第三章--習題答案

1、第三章 效用論1. 已知一件襯衫的價格為80元，一份肯德基快餐的價格為20元，在某消費者關于這兩種商品的效用最大化的均衡點上，一份肯德基快餐對襯衫的邊際替代率MRS是多少？解答：按照兩商品的邊際替代率MRS的定義公式，可以將一份肯德基快餐對襯衫的邊際替代率寫成：MRS12X2/X1其中，X1表示肯德基快餐的份數(shù)；X2表示襯衫的件數(shù)；MRS12表示在維持效用水平不變的前提下，消費者增加一份肯德基快餐消費時所需要放棄的襯衫的消費數(shù)量。在該消費者實現(xiàn)關于這兩種商品的效用最大化時，在均衡點上有MRS12P1/P2即有: MRS120.25它表明，在效用最大化的均衡點上,該消費者關于一份肯德基快餐對襯衫

2、的邊際替代率MRS為0.25。2. 假設某消費者的均衡如圖31(即教材中第96頁的圖322)所示。其中，橫軸OX1和縱軸OX2分別表示商品1和商品2的數(shù)量，線段AB為消費者的預算線，曲線圖31某消費者的均衡U為消費者的無差異曲線，E點為效用最大化的均衡點。已知商品1的價格P12元。(1)求消費者的收入；(2)求商品2的價格P2；(3)寫出預算線方程；(4)求預算線的斜率；(5)求E點的MRS12的值。解答：(1)圖中的橫截距表示消費者的收入全部購買商品1的數(shù)量為30單位，且已知P12元，所以，消費者的收入I2元3060元。(2)圖中縱截距表示消費者的收入全部購買商品2的數(shù)量為20單位，且由(1

3、)已知收入I60元，所以，商品2的價格P2I/2060/203元。(3)由于預算線方程的一般形式為：P1X1P2X2I所以，由(1)、(2)可將預算線方程具體寫為：2X13X260(4)將(3)中的預算線方程進一步整理為X2X120。很清楚，預算線的斜率為。(5)在消費者效用最大化的均衡點E上，有MRS12，即無差異曲線斜率的絕對值即MRS等于預算線斜率的絕對值。因此，MRS123.請畫出以下各位消費者對兩種商品(咖啡和熱茶)的無差異曲線，同時請對(2)和(3)分別寫出消費者B和消費者C的效用函數(shù)。(1)消費者A喜歡喝咖啡，但對喝熱茶無所謂。他總是喜歡有更多杯的咖啡，而從不在意有多少杯熱茶。(

4、2)消費者B喜歡一杯咖啡和一杯熱茶一起喝，他從來不喜歡單獨喝咖啡，或者單獨喝熱茶。(3)消費者C認為，在任何情況下，1杯咖啡和2杯熱茶是無差異的。(4)消費者D喜歡喝熱茶，但厭惡喝咖啡。解答：(1)根據題意，對消費者A而言，熱茶是中性商品，因此，熱茶的消費數(shù)量不會影響消費者A的效用水平。消費者A的無差異曲線見圖32(a)。圖32中的箭頭均表示效用水平增加的方向。(2)根據題意，對消費者B而言，咖啡和熱茶是完全互補品，其效用函數(shù)是Uminx1，x2。消費者B的無差異曲線見圖32(b)。(3)根據題意，對消費者C而言，咖啡和熱茶是完全替代品，其效用函數(shù)是U2x1x2。消費者C的無差異曲線見圖32(

5、c)。(4)根據題意，對消費者D而言，咖啡是厭惡品。消費者D的無差異曲線見圖32(d)。,圖32關于咖啡和熱茶的不同消費者的無差異曲線4.對消費者實行補助有兩種方法：一種是發(fā)給消費者一定數(shù)量的實物補助，另一種是發(fā)給消費者一筆現(xiàn)金補助，這筆現(xiàn)金額等于按實物補助折算的貨幣量。試用無差異曲線分析法，說明哪一種補助方法能給消費者帶來更大的效用。 圖33解答：一般說來，發(fā)給消費者現(xiàn)金補助會使消費者獲得更大的效用。其原因在于：在現(xiàn)金補助的情況下，消費者可以按照自己的偏好來購買商品，以獲得盡可能大的效用。如圖33所示。在圖33中，直線AB是按實物補助折算的貨幣量構成的現(xiàn)金補助情況下的預算線。在現(xiàn)金補助的預算

