小學奧數(shù)-幾何五大模型(相似模型)

1、*任意四邊形、 梯形與相似模型模型四相似三角形模型A（一）金字塔 .模型（/ AD F EBGC) 沙漏模型二l:E FDAB GCAD AB S aadie：AE DE AF ；AC BC AGS abc AF 2 : AG所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角（只要其形狀不改變，不論大小然怎樣改變它們都相似），與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應(yīng)的底邊長的一半。相似三角形模型，給我們提供

2、了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具。在小學奧數(shù)里，由現(xiàn)最多的情況是因為兩條平行線而由現(xiàn)的相似三角形?！纠?1】如圖，已知在平行四邊形 ABCD中，AB 16 , AD 10 , BE 4 ，那么FC的長度是 多少？Dc【解析】A /BE圖中有一個沙漏， 也有金字塔、但我們用沙漏就能解決問1-ME ,j二4所以 BF : FC BE : CD 4:16 1: 4,所以 FC 1014因為AB平行于CD ,8*例2 如圖,測地小玻璃管口徑的量具如果小玻璃管DE是多大？/DE '正好對著量具上A)20AB的長為15厘米，AC被分為60等份。等份處（DE平行AB ）,那么小玻璃管口徑A0

3、 10 20 30 40 50 60【解析】 有一個學字塔模型，所以DE :/ AB DC : AC ,10厘DE :15 40:60 ,所以 DE 米。例3 如圖J DE，平行BC若AD : DB2:3 ,那么S ADE : S ECB【解析】根據(jù)金字塔' ADE: SA ABC 22 :5 2設(shè)S: SSAADE 4 份3)AD:AB AE:ACDE :BC 2: (22:5 AD必4: 1。C B【例41如圖， 則S A 四邊形【解析】SA AFG4:25 , SA ABC25份bec 2份,所以 ABC 中，DE ADE : S 四邊形 FGCBFGDEGF : SAD ,EG

4、FB設(shè) S ADE 1 份, 所以 S aade: S 24 份，S ABCBC互相平行、AD DFFB根據(jù)面積比等于相似比的平方,afg AD 2 : AF 1: 4AB2, S AADE : S A ABCAD 21: 99 份,進而有S四邊形DEGF'S四山形FGCB5份所以 ADE: S四正形DEGF: S四邊形1:3:5FGCB【鞏固】【解析】【鞏固】【解析】【總結(jié)】律： 數(shù)列。例5 如圖，/ DE平行BC、且AD由金字塔模型得 AD : AB如圖,ADE2, AB 5, AE 4,求 AC 的長。AE : AC DE : BC 2:5 ，所以?C 4 2 5 10中， AB

5、C DE FGMN互相平行,BCAD DF FM MP PB: S四邊彩: S四邊形DEGF FGNM設(shè) S ADES四邊形DEGF所以 有: S四邊形: S四邊形MNQPPQCB1 份，Sa 份，同理 有3ade： S aafgS四邊形FGNMaD：af25份，1:4因止匕S aafgS MNQP份,四邊4份，進而有四邊9份.PQCBAD:S E S邊形FGN形DEGFS:四邊形MNQP SPQCB1:3:5:7:9繼續(xù)拓展，我們得到一個規(guī)已知 4ABC中，DE平行BCE求SA ABC '平行線等分線段后,所分由來的圖形的面積成等差A(yù)D : DB 2:3且S 梯形DBCE比S ade

6、 大 8.5 cm【解析】根據(jù) 金二字二塔型 AD:ABDE:BC2:(2SA ABC3F 2:5,12.5 cm 2ABC22 :5 2 4:25梯形D BC2 E54份，S梯形dbceIz匕SA A4份，則入25 份ADEDSAEABC17 份 ， 恰 好 是 8.5， 所大cm2 以6 】如圖：MN 平行 BC ，S>A MPN ： S BCP 4 ：9， AM 4 cm ，求 BM 的長度= 胃PBC【解析】 在沙漏模型中，因為Sampn : S bcp4:9 ,所以MN :BCAM:ABMN :BC2:3 ，因為 AM 4 cm , ABBM 6 4 2 c m【鞏固】如圖，已

7、知L - DE 平行看C , BO: EO 3:2,那么 AD:ABA2 ,在金字塔模型中3 有：6 cm ，所4 2 3 以【解析】DOBACBC : DE3: 2H 一，再由金字塔模型由沙漏模型得 BO: EO 得AD:AB DE E# 2:3 .1【例7】如圖， ABC 中，AEAB, AD444平方厘米。那么' AED的面積是/ /a ED Q1EOD的面積是AC, ED與BC平行， 1 4平方厘米?！窘馕觥?因為AE 1 AB, AD1A后ED與BC平行，；44根據(jù)相似模型可知ED: BC 1:4,EO:OC 1:4則Scde 43白5卡方厘米，一.,Scod4S EOD 4

