第2講+導(dǎo)數(shù)與微分

1、第二講一元函數(shù)微分學(xué)題型一 與導(dǎo)數(shù)定義有關(guān)的題【例1】已知,則 _.【答案】【解析】原式=.【例2】（11,3）已知函數(shù)在x=0處可導(dǎo)，且=0，則= ( )(A)2 (B) (C) (D) 0【答案】(B)詳解： 故應(yīng)選(B)【例3】設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯誤的是( ).若存在，則若存在，則若存在，則存在 若存在，則存在【答案】D【詳解】方法1：論證法，證明都正確，從而只有不正確。由存在及在處連續(xù)，所以，所以(A)正確；由選項(xiàng)(A)知，所以存在，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，存在，所以(C)也正確；由在處連續(xù)，所以在處連續(xù)，從而，即有，所以(B)正確，故此題選擇(D).方法2：舉例法，舉例說明(D)不正確。

2、例如取，有存在而，左右極限存在但不相等，所以在的導(dǎo)數(shù)不存在。(D)不正確，選(D).【例4】函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)的個數(shù)是（A）3 （B）2 （C）1 （D）0解 顯然不可導(dǎo)的點(diǎn)最多三個，即，但由常用結(jié)論的備注可知，在可導(dǎo)，而在，不可導(dǎo)，故選（B）.【例5】設(shè)函數(shù)，則在內(nèi)( )(A) 處處可導(dǎo). (B) 恰有一個不可導(dǎo)點(diǎn).(C) 恰有兩個不可導(dǎo)點(diǎn). (D) 至少有三個不可導(dǎo)點(diǎn). 【答案】C【詳解】分段討論，并應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則，當(dāng)時，有，命取極限，得，由夾逼準(zhǔn)則得；當(dāng)時，；當(dāng)時，命取極限，得，由夾逼準(zhǔn)則得所以 再討論的不可導(dǎo)點(diǎn). 按導(dǎo)數(shù)定義，易知處不可導(dǎo)，故應(yīng)選(C).【例6】設(shè)函數(shù)在處連續(xù),且,則( )(

3、A)存在 (B)存在(C)存在 (D)存在【答案】【詳解】題目考察該抽象函數(shù)在0點(diǎn)處的函數(shù)值，及0點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)，計算如下：換元令，由題設(shè)可得 .于是 因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處連續(xù)，故，進(jìn)而有 .這表明且存在. 故應(yīng)選 .題型二 求導(dǎo)數(shù)與微分1、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（定理）：設(shè)在處可導(dǎo)，在對應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在處可導(dǎo)，且【例7】已知，則已知，則_解【例8】設(shè)，函數(shù)可導(dǎo)，求的導(dǎo)數(shù)。解 當(dāng)時，當(dāng)時，為，和的復(fù)合，且，由題設(shè)存在，若 存在由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法知而則注：這是一種“經(jīng)典”的錯誤，原因是極限不存在，因?yàn)榍髽O限的函數(shù)在的任何鄰域內(nèi)都有沒定義的點(diǎn)（充分大）2、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法一般有三種方法：(1)方

4、程兩邊對求導(dǎo)，視是的函數(shù)，則的函數(shù)是的復(fù)合函數(shù)。例如，等均是的復(fù)合函數(shù)。對求導(dǎo)應(yīng)按復(fù)合函數(shù)連鎖法則做。(2)公式法。(3)利用微分形式不變性【例9】設(shè)方程確定為的函數(shù),則_.【答案】【解析】將方程看成關(guān)于的恒等式,即看作的函數(shù).方程兩邊對求導(dǎo),得.【例10】已知函數(shù)由方程確定，則 .【詳解】是由確定的的函數(shù)，兩邊對求導(dǎo)，所以 兩邊再對求導(dǎo)，得把代入，得，代入，得.3、參數(shù)方程求導(dǎo) 設(shè)函數(shù)【例11】設(shè) 則=_. 【答案】【解析】這是個函數(shù)的參數(shù)方程,滿足參數(shù)方程所確定函數(shù)的微分法,即如果 , 則 .所以 ,再對求導(dǎo),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得.【例12】設(shè)由所確定，求解 本題最簡單的方法是利用公式由知

