第四章圓與方程(優(yōu)化設計1)

1、第四章 圓與方程本章教材分析上一章,學生已經學習了直線與方程,知道在直角坐標系中,直線可以用方程表示,通過方程,可以研究直線間的位置關系、直線與直線的交點坐標、點到直線的距離等問題,對數(shù)形結合的思想方法有了初步體驗.本章將在上章學習了直線與方程的基礎上,學習在平面直角坐標系中建立圓的代數(shù)方程,運用代數(shù)方法研究點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系,了解空間直角坐標系,以便為今后的坐標法研究空間的幾何對象奠定基礎,這些知識是進一步學習圓錐曲線方程、導數(shù)和微積分的基礎,在這個過程中進一步體會數(shù)形結合的思想,形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力.通過方程,研究直線與圓、圓與圓的位置關系是本章的重點內容之一,

2、坐標法不僅是研究幾何問題的重要方法,而且是一種廣泛應用于其他領域的重要數(shù)學方法,通過坐標系把點和坐標、曲線和方程聯(lián)系起來,實現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一,因此在教學過程中,要始終貫穿坐標法這一重要思想,不怕反復.用坐標法解決幾何問題時,先用坐標和方程表示相應的幾何元素:點、直線、圓;然后對坐標和方程進行代數(shù)運算;最后把運算結果“翻譯”成相應的幾何結論.這就是坐標法解決幾何問題的三步曲.坐標法還可以與平面幾何中的綜合方法、向量方法建立聯(lián)系,同時可以推廣到空間,解決立體幾何問題.本章教學時間約需9課時,具體分配如下(僅供參考):圓的標準方程1課時圓的一般方程1課時直線與圓的位置關系2課時圓與圓的位置關系2課時

3、空間直角坐標系1課時空間兩點間的距離公式1課時本章復習1課時4.1 圓的方程 圓的標準方程整體設計教學分析在初中曾經學習過圓的有關知識,本節(jié)內容是在初中所學知識及前幾節(jié)內容的基礎上,進一步運用解析法研究圓的方程,它與其他圖形的位置關系及其應用.同時,由于圓也是特殊的圓錐曲線,因此,學習了圓的方程,就為后面學習其他圓錐曲線的方程奠定了基礎.也就是說,本節(jié)內容在教材體系中起到承上啟下的作用,具有重要的地位,在許多實際問題中也有著廣泛的應用.由于“圓的方程”一節(jié)內容的基礎性和應用的廣泛性,對圓的標準方程要求層次是“掌握”,為了激發(fā)學生的主體意識,教學生學會學習和學會創(chuàng)造,同時培養(yǎng)學生的應用意識,本節(jié)

4、內容可采用“引導探究”型教學模式進行教學設計,所謂“引導探究”是教師把教學內容設計為若干問題,從而引導學生進行探究的課堂教學模式,教師在教學過程中,主要著眼于“引”,啟發(fā)學生“探”,把“引”和“探”有機的結合起來.教師的每項教學措施,都是給學生創(chuàng)造一種思維情境,一種動腦、動手、動口并主動參與的學習機會,激發(fā)學生的求知欲,促使學生解決問題.三維目標1.使學生掌握圓的標準方程,能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標準方程,能根據(jù)圓的標準方程寫出圓的圓心、半徑,進一步培養(yǎng)學生能用解析法研究幾何問題的能力,滲透數(shù)形結合思想,注意培養(yǎng)學生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.2.會用待定系數(shù)法求圓的標準方程,通過圓的

5、標準方程解決實際問題的學習,形成代數(shù)方法處理幾何問題的能力,從而激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情和興趣,培養(yǎng)學生分析、概括的思維能力.3.理解掌握圓的切線的求法.包括已知切點求切線,從圓外一點引切線,已知切線斜率求切線等.把握運動變化原則,培養(yǎng)學生樹立相互聯(lián)系、相互轉化的辯證唯物主義觀點,欣賞和體驗圓的對稱性,感受數(shù)學美.重點難點教學重點：圓的標準方程的推導過程和圓的標準方程特點的明確.教學難點:會根據(jù)不同的已知條件,利用待定系數(shù)法求圓的標準方程.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.課前準備：(用淀粉在一張白紙上畫上海和山)說明:在白紙上要表演的是一個小魔術,名稱是日出,所以還缺少一個太陽,請學生幫助

6、在白紙上畫出太陽.要求其他學生在自己的腦海里也構畫出自己的太陽.課堂估計：一種是非尺規(guī)作圖(指出數(shù)學作圖的嚴謹性)；一種作出后有同學覺得不夠美(點評:其實每個人心中都有一個自己的太陽,每個人都有自己的審美觀點).然后上升到數(shù)學層次：不同的圓心和半徑對應著不同的圓,進而對應著不同的圓的方程.從用圓規(guī)作圖復習初中所學圓的定義：到定點的距離等于定長的點的軌跡.那么在給定圓心和半徑的基礎上,結合我們前面所學的直線方程的求解,應該如何建立圓的方程？教師板書本節(jié)課題:圓的標準方程.思路2.同學們,我們知道直線可以用一個方程表示,那么,圓可以用一個方程表示嗎？圓的方程怎樣來求呢?這就是本堂課的主要內容,教師