6、線AB上，消費者根據自己的偏好選擇商品1和商品2的購買量分別為x和x，從而實現(xiàn)了最大的效用水平U2，即在圖33中表現(xiàn)為預算線AB和無差異曲線U2相切的均衡點E。而在實物補助的情況下，則通常不會達到最大的效用水平U2。因為，譬如，當實物補助的商品組合為F點(即兩商品數(shù)量分別為x11、x21)，或者為G點(即兩商品數(shù)量分別為x12和x22)時，則消費者能獲得無差異曲線U1所表示的效用水平，顯然，U1U2。5. 已知某消費者每年用于商品1和商品2的收入為540元，兩商品的價格分別為P120元和P230元，該消費者的效用函數(shù)為U3X1X，該消費者每年購買這兩種商品的數(shù)量應各是多少？每年從中獲得的總效用

7、是多少？解答：根據消費者的效用最大化的均衡條件:其中，由U3X1X可得MU13X MU26X1X2于是有:整理得:X2X1(1)將式(1)代入預算約束條件:20X130X2540得：20X130X1540解得：X9將X9代入式(1)得：X12因此，該消費者每年購買這兩種商品的數(shù)量應該為9和12。將以上最優(yōu)的商品組合代入效用函數(shù)得：U*3X(X)2391223 888它表明該消費者的最優(yōu)商品購買組合給他帶來的最大效用水平為3 888。6. 假設某商品市場上只有A、B兩個消費者，他們的需求函數(shù)各自為Q204P和Q305P。(1)列出這兩個消費者的需求表和市場需求表。(2)根據(1)，畫出這兩個消費

8、者的需求曲線和市場需求曲線。解答：(1)由消費者A的需求函數(shù)Q204P，可編制消費者A的需求表；由消費者B的需求函數(shù)Q305P，可編制消費B的需求表。至于市場的需求表的編制可以使用兩種方法，一種方法是利用已得到消費者A、B的需求表，將每一價格水平上兩個消費者的需求數(shù)量加總來編制市場需求表；另一種方法是先將消費者A和B的需求函數(shù)加總來求得市場需求函數(shù)，即市場需求函數(shù)QdQQ(204P)(305P)509P， 然后運用所得到的市場需求函數(shù)Qd509P來編制市場需求表。這兩種方法所得到的市場需求表是相同的。按以上方法編制的3張需求表如下所示。消費者A的需求表PQ020116212384450,消費者

9、B的需求表PQ0301252203154105560,市場的需求表PQdQAd+QBd0501412323234145560(2)由(1)中的3張需求表，所畫出的消費者A和B各自的需求曲線以及市場的需求曲線如圖34所示。圖34在P5的范圍，市場需求函數(shù)Qd509P成立；而當P5時，只有消費者B的需求函數(shù)才構成市場需求函數(shù)，即Qd305P。在此，需要特別指出的是，市場需求曲線有一個折點，該點發(fā)生在價格P5和需求量Qd5的坐標點位置。關于市場需求曲線的這一特征，可以從兩個角度來解釋：一個角度是從圖形來理解，市場需求曲線是市場上單個消費者需求曲線的水平加總，即在P5的范圍，市場需求曲線由兩個消費者需

10、求曲線水平加總得到；而當P5時，只有消費者B的需求曲線發(fā)生作用，所以，他的需求曲線就是市場需求曲線。另一個角度是從需求函數(shù)看，7. 假定某消費者的效用函數(shù)為Uxeq f(3,8)1xeq f(5,8)2，兩商品的價格分別為P1，P2，消費者的收入為M。分別求該消費者關于商品1和商品2的需求函數(shù)。解答：根據消費者效用最大化的均衡條件eq f(MU1,MU2)eq f(P1,P2)其中，由已知的效用函數(shù)Uxeq f(3,8)1xeq f(5,8)1可得MU1eq f(dTU,dx1)eq f(3,8)xeq f(5,8)1xeq f(5,8)2MU2eq f(dTU,dx2)eq f(5,8)xe