5、 ，則，由知，且令，得，【例13】設(shè)，求. 詳解：, 4、對數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指函數(shù)、連乘、開方、乘方等?！纠?4】設(shè)，求.解5、高階導(dǎo)數(shù)（常用方法）：1）代公式;2）求一階、二階，歸納階導(dǎo)數(shù)3）利用泰勒級數(shù)常用公式:1）2）3）【例15】設(shè)，求解【例16】設(shè)函數(shù)的某領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo),且,則【答案】【詳解】題目考察抽象函數(shù)在某點(diǎn)處的高階導(dǎo)數(shù)。 利用題目已知的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求導(dǎo)便可得出。由，有所以 以代入，得.【例17】設(shè)函數(shù)，則【答案】【詳解】，由數(shù)學(xué)歸納法可知 把代入得 【例18】設(shè)，求解令，則 【例19】求函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù).解法1 利用公式令，解法2等式右端的次項(xiàng)系數(shù)又，則題型三、求切法線方程【例

6、20】設(shè)函數(shù)由方程所確定,則曲線在點(diǎn)處的法線方程為.【答案】 x2y+2=0.【詳解】在等式兩邊對x求導(dǎo),其中視為的函數(shù)，得，即將x=0, y=1代入上式,得，即故所求法線方程斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式法線方程為： 即 x2y+2=0.【例21】曲線上與直線垂直的切線方程為 .【答案】【詳解】方法1：因?yàn)橹本€的斜率，所以與其垂直的直線的斜率滿足，所以，即，曲線上與直線垂直的切線方程的斜率為1，即，得，把代入，得切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)斜式公式得所求切線方程為：，即方法2：本題也可先設(shè)切點(diǎn)為，曲線過此切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為，得，所以切點(diǎn)為，由此可知所求切線方程為， 即 .題型四 函數(shù)特性的討論【例22】設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可

7、導(dǎo)，的圖形如右圖所示，則導(dǎo)函數(shù) 的圖形為 ( )【答案】(D)【詳解】從題設(shè)圖形可見，在軸的左側(cè)，曲線是嚴(yán)格單調(diào)增加的，因此當(dāng)時，一定有，對應(yīng)圖形必在軸的上方，由此可排除(A)，(C)；又的圖形在軸右側(cè)靠近軸部分是單調(diào)增，所以在這一段內(nèi)一定有，對應(yīng)圖形必在軸的上方，可排除(B)，故正確答案為(D).【例23】設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則有( )(A)一個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn). (B)兩個極小值點(diǎn)和一個極大值點(diǎn). (C)兩個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn).(D)三個極小值點(diǎn)和一個極大值點(diǎn).【答案】【分析】函數(shù)的極值點(diǎn)可能是駐點(diǎn)(一階導(dǎo)數(shù)為零)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)

8、可進(jìn)一步由取極值的第一或第二充分條件判定【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有3個(導(dǎo)函數(shù)與軸交點(diǎn)的個數(shù))；是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn) 對3個一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號均不一致，故必為極值點(diǎn)，其中第一個交點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號由正變?yōu)樨?fù)，是極大值點(diǎn)；第二個交點(diǎn)和第三個交點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號由負(fù)變?yōu)檎菢O小值點(diǎn)，則三個駐點(diǎn)中有兩個極小值點(diǎn)，一個極大值點(diǎn)；對導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)：左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，可見為極大值點(diǎn)故共有兩個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn)，應(yīng)選(C)【例24】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值詳解：所以令，則；因?yàn)楫?dāng)時，時，時，時，；所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；的單調(diào)遞增區(qū)間為所以是極大值.為極小