7、板書本節(jié)課題:圓的標準方程.推進新課新知探究提出問題已知兩點A(2,-5),B(6,9),如何求它們之間的距離?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它們之間的距離?具有什么性質的點的軌跡稱為圓？圖1中哪個點是定點？哪個點是動點？動點具有什么性質？圓心和半徑都反映了圓的什么特點？圖1我們知道,在平面直角坐標系中,確定一條直線的條件是兩點或一點和傾斜角,那么,決定圓的條件是什么?如果已知圓心坐標為C(a,b),圓的半徑為r,我們如何寫出圓的方程?圓的方程形式有什么特點？當圓心在原點時,圓的方程是什么？討論結果：根據(jù)兩點之間的距離公式,得|AB|=,|CD|=.平面內與一定點距離等于定長的點

8、的軌跡稱為圓,定點是圓心,定長是半徑(教師在黑板上畫一個圓).圓心C是定點,圓周上的點M是動點,它們到圓心距離等于定長|MC|=r,圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小.確定圓的條件是圓心和半徑,只要圓心和半徑確定了,那么圓的位置和大小就確定了.確定圓的基本條件是圓心和半徑,設圓的圓心坐標為C(a,b),半徑為r(其中a、b、r都是常數(shù),r0).設M(x,y)為這個圓上任意一點,那么點M滿足的條件是(引導學生自己列出)P=M|MA|=r,由兩點間的距離公式讓學生寫出點M適合的條件=r.將上式兩邊平方得(x-a)2+(y-b)2=r2.化簡可得(x-a)2+(y-b)2=r2.若點M(x,y)在圓

9、上,由上述討論可知,點M的坐標滿足方程,反之若點M的坐標滿足方程,這就說明點M與圓心C的距離為r,即點M在圓心為C的圓上.方程就是圓心為C(a,b),半徑長為r的圓的方程,我們把它叫做圓的標準方程.這是二元二次方程,展開后沒有xy項,括號內變數(shù)x,y的系數(shù)都是1.點(a,b)、r分別表示圓心的坐標和圓的半徑.當圓心在原點即C(0,0)時,方程為x2+y2=r2.提出問題根據(jù)圓的標準方程說明確定圓的方程的條件是什么?確定圓的方程的方法和步驟是什么?坐標平面內的點與圓有什么位置關系?如何判斷?討論結果：圓的標準方程(xa)2(yb)2=r2中,有三個參數(shù)a、b、r,只要求出a、b、r且r0,這時圓

10、的方程就被確定,因此確定圓的標準方程,需三個獨立條件,其中圓心是圓的定位條件,半徑是圓的定形條件.確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法,即列出關于a、b、r的方程組,求a、b、r或直接求出圓心(a,b)和半徑r,一般步驟為：1根據(jù)題意,設所求的圓的標準方程(xa)2(yb)2=r2；2根據(jù)已知條件,建立關于a、b、r的方程組；3解方程組,求出a、b、r的值,并把它們代入所設的方程中去,就得到所求圓的方程.點M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的關系的判斷方法：當點M(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時,點M的坐標滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.當點M(x

11、0,y0)不在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時,點M的坐標不滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.用點到圓心的距離和半徑的大小來說明應為:1點到圓心的距離大于半徑,點在圓外(x0-a)2+(y0-b)2r2,點在圓外;2點到圓心的距離等于半徑,點在圓上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,點在圓上;3點到圓心的距離小于半徑,點在圓內(x0-a)2+(y0-b)2r2,點在圓內.應用示例思路1例1 寫出下列各圓的標準方程：(1)圓心在原點,半徑是3；圓心在點C(3,4),半徑是;(3)經過點P(5,1),圓心在點C(8,-3)；(4)圓心在點C(1,3),并且和直線3x-4y-7=0相

12、切.解:(1)由于圓心在原點,半徑是3,所以圓的標準方程為(x-0)2+(y-0)2=32,即x2+y2=9.(2)由于圓心在點C(3,4),半徑是5,所以圓的標準方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5.(3)方法一:圓的半徑r=|CP|=5,因此所求圓的標準方程為(x-8)2+(y+3)2=25.方法二:設圓的標準方程為(x-8)2+(y+3)2=r2,因為圓經過點P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25,因此所求圓的標準方程為(x-8)2+(y+3)2=25.這里方法一是直接法,方法二是間接法,它需要確定有關參數(shù)來確定圓的標準方程

13、,兩種方法都可,要視問題的方便而定.(4)設圓的標準方程為(x-1)2+(y-3)2=r2,由圓心到直線的距離等于圓的半徑,所以r=.因此所求圓的標準方程為(x-1)2+(y-3)2=.點評：要求能夠用圓心坐標、半徑長熟練地寫出圓的標準方程.例2 寫出圓心為A(2,-3),半徑長等于5的圓的方程,并判斷點M1(5,-7),M2(-,-1)是否在這個圓上.解:圓心為A(2,-3),半徑長等于5的圓的標準方程是(x-2)2+(y+3)2=25,把點M1(5,-7),M2(-,-1)分別代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,則M1的坐標滿足方程,M1在圓上.M2的坐標不滿足方程,M2不在圓上.點