11、q f(3,8)1xeq f(3,8)2于是，有eq f(f(3,8)xf(5,8)1xf(5,8)2,f(5,8)xf(3,8)1xf(3,8)2)eq f(P1,P2)整理得eq f(3x2,5x1)eq f(P1,P2)即有x2eq f(5P1x1,3P2)(1)將式(1)代入約束條件P1x1P2x2M，有P1x1P2eq f(5P1x1,3P2)M解得xeq oal(*,1)eq f(3M,8P1)代入式(1)得xeq oal(*,2)eq f(5M,8P2)。所以，該消費者關于兩商品的需求函數(shù)為eq blcrc (avs4alco1(xoal(*,1)f(3M,8P1)xoal(*,

12、2)f(5M,8P2)8. 令某消費者的收入為M，兩商品的價格為P1、P2。假定該消費者的無差異曲線是線性的，且斜率為a。求該消費者的最優(yōu)商品消費組合。解答：由于無差異曲線是一條直線，且其斜率的絕對值MRS12eq f(dx2,dx1)a，又由于預算線總是一條直線，且其斜率為eq f(P1,P2)，所以，該消費者的最優(yōu)商品組合有以下三種情況，其中第一、二種情況屬于邊角解，如圖35所示。第一種情況：當MRS12eq f(P1,P2)，即aeq f(P1,P2)時，如圖35(a)所示，效用最大化的均衡點E位于橫軸，它表示此時的最優(yōu)解是一個邊角解，即xeq oal(,1)eq f(M,P1)，xeq

13、 oal(*,2)0。也就是說，消費者將全部收入都購買商品1，并由此達到最大的效用水平，該效用水平在圖中用以實線表示的無差異曲線標出。顯然，該效用水平高于在既定的預算線上的其他任何一個商品組合所能達到的效用水平，例如那些用虛線表示的無差異曲線的效用水平。圖35第二種情況：當MRS12eq f(P1,P2)，即aeq f(P1,P2)時，如圖35(b)所示，效用最大化的均衡點E位于縱軸，它表示此時的最優(yōu)解是一個邊角解，即xeq oal(,1)0，xeq oal(,2)eq f(M,P2)。也就是說，消費者將全部收入都購買商品2，并由此達到最大的效用水平，該效用水平在圖中用以實線表示的無差異曲線標

14、出。顯然，該效用水平高于在既定的預算線上的其他任何一個商品組合所能達到的效用水平，例如那些用虛線表示的無差異曲線的效用水平。第三種情況：當MRS12eq f(P1,P2)，即aeq f(P1,P2)時，如圖35(c)所示，無差異曲線與預算線重疊，效用最大化的均衡點可以是預算線上任何一點的商品組合，即最優(yōu)解為xeq oal(,1)0，xeq oal(,2)0，且滿足P1x1P2x2M。此時所達到的最大效用水平在圖中用以實線表示的無差異曲線標出，顯然，該效用水平高于其他任何一條在既定預算約束條件下可以實現(xiàn)的用虛線表示的無差異曲線的效用水平。9. 假定某消費者的效用函數(shù)為Uq0.53M，其中，q為某

15、商品的消費量，M為收入。求：(1)該消費者的需求函數(shù)；(2)該消費者的反需求函數(shù)；(3)當peq f(1,12)，q4時的消費者剩余。解答：(1)由題意可得，商品的邊際效用為MUeq f(U,q)0.5q0.5貨幣的邊際效用為eq f(U,M)3于是，根據消費者均衡條件eq f(MU,p)，有eq f(0.5q0.5,p)3整理得需求函數(shù)為qeq f(1,36p2)。(2)由需求函數(shù)qeq f(1,36p2)，可得反需求函數(shù)為peq f(1,6r(q)(3)由反需求函數(shù)peq f(1,6r(q)，可得消費者剩余為CSeq oal(q,0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,6r(