8、 平方厘米，又因為 S AED: S CDE AD:DC 1:3 ,所以 S AED 5 138】在圖中的正方形【例中，A , B , C分別是所在邊的中點，積的幾倍？5 （平方厘米）.3CDO的面積是 ABO面FBOB :OD AE : AD 且ADE AD【解析】連接 BC ，易知OAII EF ,根據(jù)相似三角形性質(zhì)，可知asa!OA:BE DA:DE 1: 2CDO勺面積等于CBO的面積；由1 OABE2ABO面積的30A 所以 S CDOAC可得CO面積是 一 一S CBO 3S ABO ,即 CDO 的倍。與BC垂直，已知 AD EC 4,BDBE 6 分例9ADCBADCB如圖，湃

9、段AB 面積是莪少？【解析】 解法一：這個圖是個對稱圖形, 軸看看.那么圖中陰影部ADO三作輔助線,則圖形關(guān)于且各邊長度已經(jīng)給由,對稱，有不妨連接這個圖形的對稱BO D B OBOC ESADO S O且SS DBO EBO4:6 2:3設(shè)L ADO的面積為2份，則L DBO的面積為3份，直角三角形ABE的面積為8份.因為S ABE二6 *10 *2二30 ,而陰影部分的面積為4份，所以陰影部分的面積為308415 .解法三：連接 DE、AC.由于AD EC 4BD BE 6 ,所以DE II AC ,根據(jù)相似三角形性質(zhì), BA根據(jù)梯形蝴蝶定理,COE : S COA可知 DE : AC BD

10、 :S DOE : S DOA : S6:10 3:532 : 3 5所以s陰影梯形9:15 :15:_ 25 :525,15ADEC15 15: 9151525 15: 32 ,即S陰影S梯形ADEC ; 32S梯形ADEC1 10210c，所以C16 6=32 S 陰影215 cS梯形32ADEC15(2008【例101 賽年第二屆兩岸四地”華羅庚金杯”少年數(shù)學精英邀請）如圖，四邊 形ABCD和EFGH都是平行四邊形，四邊形 四邊形EFGH的面積 .ABCD的面積是16 ,3:1BG:GC 則A "EBG C為平行四邊形，所EC / / AG ，所以 AGCE 為平行四邊形因為

11、FGHE以r .11M.二3:1 ,那么 GC :BG :GC BC1:4,所以 S agce 1 S ABCD 1 16 4 .44又AE GC,所以AE : BG GC:BG1：3 ;根據(jù)沙漏模型，3 3FG:AF BG : AE 3:1,所以 S FGHE S AGCE 4 3 .4 4I例11】已知三角形, ABC的面積為a ' AF ： F2C1,E是bd的中點，且EF/BC, 交CD于G，求陰影部分的面積./ aJrD/-EFGBC【解析】已知 言，且 /三一U U，利用相似三角形性質(zhì)可知A F： FC2:1EF BC2E F： B C A： F A2C ,:所以 EFBC

12、,且 S AEF : S ABC 4 ： 9 . 一3又因為E_受BD的中點，所_1以 一 一一-EG是三帝彩 DBC的中位線，那么-EGBC ,21 2S : S 1 : 8EG:EF -：3:4,所以 口 G F: EF1:4,可得C Fg A F ，所以2 3S : S 1:18aA BC F G C 二那么 S cfg . 18 AB、AD的延長線于【例121已知正方形 ABCD ,過C的直線分別交點E、F,且AE 10 cm , AF 15 cm ,求正方形 ABCD的邊長. AB EDcF【解析】 方法一：本題有兩個金字塔模型，根據(jù)這兩個模型二有BC: AF CE:EF ,CF :

13、 EF ,設(shè)正方形的邊長bcDC:AE 二為x cm ,所以有 江*DC = CE CF1 ,AF AE EF EF即二.七，解得x 6二，所以正方形的邊長為6 cm .15 10方法二：或根據(jù)一個金字塔列方程即x 15、_,解得x 6101513】 如圖，三角形ABC 是一塊銳角三角形余料，邊米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在AB 、 AC 上，這個正方形零件的邊長是多少？BC 120 毫米，高AD 80 毫BC 上，其余兩個頂點分別在*【解析】 型AH D觀察圖中帝金字塔模5個，用與已知邊有關(guān)系的兩個金字塔模型，所以PNBCAP PHAB ADBPAB設(shè)正方形的邊長為 x 毫米,