14、評:本題要求首先根據(jù)坐標與半徑大小寫出圓的標準方程,然后給一個點,判斷該點與圓的關系,這里體現(xiàn)了坐標法的思想,根據(jù)圓的坐標及半徑寫方程從幾何到代數(shù)；根據(jù)坐標滿足方程來看在不在圓上從代數(shù)到幾何.例3ABC的三個頂點的坐標是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程.活動：教師引導學生從圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要確定圓的標準方程,可用待定系數(shù)法確定a、b、r三個參數(shù).另外可利用直線AB與AC的交點確定圓心,從而得半徑,圓的方程可求,師生總結、歸納、提煉方法.解法一:設所求的圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因為A(5,1),B(7,-3

15、),C(2,-8)都在圓上,它們的坐標都滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是解此方程組得所以ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25.解法二:線段AB的中點坐標為(6,-1),斜率為-2,所以線段AB的垂直平分線的方程為y+1=(x-6).同理線段AC的中點坐標為(3.5,-3.5),斜率為3,所以線段AC的垂直平分線的方程為y+3.5=3(x-3.5).解由組成的方程組得x=2,y=-3,所以圓心坐標為(2,-3),半徑r=5,所以ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25.點評:ABC外接圓的圓心是ABC的外心,它是ABC三邊的垂直平分線的交點,它到三頂

16、點的距離相等,就是圓的半徑,利用這些幾何知識,可豐富解題思路.思路2例1 圖2是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖,該圓拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造時每隔4 m需用一個支柱支撐,求支柱A2P2的長度(精確到0.01 m).圖2解:建立坐標系如圖,圓心在y軸上,由題意得P(0,4),B(10,0).設圓的方程為x2+(y-b)2=r2,因為點P(0,4)和B(10,0)在圓上,所以解得所以這個圓的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.設點P2(-2,y0),由題意y00,代入圓方程得(-2)2+(y0+10.5)2=14.52,解得y0=-10.514.36-10.5=3.86(

17、m).答：支柱A2P2的長度約為3.86 m.例2 求與圓x2+y2-2x=0外切,且與直線x+y=0相切于點(3,-)的圓的方程.活動:學生審題,注意題目的特點,教師引導學生利用本節(jié)知識和初中學過的幾何知識解題.首先利用配方法,把已知圓的方程寫成標準方程,再利用兩圓外切及直線與圓相切建立方程組,求出參數(shù),得到所求的圓的方程.解:設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.圓x2+y2-2x=0的圓心為(1,0),半徑為1.因為兩圓外切,所以圓心距等于兩圓半徑之和,即=r+1,由圓與直線x+y=0相切于點(3,-),得解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-4,r=6.故所求圓的方程為

18、(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.點評:一般情況下,如果已知圓心(或易于求出)或圓心到某一直線的距離(或易于求出),可用圓的標準方程來求解,用待定系數(shù)法,求出圓心坐標和半徑.變式訓練一圓過原點O和點P(1,3),圓心在直線y=x+2上,求此圓的方程.解法一：因為圓心在直線y=x+2上,所以設圓心坐標為(a,a+2).則圓的方程為(x-a)2+(y-a-2)2=r2.因為點O(0,0)和P(1,3)在圓上,所以解得所以所求的圓的方程為(x+)2+(y-)2=.解法二：由題意：圓的弦OP的斜率為3,中點坐標為(,),所以弦OP的垂直平分線方程為y-=-(x-),即x+3y-5=0.

19、因為圓心在直線y=x+2上,且圓心在弦OP的垂直平分線上,所以由解得,即圓心坐標為C(-,).又因為圓的半徑r=|OC|=,所以所求的圓的方程為(x+)2+(y-)2=.點評:(1)圓的標準方程中有a、b、r三個量,要求圓的標準方程即要求a、b、r三個量,有時可用待定系數(shù)法.(2)要重視平面幾何中的有關知識在解題中的運用.例3 求下列圓的方程:(1)圓心在直線y=-2x上且與直線y=1-x相切于點(2,-1).(2)圓心在點(2,-1),且截直線y=x-1所得弦長為22.解:(1)設圓心坐標為(a,-2a),由題意知圓與直線y=1-x相切于點(2,-1),所以,解得a=1.所以所求圓心坐標為(

20、1,-2),半徑r=.所以所求圓的標準方程為(x-1)2+(y+2)2=2.(2)設圓的方程為(x-2)2+(y+1)2=r2(r0),由題意知圓心到直線y=x-1的距離為d=.又直線y=x-1被圓截得弦長為2,所以由弦長公式得r2-d2=2,即r=2.所以所求圓的標準方程為(x-2)2+(y+1)2=4.點評:本題的兩個題目所給條件均與圓心和半徑有關,故都利用了圓的標準方程求解,此外平面幾何的性質的應用,使得解法簡便了許多,所以類似問題一定要注意圓的相關幾何性質的應用,從確定圓的圓心和半徑入手來解決.知能訓練課本本節(jié)練習1、2.拓展提升1.求圓心在直線y=2x上且與兩直線3x+4y-7=0和

21、3x+4y+3=0都相切的圓的方程.活動:學生思考交流,教師提示引導,求圓的方程,無非就是確定圓的圓心和半徑,師生共同探討解題方法.解:首先兩平行線的距離d=2,所以半徑為r=1.方法一：設與兩直線3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距離相等的直線方程為3x+4y+k=0,由平行線間的距離公式d=,得,即k=-2,所以直線方程為3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0與y=2x組成的方程組得,因此圓心坐標為(,).又半徑為r=1,所以所求圓的方程為(x-)2+(y-)2=1.方法二：解方程組因此圓心坐標為(,).又半徑r=1,所以所求圓的方程為(x-)2+(y-)2=1.點評:要充分考慮各

