必修一函數(shù)題型歸納總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上函數(shù)1.函數(shù): AB是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與軸的垂線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，但與軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有，也可能有任意個(gè)。 【例2】（1）已知函數(shù)，那么集合 中所含元素的個(gè)數(shù)有 個(gè).（2）若函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間，則 2. 同一函數(shù)的概念。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對應(yīng)法則。而值域可由定義域和對應(yīng)法則唯一確定，因此當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同時(shí)，它們一定為同一函數(shù)?！纠?】若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“天一函數(shù)”，那么解析式為，值域?yàn)?，1的“天一函數(shù)”共有_個(gè)3. 求函數(shù)定義域

2、的常用方法（在研究函數(shù)問題時(shí)要樹立定義域優(yōu)先的原則）：（1）根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，對數(shù)中且，三角形中, 最大角，最小角等?！纠?】（1）函數(shù)的定義域是_ _ （2）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則_.（3）函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是_（4）（重要題型）設(shè)函數(shù)，若的定義域是R，求實(shí)數(shù)的取值范圍 ；若的值域是R，求實(shí)數(shù)的取值范圍 。（2）根據(jù)實(shí)際問題的要求確定自變量的范圍。（3）復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知的定義域?yàn)?其復(fù)合函數(shù)的定義域由不等式 解出即可；若已知的定義域?yàn)?求的定義域，相當(dāng)于當(dāng)時(shí)，求的值域（即的定義域）?！纠?】（1）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)開（2）若

3、函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開4.求函數(shù)值域（最值）的方法：（1）配方法二次函數(shù)（二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間上的最值；二是求區(qū)間定（動(dòng)），對稱軸動(dòng)（定）的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系），【例6】（1）求函數(shù)的值域: （2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)取得最大值，則的 取值范圍是_ （3）已知的圖像過點(diǎn)（2,1），則的值域?yàn)開（2）換元法通過換元把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，【例7】（1）的值域?yàn)開 _（2）的值域?yàn)開 _（3）的值域?yàn)開 （4）

4、的值域?yàn)開（3）函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性，【例8】求函數(shù)，的值域?（4）單調(diào)性法利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，【例9】求，的值域?（5）數(shù)形結(jié)合法函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率、等等，【例10】（1）已知點(diǎn)在圓上，求及的取值范圍?（2）求函數(shù)的值域?（3）求函數(shù)及的值域?（6）判別式法對分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類題型有時(shí)也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式：型，可直接用不等式

5、性質(zhì)，【例11】求的值域?型，先化簡，再用均值不等式，【例12】（1）求的值域 （2）求函數(shù)的值域 型，通常用判別式法；【例13】已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，2，求常數(shù)的值?型，可用判別式法或均值不等式法，【例14】求的值域 （7）不等式法利用基本不等式：求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧?！纠?5】設(shè)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的取值范圍是_.5.分段函數(shù)：在其定義域的不同子集上，分別用幾個(gè)不同的式子來表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值時(shí)，一定首先要判斷屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再

6、代相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集?！纠?7】（1）設(shè)函數(shù)，則使得的自變量的取值范圍是_ （2）已知，則不等式的解集是_7.求函數(shù)解析式的常用方法：（1）待定系數(shù)法已知所求函數(shù)的類型（二次函數(shù)的表達(dá)形式有三種：一般式：；頂點(diǎn)式：；零點(diǎn)式：，要會根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活地選用二次函數(shù)的表達(dá)形式）?！纠?8】已知為二次函數(shù)，且 ，且f(0)=1,圖像在x軸上截得的線段長為2,求的解析式?【一題多解】（2）代換（配湊）法已知形如的表達(dá)式，求的表達(dá)式?！纠?9】（1）已知 求的解析式 （2）若，則函數(shù)=_（3）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，那么當(dāng)時(shí)，=

7、_（3）方程的思想已知條件是含有及另外一個(gè)函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對等式的進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于及另外一個(gè)函數(shù)的方程組。【例20】（1）已知，求的解析式 （2）已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且+= ,則= _8.函數(shù)的奇偶性。（1）【定義域優(yōu)先原則】具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱！為此確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱?！纠?7】若函數(shù)，為奇函數(shù)，其中，則的值是 （2）確定函數(shù)奇偶性的常用方法（若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡，再判斷其奇偶性）：定義法：【例28】判斷函數(shù)的奇偶性_ 利用函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式：或（）?！纠?9】判斷的奇偶性_

8、_.圖像法：奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱；偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱。（3）函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：【口訣：奇同偶異】奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).若為偶函數(shù)，則.【例30】若定義在R上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，且=2，則不等式的解集為_.若奇函數(shù)定義域中含有0，則必有.故是為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件?！纠?1】若為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)_定義在關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和（或差）”?！纠?2】設(shè)是定義域?yàn)镽的任一函數(shù)， ，。判斷與的奇