14、PN48 ,即正方形的邊長為4812080BC毫 米.PHADAPAB有BP 1，即AB【鞏固】如圖，在 ABC中，有長方形 DEFG , G、F在BC上，D、E分別在AB、AC 上，AH是 今ABC 邊BC的高,交 DE 于M , DG: DE 1: 2 , BC 12厘米， AH 8厘/：求長濘形的長和寬.AJr 1、x I|D M EB G H F解析 a 察圖中塔工 型DE AD , DGBDBCAB AHAB,解得所以有 2x x 1x12 824厘米.7C5個，山CH卷邊QU的龍個金字塔模型，二 所以1，設(shè) DG x,所以有 DE DGAD BD DEBC AHAB AB24 ,

15、2x 48,因此長方形的長和寬分別是7748厘米,【例14】圖中ABCD是邊長為 三角12cm的正方形,從G到正方形頂點 C形,已知這個三角形在AB上截得的 EF 形長度為4cm ,那么三角D連成一個GDC的面積是多少?EF bDCDhC【解析】 根據(jù)題中條件，可以直接判斷 EF與DC平行，從而三角形 GEF與三角形 GDC由相似，這樣，就可以采用相似三角形性質(zhì)來解決問題.做GM垂直DC于M ,交AB于N .*因為EF II DC ,所以三角形 GEF與三角形GDC相似，且相似比為EF : DC 4:121:3 ，所以 GN : GM 1:3 ，又因為MN GM GN 12，所以GM 18 c

16、m*所以三角形GDC的面積為11 12 18 108 cm 22.、2的情方形兩邊長分別延【例15 1和3 ,割由圖中的陰影部 分,如圖，將一個邊長為【解析】根據(jù)但似二角形的對應(yīng)邊或比例則NFNF1 23； EM2 3 23（2008例16 101積力和等于 積是525 ,3523中學考題 整數(shù)30）圖中的大小正方形的邊長均為平方厘米，則陰影部分的面【解析】設(shè)大、小正方形的邊長分別m厘米、=n 厘米"（m二,不合題意上250 52 力”=【例17 （厘米），它們的 面n所以m4滿足題意，所以大、小正方形的邊長分別驗可知只有 m 6、n 厘米.根據(jù)相似三角形性 質(zhì)，BG:GF3.6 （

17、厘米），所以陰影部分的面積BG為:如爵O是矩形4條1寸角線的中點,那么,影部尹廣塊直用三年形的面積,多少？AB :FE 6: 43: 216 3.6252=,所以只能6或7.檢6厘米和410.8 （ 平方厘米）.、圖中已經(jīng)標值兩個三角形的面積 為I ,、3和4,【解析】接CFBC連, 面積為的三角形占了矩形面積的OE: EA 1:3, 所以 CE: CA 5: 8, 5 22 5F B1 ，所以 OE 4 3 1S B4由三角形相似可得陰影部分面積為8 )8 8(【例181已知長方形ABCD的面積為70厘米,E是AD的中點，F(xiàn)、G是BC邊上的三等分點，求陰 影 EHO的面積是多少厘米?【解析】

18、因為 方形F是ADG的中點,是BC邊上的三等分點一由此可以說明如果把長的長分成6份的話，那么 ED AD 3份、BF FGGC 2 份,找到沙漏 EOD和 ABOG:有 ED ： BG = 3 ： 4 ,所以O(shè)D： BO分成（3 4ED： BF)7份，同理也可以在圖中在次找到沙漏:由此可以推由：HD： BH 3： 2 ,那么我們就可以把 份，HO占6冊 為形中HO1占6份, 為：大家能在圖形中3：4,相當于把BD和4BHF也是沙 漏， EHD相當于把BD分成（3 2） 5份，5和7的最小公倍數(shù)）其中OD占BD分成35份（占14連接 EB 則0口 ABED的面積15 份，BH為底的三角則面積35

19、63 (35例 19，ABC思平行四邊形，面積為則圖中陰影部分的面積分別為72平方厘米一：.AB 、平方厘嗎 ,米）.70 4 一 35 BD2BC的中點,平方厘米.【解析】 方法一：注意孔導學生利用三角形的中位線定理以芨平行線的相關(guān)性設(shè)G H分別為AD、DC的中點，連接 GH、EF、BD.可得SAE=1S 疝ABCD ，4對角線BD被EF、DO :ED2BD :4AC、 3BD 41GH平均分成四段，又 OM II2:3 , OE :EDEDOD2 S AEOS AEO312 ( 平方厘米1S平行四邊形 ABCD4）.所以:ED72 6 ( 平厘米），ADOCM :AM 1:2 ，12（平方