22、幾何元素間的位置關系,把它轉化為代數(shù)問題來處理.課堂小結圓的標準方程.點與圓的位置關系的判斷方法.根據(jù)已知條件求圓的標準方程的方法.利用圓的平面幾何的知識構建方程.直徑端點是A(x1,y1)、B(x2,y2)的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.作業(yè)1.復習初中有關點與圓的位置關系,直線與圓的位置關系,圓與圓的位置關系有關內容.2.預習有關圓的切線方程的求法.3.課本習題4.1 A組第2、3題.設計感想圓是學生比較熟悉的曲線,求圓的標準方程既是本節(jié)課的教學重點也是難點,為此我布設了由淺入深的學習環(huán)境,先讓學生熟悉圓心、半徑與圓的標準方程之間的關系,逐步理解三個參數(shù)

23、的重要性,自然形成待定系數(shù)法的解題思路,在突出重點的同時突破了難點.利用圓的標準方程由淺入深的解決問題,并通過圓的方程在實際問題中的應用,增強學生應用數(shù)學的意識.另外,為了培養(yǎng)學生的理性思維,在例題中,設計了由特殊到一般的學習思路,培養(yǎng)學生的歸納概括能力.在問題的設計中,我用一題多解的探究,縱向挖掘知識深度,橫向加強知識間的聯(lián)系,培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新精神,并且使學生的有效思維量加大,隨時對所學知識和方法產生有意注意,能力與知識的形成相伴而行,這樣的設計不但突出了重點,更使難點的突破水到渠成.本節(jié)課的設計通過適當?shù)膭?chuàng)設情境,調動學生的學習興趣.本節(jié)課以問題為紐帶,以探究活動為載體,使學生在問題的指引

24、下、教師的指導下把探究活動層層展開、步步深入,充分體現(xiàn)以教師為主導,以學生為主體的指導思想.把學生學習知識的過程轉變?yōu)閷W生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程,在解決問題的同時鍛煉了思維,提高了能力、培養(yǎng)了興趣、增強了信心,高效地完成本節(jié)的學習任務.課后反思 圓的一般方程整體設計教學分析教材通過將二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后化為(x+)2+(y+)2=后只需討論D2+E2-4F0、D2+E2-4F=0、D2+E2-4F0.與圓的標準方程比較可知D2+E2-4F0時,表示以(-,-)為圓心,為半徑的圓；當D2+E2-4F=0時,方程只有實數(shù)解x=-,y=-,即只表示一

25、個點(-,-);當D2+E2-4F0時,方程沒有實數(shù)解,因而它不表示任何圖形.從而得出圓的一般方程的特點：(1)x2和y2的系數(shù)相同,不等于0；(2)沒有xy這樣的二次項；(3)D2+E2-4F0.其中(1)和(2)是二元一次方程Ax2BxyCy2DxEyF=0表示圓的必要條件,但不是充分條件,只有三條同時滿足才是充要條件.同圓的標準方程(xa)2(yb)2=r2含有三個待定系數(shù)a、b、r一樣,圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中也含有三個待定系數(shù)D、E、F,因此必須具備三個獨立條件才能確定一個圓.同樣可以用待定系數(shù)法求得圓的一般方程.在實際問題中,究竟使用圓的標準方程還是使用圓的一般

26、方程更好呢？應根據(jù)具體問題確定.圓的標準方程的特點是明確指出了圓心的坐標和圓的半徑,因此,對于由已知條件容易求得圓心坐標和圓的半徑或需利用圓心坐標列方程的問題,一般采用圓的標準方程.如果已知條件和圓心坐標、圓的半徑都無直接關系,通常采用圓的一般方程；有時兩種方程形式都可用時也常采用圓的一般方程的形式,這是因為它可避免解三元二次方程組.圓的標準方程的優(yōu)點在于明確直觀地指出圓心坐標和半徑的長.我們知道,圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大小,它有利于研究圓的有關性質和作圖.而由圓的一般方程可以很容易判別一般的二元二次方程中,哪些是圓的方程,哪些不是圓的方程,它們各有自己的優(yōu)點,在教學過程中,應當使學生

27、熟練地掌握圓的標準方程與圓的一般方程的互化,尤其是由圓的一般方程通過配方化為圓的標準方程,從而求出圓心坐標和半徑.要畫出圓,就必須要將曲線方程通過配方化為圓的標準方程,然后才能畫出曲線的形狀.這充分說明了學生熟練地掌握這兩種方程互化的重要性和必要性.三維目標1.在掌握圓的標準方程的基礎上,理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征,由圓的一般方程確定圓的圓心、半徑.掌握方程x2y2DxEyF=0表示圓的條件,通過對方程x2y2DxEyF=0表示圓的條件的探究,培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析、解決問題的能力.2.能通過配方等手段,把圓的一般方程化為圓的標準方程.能用待定系數(shù)法和軌跡法求圓的方程,同時滲透數(shù)形結合、化