16、q)dqpqeq f(1,3)qeq f(1,2)eq oal(q,0)pqeq f(1,3)qeq f(1,2)pq將peq f(1,12)，q4代入上式，則有消費者剩余CSeq f(1,3)4eq f(1,2)eq f(1,12)4eq f(1,3)10. 設某消費者的效用函數(shù)為柯布道格拉斯類型的，即Uxy，商品x和商品y的價格分別為Px和Py，消費者的收入為M，和為常數(shù)，且1。(1)求該消費者關于商品x和商品y的需求函數(shù)。(2)證明當商品x和y的價格以及消費者的收入同時變動一個比例時，消費者對兩商品的需求關系維持不變。(3)證明消費者效用函數(shù)中的參數(shù)和分別為商品x和商品y的消費支出占消費

17、者收入的份額。解答：(1)由消費者的效用函數(shù)Uxy，算得eq blc rc (avs4alco1(MUxf(U,x)x1yMUyf(U,y)xy1)消費者的預算約束方程為PxxPyyM(1)根據消費者效用最大化的均衡條件eq blcrc (avs4alco1(f(MUx,MUy)f(Px,Py)PxxPyyM)(2)得eq blcrc (avs4alco1(f(x1y,xy1)f(Px,Py)PxxPyyM)(3)圖36解方程組(3)，可得xM/Px(4)yM/Py(5)式(4)和式(5)即為消費者關于商品x和商品y的需求函數(shù)。上述需求函數(shù)的圖形如圖36所示。(2)商品x和y的價格以及消費者的

18、收入同時變動一個比例，相當于消費者的預算線變?yōu)镻xxPyyM(6)其中為一非零常數(shù)。此時消費者效用最大化的均衡條件變?yōu)閑q blcrc (avs4alco1(f(x1y,xy1)f(Px,Py)PxxPyyM)(7)由于0，故方程組(7)化為eq blcrc (avs4alco1(f(x1y,xy1)f(Px,Py)PxxPyyM)(8)顯然，方程組(8)就是方程組(3)，故其解就是式(4)和式(5)。這表明，消費者在這種情況下對兩商品的需求關系維持不變。(3)由消費者的需求函數(shù)式(4)和式(5)，可得Pxx/M(9)Pyy/M(10)關系式(9)的右邊正是商品x的消費支出占消費者收入的份額。

19、關系式(10)的右邊正是商品y的消費支出占消費者收入的份額。故結論被證實。11.已知某消費者的效用函數(shù)為UX1X2，兩商品的價格分別為P14，P22，消費者的收入是M80?，F(xiàn)在假定商品1的價格下降為P12。求：(1)由商品1的價格P1下降所導致的總效應，使得該消費者對商品1的購買量發(fā)生多少變化？(2)由商品1的價格P1下降所導致的替代效應，使得該消費者對商品1的購買量發(fā)生多少變化？ (3)由商品1的價格P1下降所導致的收入效應，使得該消費者對商品1的購買量發(fā)生多少變化？ 解答：利用圖37解答此題。在圖37中，當P14，P22時，消費者的預算線為AB，效用最大化的均衡點為a。當P12，P22時，

20、消費者的預算線為AB，效用最大化的均衡點為b。圖37(1)先考慮均衡點a。根據效用最大化的均衡條件MRS12eq f(P1,P2)，其中，MRS12eq f(MU1,MU2)eq f(X2,X1)，eq f(P1,P2)eq f(4,2)2，于是有eq f(X2,X1)2，X1eq f(1,2)X2。將X1eq f(1,2)X2代入預算約束等式4X12X280，有4eq f(1,2)X22X280解得X220進一步得X110則最優(yōu)效用水平為U1X1X21020200再考慮均衡點b。當商品1的價格下降為P12時，與上面同理，根據效用最大化的均衡條件MRS12eq f(P1,P2)，有eq f(X