9、偶性； 若將函數(shù)，表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)之和，則_ 復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.既奇又偶函數(shù)有無窮多個(gè)（，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意一個(gè)數(shù)集）.10.函數(shù)的單調(diào)性。（1）確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：在解答題中常用：定義法（取值作差變形定號）、導(dǎo)數(shù)法（在區(qū)間 內(nèi)，若總有，則為增函數(shù)；反之，若在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，則，請注意兩者的區(qū)別所在?！纠?3】已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是_在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，特別要注意型函數(shù)的圖像和單調(diào)性在解題中的運(yùn)用：增區(qū)間為；減區(qū)間為.【例34】（1）若函數(shù) 在區(qū)間（，4 上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范

10、圍是_ _（2）已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍_ _（3）若函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ _復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)是同增異減，【例35】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_ _（2）特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，一是勿忘定義域；二是在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號“”和“或”；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示【例36】若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍 （3）你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎?（比較大?。唤獠坏仁?；求參數(shù)范圍）.【例37】已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若，求實(shí)數(shù)的取值范圍 。11. 常見的圖像變換：函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向左平移個(gè)單位得

11、到的?！纠?8】設(shè)的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱，的圖像由的圖像向右平移1個(gè)單位得到，則為_函數(shù)(的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向右平移個(gè)單位得到的?！纠?9】（1）若，則函數(shù)的最小值為_（2）要得到的圖像，只需作關(guān)于_軸對稱的圖像，再向_平移3個(gè)單位而得到。（3）函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有_個(gè).函數(shù)+的圖像是把函數(shù)助圖像沿軸向上平移個(gè)單位得到的；函數(shù)+的圖像是把函數(shù)助圖像沿軸向下平移個(gè)單位得到的；【例40】將函數(shù)的圖像向右平移2個(gè)單位后又向下平移2個(gè)單位,所得圖像如果與原圖像關(guān)于直線對稱,那么 （ ） 函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸伸縮為原來的得到的。【例41】（1）將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?/p>

12、的（縱坐標(biāo)不變），再將此圖像沿軸方向向左平移2個(gè)單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為_ （2）如若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的對稱軸方程是_函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸伸縮為原來的倍得到的. 12. 函數(shù)的對稱性：滿足條件的函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱?！纠?2】已知二次函數(shù)滿足條件且方程有等根，則_ _點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為；函數(shù)關(guān)于軸的對稱曲線方程為；點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為；函數(shù)關(guān)于軸的對稱曲線方程為； 點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為；函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)的對稱曲線方程為； 點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為；曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程為。特別地，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為；曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程為；點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為；曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方

13、程為。【例43】己知函數(shù),若的圖像是,它關(guān)于直線對稱圖像是關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖像為對應(yīng)的函數(shù)解析式是_曲線關(guān)于點(diǎn)的對稱曲線的方程為。【例44】若函數(shù)與的圖像關(guān)于點(diǎn)（-2，3）對稱，則_ 形如的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的系數(shù)確定)，對稱中心是點(diǎn)?！纠?5】已知函數(shù)圖像與關(guān)于直線對稱，且圖像關(guān)于點(diǎn)（2，3）對稱，則a的值為_的圖像先保留原來在軸上方的圖像，做出軸下方的圖像關(guān)于軸的對稱圖形，然后擦去軸下方的圖像得到；的圖像先保留在軸右方的圖像，擦去軸左方的圖像，然后作出軸右方的圖像關(guān)于軸的對稱圖形得到?！纠?6】（1）作出函數(shù)及的圖像；（2）若函數(shù)是定義在

14、R上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于_對稱 提醒：（1）從結(jié)論可看出，求對稱曲線方程的問題，實(shí)質(zhì)上是利用代入法轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的對稱問題；（2）證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任一點(diǎn)關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點(diǎn)仍在圖像上；（3）證明圖像與的對稱性，需證兩方面：證明上任意點(diǎn)關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點(diǎn)仍在上；證明上任意點(diǎn)關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點(diǎn)仍在上?！纠?7】（1）已知函數(shù)，求證：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形；（2）設(shè)曲線C的方程是,將C沿軸, 軸正方向分別平行移動(dòng)單位長度后得曲線。寫出曲線的方程 證明曲線C與關(guān)于點(diǎn)對稱。13. 函數(shù)的周期性。（1）類比“三角函數(shù)圖像”得：若圖像有兩條對稱軸，則必是周期函數(shù)，且一周期為；若圖像有兩個(gè)對稱中心，則是周期函數(shù)，且一周期為；如果函數(shù)的圖像有一個(gè)對稱中心和一條對稱軸，則函數(shù)必是周期函數(shù)，且一周期為；【例