28、歸與轉化等數(shù)學思想方法,提高學生的整體素質,激勵學生創(chuàng)新,勇于探索,培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力.重點難點教學重點：圓的一般方程的代數(shù)特征,一般方程與標準方程間的互化,根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)D、E、F.教學難點:對圓的一般方程的認識、掌握和運用.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.說出圓心為(a,b),半徑為r的圓的標準方程.學生練習:將以C(a,b)為圓心,r為半徑的圓的標準方程展開并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得到方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,這說明圓的方程還可以表示成另外一種非標

29、準方程形式.能不能說方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲線一定是圓呢?這就是我們本堂課的內容,教師板書課題:圓的一般方程.思路2.問題：求過三點A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圓的方程.利用圓的標準方程解決此問題顯然有些麻煩,用直線的知識解決又有其簡單的局限性,那么這個問題有沒有其他的解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式.教師板書課題:圓的一般方程.推進新課新知探究提出問題前一章我們研究直線方程用的什么順序和方法?這里我們研究圓的方程是否也能類比研究直線方程的順序和方法呢?給出式子x2+y2+Dx+Ey+F=0,請你利用配方法化成不含x和y的一次項的式子

30、.把式子(xa)2(yb)2=r2與x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比較,得出x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件.對圓的標準方程與圓的一般方程作一比較,看各自有什么特點?討論結果：以前學習過直線,我們首先學習了直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式,最后學習一般式.大家知道,我們認識一般的東西,總是從特殊入手.如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的公式(點斜式、兩點式、)展開整理而得到的.我們想求圓的一般方程,可仿照直線方程試一試！我們已經學習了圓的標準方程,把標準形式展開,整理得到,也是從特殊到一般.把式子x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得(x+)2+(y+)2=.(

31、xa)2(yb)2=r2中,r0時表示圓,r=0時表示點(a,b),r0時不表示任何圖形.因此式子(x+)2+(y+)2=.()當D2+E2-4F0時,表示以(-,-)為圓心,為半徑的圓；()當D2+E2-4F=0時,方程只有實數(shù)解x=-,y=-,即只表示一個點(-,-);()當D2+E2-4F0時,方程沒有實數(shù)解,因而它不表示任何圖形.綜上所述,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,由此得到圓的方程都能寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,只有當D2+E2-4F0時,它表示的曲線才是圓.因此x2+y2+Dx+Ey

32、+F=0表示圓的充要條件是D2+E2-4F0.我們把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的方程稱為圓的一般方程.圓的一般方程形式上的特點:x2和y2的系數(shù)相同,不等于0.沒有xy這樣的二次項.圓的一般方程中有三個待定的系數(shù)D、E、F,因此只要求出這三個系數(shù),圓的方程就確定了.與圓的標準方程相比較,它是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯,圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小,幾何特征較明顯.應用示例思路1例1 判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是,請求出圓的圓心及半徑.(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.解:(1)由4x2+4

33、y2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=,而D2+E2-4F=1+9-9=10,所以方程4x2+4y2-4x+12y+9=0表示圓的方程,其圓心坐標為(,-),半徑為；(2)由4x2+4y2-4x+12y+11=0,得D=-1,E=3,F=,D2+E2-4F=1+9-11=-10,所以方程4x2+4y2-4x+12y+11=0不表示圓的方程.點評:對于形如Ax2+By2+Dx+Ey+F=0的方程判斷其方程是否表示圓,要化為x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,再利用條件D2+E2-4F與0的大小判斷,不能直接套用.另外,直接配方也可以判斷.變式訓練求下列圓的半徑和圓心坐標：(1)x

34、2+y2-8x+6y=0;(2)x2+y2+2by=0.解:(1)把x2+y2-8x+6y=0配方,得(x4)2(y+3)2=52,所以圓心坐標為(4,-3),半徑為5；(2)x2+y2+2by=0配方,得x2(y+b)2=b2,所以圓心坐標為(0,-b),半徑為|b|.例2 求過三點O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圓的方程,并求圓的半徑長和圓心坐標.解:方法一：設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由O、M1、M2在圓上,則有解得D=-8,E=6,F=0,故所求圓的方程為x2+y2-8x+6y=0,即(x4)2(y+3)2=52.所以圓心坐標為(4,-3),半徑為5.

35、方法二：先求出OM1的中點E(,),M1M2的中點F(,),再寫出OM1的垂直平分線PE的直線方程y-=-(x-),AB的垂直平分線PF的直線方程y-=-3(x-),聯(lián)立得得則點P的坐標為(4,-3),即為圓心.OP=5為半徑.方法三：設所求圓的圓心坐標為P(a,b),根據(jù)圓的性質可得|OP|=|AP|=|BP|,即x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,解之得P(4,-3),OP=5為半徑.方法四：設所求圓的方程為(xa)2(yb)2=r2,因為O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圓上,所以它們的坐標是方程的解.把它們的坐標代入上面的方程,可以得到關于a、b

36、、r的方程組,即解此方程組得所以所求圓的方程為(x4)2(y+3)2=52,圓心坐標為(4,-3),半徑為5.點評：請同學們比較,關于何時設圓的標準方程,何時設圓的一般方程.一般說來,如果由已知條件容易求圓心的坐標、半徑或需要用圓心的坐標、半徑列方程的問題,往往設圓的標準方程；如果已知條件和圓心坐標或半徑都無直接關系,往往設圓的一般方程.例3 已知點P(10,0),Q為圓x2+y2=16上一動點.當Q在圓上運動時,求PQ的中點M的軌跡方程.活動:學生回想求曲線方程的方法與步驟,思考討論,教師適時點撥提示,本題可利用平面幾何的知識,見中點作中線,利用中線定長可得方程,再就是利用求曲線方程的辦法來

