等時圓及其應(yīng)用

1、“等時圓”模型及其應(yīng)用(1)物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點(diǎn)時間均相等，且為t2(如圖甲所示)(2)物體沿著位于同一豎直圓上的所有過頂點(diǎn)的光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周低端時間相等為t2(如圖乙所示)2巧用等時圓模型解題對于涉及豎直面上物體運(yùn)動時間的比較、計(jì)算等問題可考慮用等時圓模型求解例1、如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的固定光滑圓環(huán)軌道與水平面相切于M點(diǎn)，與豎直墻相切于A點(diǎn)豎直墻上另一點(diǎn)B與M的連線和水平面的夾角為60°，C是圓環(huán)軌道的圓心已知在同一時刻a、b兩球分別由A、B兩點(diǎn)從靜止開始沿光滑傾斜直軌道AM、BM運(yùn)動到M點(diǎn)；c球由C點(diǎn)自由下落到M點(diǎn)則()Aa

2、球最先到達(dá)M點(diǎn)Bb球最先到達(dá)M點(diǎn)Cc球最先到達(dá)M點(diǎn)Db球和c球都可能最先到達(dá)M點(diǎn)解【析】如圖所示，令圓環(huán)半徑為R，則c球由C點(diǎn)自由下落到M點(diǎn)用時滿足Rgt，所以tc ；對于a球令A(yù)M與水平面成角，則a球下滑到M用時滿足2Rsin gsin t，即ta2；同理b球從B點(diǎn)下滑到M點(diǎn)用時也滿足tb2(r為過B、M且與水平面相切于M點(diǎn)的豎直圓的半徑，rR)綜上所述可得tbtatc.例2、在一豎直墻面上固定一光滑的桿AB，如圖所示，BD為水平地面，ABD三點(diǎn)在同一豎直平面內(nèi)，且連線AC=BC=0.1m 一小球套在桿上自A端滑到B端的時間為：（ B ）A 0.1s B 0.2s C D s解析：以C為圓心

3、作一個參考園。由結(jié)論知，小球自A到B運(yùn)動的時間與自A到B自由落體運(yùn)動的時間相等。即AE=2R=0.2mAE=gt t=0.2s例3如圖所示，AB是一個傾角為的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚(yáng)，在P與AB輸送帶間建立一管道(假設(shè)其光滑)，使原料從P處以最短的時間到達(dá)輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？【解析】借助“等時圓”理論，可以以過P點(diǎn)的豎直線為半徑作圓，要求該圓與輸送帶AB相切，如圖所示，C為切點(diǎn)，O為圓心顯然，沿著PC弦建立管道，原料從P處到達(dá)C點(diǎn)處的時間與沿其他弦到達(dá)“等時圓”的圓周上所用時間相等因而，要使原料從P處到達(dá)輸送帶上所用時間最短，需沿著PC弦建立管道由幾何關(guān)系

4、可得：PC與豎直方向間的夾角等于/2.【答案】/2例4、如圖所示，圓弧AB是半徑為R的圓弧，在AB上放置一光滑木板BD，一質(zhì)量為m的小物體在BD板的D端由靜止下滑，然后沖向水平面BC，在BC上滑行L后停下不計(jì)小物體在B點(diǎn)的能量損失，已知小物體與水平面BC間的動摩擦因數(shù)為.求：小物體在BD上下滑過程中重力做功的平均功率【解析】由動能定理可知小物體從D到C有WGmgL0，所以WGmgL由等時圓知識可知小物體從D到B的時間等于物體從圓周的最高點(diǎn)下落到B點(diǎn)的時間，即為t ，所以小物體在木板BD上下滑過程中，重力做功的平均功率為P.例5、圖甲是某景點(diǎn)的山坡滑道圖片，為了探究滑行者在滑道直線部分AE滑行的時間技術(shù)人員通過測量繪制出如圖乙所示的示意圖AC是滑道的豎直高度，D點(diǎn)是AC豎直線上的一點(diǎn)，且有ADDE10 m，滑道AE可視為光滑，滑行者從坡頂A點(diǎn)由靜止開始沿滑道AE向下做直線滑動，g取10 m/s2，則滑行者在滑道AE上滑行的時間為()A. sB2 sC.