20、厘米） ，平方厘米） ，所同理可得S CFM 平方厘米，S6CDM12 平方厘米S所以 S ABC AEO SCFM 36 66 24 （ 平方厘米） ，于是，陰影部分的面積為24 12 12 48（ 平方厘米） 方法二：尋找圖中的沙漏，AE:CD AO:OC 1:2 ， FC : AD11S 平行四邊形因此 O,M 為 AC 的三等分點，S ODMABCD 7266116 （藝' AEO $ OCD122 6（平方厘米 ），同理S A fmc以44S 陰影7212 66 48 （平方厘米） ,則三角形面積是【例2014 是【解析】本題在矩形內(nèi)連接三點構(gòu)成一個三角 形，般需要通過這一點

21、做垂 線.8千方厘米長力 形APD 的面 ABCD的長是 6 厘米，寬是 積平方厘米.而且其中一點是矩形某一條邊的中點,取AD的中點N ,連接MN，設(shè)MN交PD于K .則三角形PDM被分成兩個三角形, 邊而且這兩個三角形有公共的底MK,可知三角形PDM的面積等于1 MK2BC8 （平方厘米）MK=8 （厘米），那么3NK4 84 （厘米）.因為 以33NK是三角形APD的中位線，所AP 2NK厘米），所以三角形APD的面積 為6 8 （平方厘米）.如圖,【例211 H ,23長方形ABCD 中，E 為 AD的中點,AFBE、BD分別交于G、OE垂直AD于E ,交AF于O,已知AHHF 3cm，

22、求 AG .EFCE為AD中點，那么有B【解析】由一 到AB: DF AH:HF 5:3 ,又因為FDOE :AB:AG :GOAB :OEE5 :210:3用相似三角形性質(zhì)可以得到而AO1AF24 cmAG10【例221右圖中正方形!勺再積為、1,陰影部分的面積.1340cm13、F分別為AB、1FC求BH 1c【解析】求題中條件給由的都是比例關(guān)系,由此可以初步推斷陰影部分的面積要通過比例解，而圖中生現(xiàn)最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性陰影部分為三角形，已知底邊為正方形邊長的一只要求由高，便可求由面半， =一）.L _ _，, 一 .積.可以作FH垂直BC于H, GI垂直

23、BC于I .根據(jù)相似三角形性質(zhì)，CI :CH CG:CF 1:3 ，又因為 CH HB，所以= ，所以SCI :CB 1： 6 ,即 BI : BC 6 1 :6 5:6 BGE1155 2 2 624【例231 梯形ABCD的面積為12 , AB于F ,四邊形CDFE的面積是Jr,.DCF2CD , E為AC的中點，BE的延長線與 AD交 / JrGDCJr _ikFAB【解析】 延長BF、CD相交于G .由于E為AC的中點，根據(jù)相似三角形性質(zhì),CG再根據(jù)相似三角形性質(zhì)，AF：FD AB:DGSABD:S BCDAB: CD2, :111AB2CD , GD GCAB ,222:1, GF

24、: GB1:3，而【例241所以S BCD又 SGDFSABCD口-1 112 - 4, SGBC 2SBCD二二 S GBC , 所以 SCDFE如圖，三角形 那么陰影部分的面積 是60平方厘米,ABC的面積為平方厘米.S1 .1 1 GBCSgbc8, IHI2 633E 、 F分別為各邊的中 點，ADCBADNCB*B【解析】形，陰影部分是一個不規(guī)則的四邊不方便直接求面積,可以將其轉(zhuǎn)化為兩個三角的面積之差.而從圖中來看,形既可以轉(zhuǎn)化【總結(jié)】法：為 化為（法 由于 么BCM與CFN的面積之差.1）如圖，連接 DE .F分別為各邊的中點，那ABC面積的一半，即 30 平方厘米；那么一半，為4

25、5平方厘米.根據(jù)幾何五大模型中的相似模 型，一半，貝U EM : BM DE :BC 1:2EN :FNBEF與 EMN的面積之差，又可以轉(zhuǎn)BDEF為平行四邊形，且面積為三角形BEF的面積為平行四邊 形BDEF面積的DE :FC 1:1的面積占E M N由于 的DE為三角形 ABC的中位線， 長度為BC所以EM,所以 ENBEF1EF2積的,所以陰影部分面積為6A 1 一 12.5 一平方厘6（法2）如圖，連接 AM .根據(jù)燕尾定理,BCMAE :EC 1:1所以S而 SbdcBCOS ACMBCM AD:DB 1:1 ,SABC3S ABC 2那么陰影部分面積 為求三角形的面積，一【例251