37、求.圖1解法一:如圖1,作MNOQ交x軸于N,則N為OP的中點,即N(5,0).因為|MN|=|OQ|=2(定長).所以所求點M的軌跡方程為(x-5)2+y2=4.點評:用直接法求軌跡方程的關鍵在于找出軌跡上的點應滿足的幾何條件,然后再將條件代數(shù)化.但在許多問題中,動點滿足的幾何條件較為隱蔽復雜,將它翻譯成代數(shù)語言時也有困難,這就需要我們探討求軌跡問題的新方法.轉移法就是一種很重要的方法.用轉移法求軌跡方程時,首先分析軌跡上的動點M的運動情況,探求它是由什么樣的點控制的.解法二:設M(x,y)為所求軌跡上任意一點Q(x0,y0).因為M是PQ的中點,所以(*)又因為Q(x0,y0)在圓x2+y

38、2=16上,所以x02+y02=16.將(*)代入得(2x-10)2+(2y)2=16.故所求的軌跡方程為(x-5)2+y2=4.點評:相關點法步驟:設被動點M(x,y),主動點Q(x0,y0).求出點M與點Q坐標間的關系()從()中解出()將()代入主動點Q的軌跡方程(已知曲線的方程),化簡得被動點的軌跡方程.這種求軌跡方程的方法也叫相關點法,以后要注意運用.變式訓練 已知線段AB的端點B的坐標是(4,3),端點A在圓(x+1)2+y2=4上運動,求線段AB的中點M的軌跡方程.解:設點M的坐標是(x,y),點A的坐標是(x0,y0).由于點B的坐標是(4,3)且M是線段AB的中點,所以x=,

39、y=.于是有x0=2x-4,y0=2y-3.因為點A在圓(x+1)2+y2=4上運動,所以點A的坐標滿足方程(x+1)2+y2=4,即(x0+1)2+y02=4.把代入,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得(x-)2+(y-)2=1.所以點M的軌跡是以(,)為圓心,半徑長為1的圓.思路2例1 求圓心在直線l：x+y=0上,且過兩圓C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交點的圓的方程.活動:學生審題,教師引導,強調應注意的問題,根據(jù)題目特點分析解題思路,確定解題方法.由于兩圓的交點可求,圓心在一直線上,所以應先求交點再設圓的標準方程.解:解

40、兩圓方程組成的方程組得兩圓交點為(0,2),(-4,0).設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因為兩點在所求圓上,且圓心在直線l上,所以得方程組解得a=-3,b=3,r=.故所求圓的方程為(x+3)2+(y-3)2=10.點評：由已知條件容易求圓心坐標、半徑或需要用圓心的坐標、半徑列方程的問題,往往設圓的標準方程.例2 已知圓在x軸上的截距分別為1和3,在y軸上的截距為-1,求該圓的方程.解法一:利用圓的一般方程.設所求的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由已知,該圓經過點(1,0),(3,0)和(0,-1),則有,解之得D=-4,E=4,F=3.故所求圓的方程為x2+y

41、2-4x+4y+3=0.解法二:利用圓的標準方程.由題意該圓經過P(1,0),Q(3,0),R(-1,0),設圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則圓心C(a,b)在PQ的垂直平分線上,故a=2.因為|PC|=|RC|,所以.將a=2代入,得b=-2,所以C(2,-2).而r=|PC|=,故所求圓的方程為(x-2)2+(y+2)2=5.例3 試求圓C:x2+y2-x+2y=0關于直線l:x-y+1=0對稱的曲線C的方程.活動：學生先思考,然后解答,教師引導學生抓住本質的東西,即圓的圓心坐標變化、半徑不變,另外可利用相關點法來求.解法一:設P(x,y)為所求曲線C上任意一點,P關于l的對

42、稱點為P(x0,y0),則P(x0,y0)在圓C上.由題意可得解得(*)因為P(x0,y0)在圓C上,所以x02+y02-x0+2y0=0.將(*)代入得(y-1)2+(x+1)2-(y-1)+2(x+1)=0,化簡得x2+y2+4x-3y+5=0,即為C的方程.解法二:(特殊對稱)圓C關于直線l的對稱圖形仍然是圓,且半徑不變,故只需求圓心C,即求(,-1)關于直線l:x-y+1=0的對稱點C(-2,),因此所求圓C的方程為(x+2)2+(y-)2=.點評：比較解法一與解法二看出,利用幾何性質解題往往較簡單.知能訓練課本練習1、2、3.拓展提升問題：已知圓x2+y2-x-8y+m=0與直線x+

43、2y-6=0相交于P、Q兩點,定點R(1,1),若PRQR,求實數(shù)m的值.解:設P(x1,y1)、Q(x2,y2),由消去y得5x2+4m-60=0.由題意,方程有兩個不等的實數(shù)根,所以60-4m0,m15.由韋達定理因為PRQR,所以kPRkQR=-1.所以=-1,即(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0,即x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0.因為y1=3-,y2=3,所以y1y2=(3-)(3)=9-(x1+x2)+=9+,y1+y2=6,代入得x1x2+5=0,即(m-12)+5=0.所以m=10,適合m15.所以實數(shù)m的值為10.課堂小結1.任何