21、2,X1)eq f(2,2)，X1X2。將X1X2代入預算約束等式2X12X280，解得X120，X220。從a點到b點商品1的數(shù)量變化為X1201010，這就是P1變化引起的商品1消費量變化的總效應。(2)為了分析替代效應，作一條平行于預算線AB且相切于無差異曲線U1的補償預算線FG，切點為c點。在均衡點c，根據MRS12eq f(P1,P2)的均衡條件，有eq f(X2,X1)eq f(2,2)，X1X2。將X1X2代入效用約束等式U1X1X2200，解得X114，X214(保留整數(shù))。從a點到c點的商品1的數(shù)量變化為X114104，這就是P1變化引起的商品1消費量變化的替代效應。(3)至

22、此可得，從c點到b點的商品1的數(shù)量變化為X120146，這就是P1變化引起的商品1消費量變化的收入效應。當然，由于總效應替代效應收入效應，故收入效應也可由總效應X110減去替代效應X14得到，仍為6。12.某消費者是一個風險回避者，他面臨是否參與一場賭博的選擇：如果他參與這場賭博，他將以5%的概率獲得10 000元，以95%的概率獲得10元；如果他不參與這場賭博，他將擁有509.5元。那么，他會參與這場賭博嗎？為什么？解答：該風險回避的消費者不會參與這場賭博。因為如果該消費者不參與這場賭博，那么，在無風險條件下，他可擁有一筆確定的貨幣財富量509.5元，其數(shù)額剛好等于風險條件下的財富量的期望值

23、10 0005%1095%509.5元。由于他是一個風險回避者，所以在他看來，作為無風險條件下的一筆確定收入509.5元的效用水平，一定大于風險條件下這場賭博所帶來的期望效用。13. 基數(shù)效用論者是如何推導需求曲線的？解答：要點如下：(1)基數(shù)效用論者提出的商品的邊際效用遞減規(guī)律是其推導需求曲線的基礎。他們指出，在其他條件不變的前提下，隨著消費者對某商品消費數(shù)量的連續(xù)增加，該商品的邊際效用是遞減的，所以，消費者對每增加一單位商品所愿意支付的最高價格(即需求價格)也是遞減的，即消費者對該商品的需求曲線是向右下方傾斜的。(2)在只考慮一種商品的前提下，消費者實現(xiàn)效用最大化的均衡條件是eq f(MU

24、,P)。由此均衡條件出發(fā)，可以計算出需求價格，并推導與理解(1)中的消費者的向右下方傾斜的需求曲線。14. 用圖說明序數(shù)效用論者對消費者均衡條件的分析，以及在此基礎上對需求曲線的推導。解答：要點如下：(1)本題涉及的兩個基本分析工具是無差異曲線和預算線。無差異曲線是用來表示消費者偏好相同的兩種商品的全部組合的，其斜率的絕對值可以用商品的邊際替代率MRS來表示。預算線表示在消費者收入和商品價格給定的條件下，消費者全部收入所能購買到的兩種商品的全部組合，其斜率為eq f(P1,P2)。(2)消費者效用最大化的均衡點發(fā)生在一條給定的預算線與無數(shù)條無差異曲線中的一條相切的切點上，于是，消費者效用最大化

25、的均衡條件為：MRS12eq f(P1,P2)，或者eq f(MU1,P1)eq f(MU2,P2)。(3)在(2)的基礎上進行比較靜態(tài)分析，即令一種商品的價格發(fā)生變化，便可以得到該商品的價格消費曲線。價格消費曲線是在其他條件不變的前提下，與某一種商品的不同價格水平相聯(lián)系的消費者效用最大化的均衡點的軌跡。如圖38(a)所示。圖38(4)在(3)的基礎上，將一種商品的不同價格水平和相應的最優(yōu)消費量即需求量之間的一一對應關系描繪在同一坐標平面上，就可以得到需求曲線，如圖38(b)所示。顯然有：需求曲線一般斜率為負，表示商品的價格和需求量成反方向變化；而且，在需求曲線上與每一價格水平相對應的需求量都