9、值.【例25】求函數(shù)的拐點(diǎn)_.【答案】【詳解】時，；時，不存在在左右近旁異號，在左右近旁，且故曲線的拐點(diǎn)為【例26】曲線的拐點(diǎn)是 ( )(A) (B) (C) (D)【答案】( C)詳解：解析：令，其中，在兩側(cè)，二階導(dǎo)數(shù)符號變化，故選【例27】設(shè)函數(shù)滿足關(guān)系式，且，則( )(A)是的極大值.(B)是的極小值.(C)點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn).(D)不是的極值，點(diǎn)也不是曲線的拐點(diǎn).【答案】C【定理應(yīng)用】判斷極值的第二充分條件：設(shè)函數(shù)在出具有二階導(dǎo)數(shù)且，那么：(1) 當(dāng)時，函數(shù)在處取得極大值；(2)當(dāng)時，函數(shù)在處取得極小值；【詳解】令等式中，得，無法利用判斷極值的第二充分條件，故無法判斷是否為極值或拐點(diǎn).再求

10、導(dǎo)數(shù)(因?yàn)橄率接疫叴嬖冢宰筮呉泊嬖?：以代入，有，所以.從而知，存在去心鄰域，在此去心鄰域內(nèi)，與同號，于是推知在此去心鄰域內(nèi)當(dāng)時曲線是凸的，在此去心臨域內(nèi)時曲線是凹的， 點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，選(C).【例28】設(shè)函數(shù)f (x)的導(dǎo)數(shù)在x=a處連續(xù),又則( )(A) 是的極小值點(diǎn).(B) 是的極大值點(diǎn).(C) 是曲線的拐點(diǎn).(D) 不是的極值點(diǎn),也不是曲線的拐點(diǎn).【答案】 B【詳解】方法1：由知又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在處連續(xù)，根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義，左極限等于右極限等于函數(shù)在這一點(diǎn)的值，所以，于是有即，根據(jù)判定極值的第二充分條件：設(shè)函數(shù)在處具有二階導(dǎo)數(shù)且，當(dāng)時，函數(shù)在處取得極大值. 知是的極大值點(diǎn)，因此

11、，正確選項(xiàng)為(B).方法2：由及極限保號性定理：如果，且(或)，那么存在常數(shù)，使得當(dāng)時，有(或)，知存在的去心鄰域，在此去心鄰域內(nèi).于是推知，在此去心鄰域內(nèi)當(dāng)時；當(dāng)時又由條件知在處連續(xù)，由判定極值的第一充分條件：設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且在的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，若時，而時，則在處取得極大值，知為的極大值. 因此，選 (B).【例29】若曲線有拐點(diǎn)，則.答案：詳解：令，得，所以又曲線過點(diǎn)，代入曲線方程，得題型五 求曲線的漸進(jìn)線【例30】求曲線漸近線的條數(shù)為( )【詳解】因?yàn)?，所以是一條鉛直漸近線；因?yàn)?，所以是沿方向的一條水平漸近線；令 令 所以是曲線的斜漸近線，所以共有3條，選擇(D【例31】求曲線的漸近

12、線。解：顯然曲線無水平漸近線和垂直漸近線是時的斜漸近線同理 是時的斜漸近線題型六、方程根的討論【例32】設(shè)在上可微，且當(dāng)時，試證在內(nèi)有且僅有一個使.證 令，則，由零點(diǎn)定理知方程在內(nèi)至少有一實(shí)根，又，則最多一個實(shí)根，原題得證【例33】求方程不同實(shí)根的個數(shù)，其中k為參數(shù).詳解：顯然為方程一個實(shí)根.當(dāng)時，令令 即當(dāng)時，； 當(dāng)時，.當(dāng)時，；當(dāng)時，.當(dāng)時，由零點(diǎn)定理可知在,內(nèi)各有一個零點(diǎn)； 當(dāng)時，則在,內(nèi)均無零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時，原方程有三個根. 當(dāng)時，原方程有一個根.【例34討論曲線與的交點(diǎn)個數(shù).【詳解】討論曲線與的交點(diǎn)個數(shù)等價于討論方程在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)問題，為此對函數(shù)求導(dǎo)，得可以看出是的駐點(diǎn)，而且當(dāng)時，則，而，有，即單調(diào)減少；當(dāng)時，則，而，有，