44、一個圓的方程都可以寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,只有D2+E2-4F0時,方程表示圓心為(-,-),半徑為r=的圓.2.求圓的方程,應根據(jù)條件特點選擇合適的方程形式：若條件與圓心、半徑有關,則宜用標準方程；若條件主要是圓所經過的點的坐標,則宜用一般方程.3.要畫出圓的圖像,必須要知道圓心坐標和半徑,因此應掌握利用配方法將圓的一般方程化為標準方程的方法.作業(yè)習題4.1 A組1、6,B組1、2、3.設計感想這是一節(jié)介紹新知識的課,而且這節(jié)課還非常有利于展現(xiàn)知識的形成過程.因此,在設計這節(jié)課時,力求“過程、結論并重；知識、能力、思

45、想方法并重”.在展現(xiàn)知識的形成過程中,盡量避免學生被動接受,引導學生探索,重視探索過程.一方面,把直線一般方程探求過程進行回顧、類比,學生從中領會探求方法；另一方面,“把標準方程展開認識一般方程”這一過程充分運用了“通過特殊認識一般”的科學思想方法.同時,通過類比進行條件的探求“D2+E24F”與“”(判別式)類比.在整個探求過程中充分利用了“舊知識”及“舊知識的形成過程”,并用它探求新知識.這樣的過程,既是學生獲得新知識的過程,更是培養(yǎng)學生能力的過程.課后反思4.2 直線、圓的位置關系 直線與圓的位置關系整體設計教學分析學生在初中的學習中已了解直線與圓的位置關系,并知道可以利用直線與圓的交點

46、的個數(shù)以及圓心與直線的距離d與半徑r的關系判斷直線與圓的位置關系,但是,在初中學習時,利用圓心與直線的距離d與半徑r的關系判斷直線與圓的位置關系的方法卻以結論性的形式呈現(xiàn).在高一學習了解析幾何以后,要考慮的問題是如何掌握由直線和圓的方程判斷直線與圓的位置關系的方法.解決問題的方法主要是幾何法和代數(shù)法.其中幾何法應該是在初中學習的基礎上,結合高中所學的點到直線的距離公式求出圓心與直線的距離d后,比較與半徑r的關系從而作出判斷.適可而止地引進用聯(lián)立方程組轉化為二次方程判別根的“純代數(shù)判別法”,并與“幾何法”欣賞比較,以決優(yōu)劣,從而也深化了基本的“幾何法”.含參數(shù)的問題、簡單的弦的問題、切線問題等綜

47、合問題作為進一步的拓展提高或綜合應用,也適度地引入課堂教學中,但以深化“判定直線與圓的位置關系”為目的,要控制難度.雖然學生學習解析幾何了,但把幾何問題代數(shù)化無論是思維習慣還是具體轉化方法,學生仍是似懂非懂,因此應不斷強化,逐漸內化為學生的習慣和基本素質.三維目標1.理解直線與圓的位置關系,明確直線與圓的三種位置關系的判定方法,培養(yǎng)學生數(shù)形結合的數(shù)學思想.2.會用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系及會利用直線與圓的位置關系解決相關的問題，讓學生通過觀察圖形,明確數(shù)與形的統(tǒng)一性和聯(lián)系性.重點難點教學重點：直線與圓的位置關系的幾何圖形及其判斷方法.教學難點:用坐標法判斷直線與圓的位置關系.課時

48、安排2課時教學過程第1課時導入新課思路1.平面解析幾何是高考的重點和熱點內容,每年的高考試題中有選擇題、填空題和解答題,考查的知識點有直線方程和圓的方程的建立、直線與圓的位置關系等,本節(jié)主要學習直線與圓的關系.思路2.(復習導入)(1)直線方程Ax+By+C=0(A,B不同時為零).(2)圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心為(a,b),半徑為r.(3)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F0)，圓心為(-,-),半徑為.推進新課新知探究提出問題初中學過的平面幾何中,直線與圓的位置關系有幾類？在初中,我們怎樣判斷直線與圓的位置關系呢？如何用直線與圓的方程

49、判斷它們之間的位置關系呢？判斷直線與圓的位置關系有幾種方法？它們的特點是什么？討論結果：初中學過的平面幾何中,直線與圓的位置關系有直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交三種.直線與圓的三種位置關系的含義是:直線與圓的位置關系公共點個數(shù)圓心到直線的距離d與半徑r的關系圖形相交兩個dr相切只有一個d=r相離沒有dr方法一,判斷直線l與圓的位置關系,就是看由它們的方程組成的方程組有無實數(shù)解；方法二,可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關系判斷直線與圓的位置關系.直線與圓的位置關系的判斷方法：幾何方法步驟：1把直線方程化為一般式,求出圓心和半徑.2利用點到直線的距離公式求圓心到直線的距離.3作判斷：當