26、是可以在該價格水平給消費者帶來最大效用的最優(yōu)消費數(shù)量。15. 分別用圖分析正常物品、低檔物品和吉芬物品的替代效應和收入效應，并進一步說明這三類物品的需求曲線的特征。解答：要點如下：(1)當一種商品的價格發(fā)生變化時所引起的該商品需求量的變化可以分解為兩個部分，它們分別是替代效應和收入效應。替代效應是指僅考慮商品相對價格變化所導致的該商品需求量的變化，而不考慮實際收入水平(即效用水平)變化對需求量的影響。收入效應則相反，它僅考慮實際收入水平(即效用水平)變化導致的該商品需求量的變化，而不考慮相對價格變化對需求量的影響。(2)無論是分析正常物品還是低檔物品，甚至吉芬物品的替代效應和收入效應，都需要運

27、用的一個重要分析工具即補償預算線。在圖39中，以正常物品的情況為例加以說明。圖39中，初始的消費者效用最大化的均衡點為a點，相應的正常物品(即商品1)的需求為x11。價格P1下降以后的效用最大化的均衡點為b點，相應的需求量為x12。即P1下降的總效應為x11x12，且為增加量，故有總效應與價格成反方向變化。圖39然后，作一條平行于預算線AB且與原有的無差異曲線U1相切的補償預算線FG(以虛線表示)，相應的效用最大化的均衡點為c點，而且注意，此時b點的位置一定處于c點的右邊。于是，根據(1)中的闡述，則可以得到：給定的代表原有效用水平的無差異曲線U1與代表P1變化前后的不同相對價格的(即斜率不同

28、的)預算線AB、FG分別相切的a、c兩點，表示的是替代效應，即替代效應為x11x13，且為增加量，故有替代效應與價格成反方向變化；代表不同效用水平的無差異曲線U1和U2分別與兩條代表相同相對價格的(即斜率相同的)預算線FG、AB相切的c、b兩點，表示的是收入效應，即收入效應為x13x12，且為增加量，故有收入效應與價格成反方向變化。最后，由于正常物品的替代效應和收入效應都分別與價格成反方向變化，所以，正常物品的總效應與價格一定成反方向變化，由此可知，正常物品的需求曲線是向右下方傾斜的。(3)關于低檔物品和吉芬物品。在此略去關于這兩類商品的具體的圖示分析。需要指出的要點是，這兩類商品的替代效應都

29、與價格成反方向變化，而收入效應都與價格成同方向變化，其中，大多數(shù)低檔物品的替代效應大于收入效應，而低檔物品中的特殊商品吉芬物品的收入效應大于替代效應。于是，大多數(shù)低檔物品的總效應與價格成反方向變化，相應的需求曲線向右下方傾斜，低檔物品中少數(shù)的特殊商品即吉芬物品的總效應與價格成同方向的變化，相應的需求曲線向右上方傾斜。(4)基于(3)的分析，所以，在讀者自己利用與圖39相似的圖形來分析低檔物品和吉芬物品的替代效應和收入效應時，在一般的低檔物品的情況下，一定要使b點落在a、c兩點之間，而在吉芬物品的情況下，則一定要使b點落在a點的左邊。唯有如此作圖，才符合(3)中理論分析的要求。三、但愿有一天你會

30、記起，我曾默默地，毫無希望地愛過你。我這扇門曾為你打開，只為你一人打開，現(xiàn)在，我要把它關上了。四、你看我的時候我裝做在看別處，你在看別處的時候我在看你。五、陸上的人喜歡尋根究底，虛度很多的光陰。冬天擔憂夏天的遲來，夏天擔心冬天的將至。所以你們不停到處去追求一個遙不可及，四季如夏的地方，我并不羨慕。六、沒想到的是，一別竟是一輩子了。七、朋友們都羨慕我，其實羨慕他們的人是我。愛你，很久了，等你，也很久了，現(xiàn)在，我要離開你了，比很久很久還要久八、Do something today that your future self will thank you for. 從現(xiàn)在開始，做一些讓未來的你感謝現(xiàn)在的自己的事。九、有個懂你的人，是最大的幸福。這個人，不一定十