求出x的值，再求x17的平方根解：由立方根的定義，得5x32(2)3.解得x8，則x179.故x17的平方根為3.變式題：(1)一個數(shù)的兩個平方根分別為3a1和a11，求這個數(shù)的立方根；(2)已知3m9的立方根為3，求2m3的立方根；(3)已知2x1的平