50、dr時,直線與圓相離；當d=r時,直線與圓相切;當dr時,直線與圓相交.代數(shù)方法步驟：1將直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組.2利用消元法,得到關于另一個元的一元二次方程.3求出其判別式的值.4比較與0的大小關系,若0,則直線與圓相離；若=0,則直線與圓相切;若0,則直線與圓相交.反之也成立.應用示例思路1例1 已知直線l：3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0,判斷直線l與圓的位置關系.如果相交,求出它們的交點坐標.活動:學生思考或交流,回顧判斷的方法與步驟,教師引導學生考慮問題的思路,必要時提示,對學生的思維作出評價;方法一,判斷直線l與圓的位置關系,就是看由它們的方程組成的方

51、程組有無實數(shù)解；方法二,可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關系判斷直線與圓的位置關系.解法一:由直線l與圓的方程,得消去y,得x2-3x+2=0,因為=(-3)2-412=10,所以直線l與圓相交,有兩個公共點.解法二：圓x2+y2-2y-4=0可化為x2+(y-1)2=5,其圓心C的坐標為(0,1),半徑長為,圓心C到直線l的距離d=.所以直線l與圓相交,有兩個公共點.由x2-3x+2=0,得x1=2,x2=1.把x1=2代入方程,得y1=0;把x2=1代入方程,得y2=3.所以直線l與圓相交有兩個公共點,它們的坐標分別是(2,0)和(1,3).點評:比較兩種解法,我們可以看出,幾何法判斷要

52、比代數(shù)法判斷快得多,但是若要求交點,仍需聯(lián)立方程組求解.例2 已知圓的方程是x2+y2=2,直線y=x+b,當b為何值時,圓與直線有兩個公共點,只有一個公共點沒有公共點.活動:學生思考或交流,教師引導學生考慮問題的思路,必要時提示,對學生的思維作出評價.我們知道,判斷直線l與圓的位置關系,就是看由它們的方程組成的方程組有無實數(shù)解,或依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關系判斷直線與圓的位置關系.反過來,當已知圓與直線的位置關系時,也可求字母的取值范圍,所求曲線公共點問題可轉化為b為何值時,方程組有兩組不同實數(shù)根、有兩組相同實根、無實根的問題.圓與直線有兩個公共點、只有一個公共點、沒有公共點的問題,可

53、轉化為b為何值時圓心到直線的距離小于半徑、等于半徑、大于半徑的問題.解法一:若直線l：y=x+b和圓x2+y2=2有兩個公共點、只有一個公共點、沒有公共點,則方程組有兩個不同解、有兩個相同解、沒有實數(shù)解,消去y,得2x2+2bx+b2-2=0,所以=(2b)2-42(b2-2)=16-4b2.所以,當=16-4b20,即-2b2時,圓與直線有兩個公共點；當=16-4b2=0,即b=2時,圓與直線只有一個公共點；當=16-4b20,即b2或b-2時,圓與直線沒有公共點.解法二：圓x2+y2=2的圓心C的坐標為(0,0),半徑長為2,圓心C到直線l:y=x+b的距離d=.當dr時,即,即|b|2,

54、即b2或b-2時,圓與直線沒有公共點;當d=r時,即=,即|b|=2,即b=2時,圓與直線只有一個公共點；當dr時,即,即|b|2,即-2b2時,圓與直線有兩個公共點.點評：由于圓的特殊性,判斷圓與直線的位置關系,多采用圓心到直線的距離與半徑的大小進行比較的方法,而以后我們將要學習的圓錐曲線與直線位置關系的判斷,則需要利用方程組解的個數(shù)來判斷.變式訓練已知直線l過點P(4,0),且與圓O：x2+y2=8相交,求直線l的傾斜角的取值范圍.解法一：設直線l的方程為y=k(x-4),即kx-y-4k=0,因為直線l與圓O相交,所以圓心O到直線l的距離小于半徑,即2,化簡得k21,所以-1k1,即-1

55、tan1.當0tan1時,0；當-1tan0時,.所以的取值范圍是0,)(,).解法二：設直線l的方程為y=k(x-4),由,消去y得(k2+1)x2-8k2x+16k2-8=0.因為直線l與圓O相交,所以=(-8k2)2-4(k2+1)(16k2-8)0,化簡得k21.(以下同解法一)點評:涉及直線與圓的位置關系的問題,?？蛇\用以上兩種方法.本題若改為選擇題或填空題,也可利用圖形直接得到答案.思路2例1 已知圓的方程是x2+y2=r2,求經過圓上一點M(x0,y0)的切線方程.活動:學生思考討論,教師提示學生解題的思路,引導學生回顧直線方程的求法,既考慮通法又考慮圖形的幾何性質.此切線過點(x0,y0),要確定其方程,只需求出其斜率k,可利用待定系數(shù)法(或直接求解).直線與圓相切的幾何特征是圓心到切線的距離等于圓的半徑,切線與法線垂直.解法一:當點M不在坐標軸上時,設切線的斜率為k,半徑OM的斜率為k1,因為圓的切線垂直于過切點的半徑,所以k=-.因為k1=所以k=-.所以經過點M的切線方程是y-y0=-(x-x0).整理得x0x+y0y=x02+y02.又因為點M(x0,y0)在圓上,所以x02+y02=r2.所以所求的切線方程是x0x+y0y=r2.當點M在坐標軸上時,可以驗證上面的方程同樣適用.解法二:設P(x,y)為所求切線上的任意一點,當P與M不重