26、6060 30220 7.5米）.般有三種方禾 禾 型.20平方厘 米，平方厘米，所以12.5 （ 一平方厘S FCN1SBDC 7.5平萬厘米,4如幽,ABCD4形,AB 4, AD /5,pE，那么梯形ABCD的面積是AB*【解析】 延長EO交AB于F點，分別計算 AOD,A AOB, DOC , ABOC的面積，再求和.DE： BF DO： OB 3 ： 1*3： 1;3 ：1SDOC S BOC1又SA ABD425 107.5,SASAAOD ABD7. , AO 2.5,5 S B S BOC3 SS DOC BOC3 7.5 22.5“弟形ABCD42.7.5 57.522.5

27、4026 邊長為 8 厘米和 12 厘米的兩個正方形并放在一起，那么圖中陰影三角形的面 積是多少平方厘米？ABM NOHS AOD S AOB AOD BOCE DC大正方形為ABCD ，小正方形為MNDE ，給圖形標注字母，按順時針方向標注，EB分別交 AC, AD 于 O,H 兩 點，AO： OC AB ： EC12 ： 20 3 ： 5 , AH ： BC AO： OC 3 ： 5，AO： AC 3： 8,AH： AD 3:5 , SA AHO： S ADC 9 : 40SAADC 1 122722SA AHO9 SA ADC40如右圖，長方27 形D972 16.240ABCD 中，E

28、F 16 ， FG 9 ，求 AG 的長AECB【解析】因為DA II BE ,根據(jù)相似三角形性質(zhì)知又因為 DF II AB, DG FG ,GB GA所以 AG FG ，即 AG GE FG2GE GADG AGGB GE25 9 225 15 ，所以 AG215 （第21 屆迎春杯試題）28方形點，E是DC 邊上的點，且如圖，已知正ABCD的邊長為4, F是BC邊的中DE:EC 1:3 AF 與 BE 相交于點 G ，求 SA abg*手»*DCABGFDM*【解析】 接C 方法一：連AE ，延長 AF ， DC 兩條線交于 點M ，構(gòu)造出兩個沙漏，所以 有AB:CM BF: F

29、C 1:1 ，因此有 GB:GE AB:EM 4:7方法二：連接S；AAEF 4 4 4 12 3CM 4 ，根據(jù)題意有S；A，所以 S ABG 4 ABE47，分別A ,E E F22 4 7， 根CE 3 ，再根據(jù)另一個沙漏4 (4 42) 32 1111求 SJA,ABF 422據(jù)蝴 蝶定 理，所以AB EG F GABge321144S；A ABE(4 4 2)4711如圖所示，已知平行四邊29】形ABCD的面積是1, E、F是AB、AD的中點,BF交EC于M ,求BMG的面積.AFDHEMGBCIAFDHE MGBC【解析】解法一：由題意可得，E 、 F 是 AB、 AD 的中點，得

30、EF/BD ，而FD: BC FH: HC1: ， 2EB :CD BG :GD 1:2 所以 CH :CF GH :EF 2:3 ，并得 G 、 H 是 BD 的三等分點，所以BG GH ，所以BG:EF BM :MF /2:3 ,所以 bm 2BF, SBFD 1 S ABD 1 522,_BD ,所以 S1 SABCD 1 ，2 4S BFD 1211又因為bg 1 BMG1 23CE解法二：延長3 5DA于I ,如右 圖，354 30可得，AI :BCAE :EB 1:1 ,從而可以確定 M的點的位置，BM:MFBC:IF2 BM5BF, BG2:3 ,1 鳥頭定BD (理):32可得

31、S BMG5S BDF3S ABCD30【例301（清華附中入學試題F是BC的中點，四邊 形）正方形ABCD的面積是120方厘米，/ E' > AB的中. ； 點，BGHF的面積是平方厘米.AB【解析】欲求四邊影【例311BGHF帽面積須求生EBG和CHF的面積.由題意可得到：EG :GC EB:CD1： 2 ,所以可得:EBG1S BCE3將AB三BM :DCDF延長交于MF :FD而 EH :HCEM :CD而CFS BCEBF:FC1( AB21AB) :CD3: 2，得CHBC 1所以一 SRHF1 AB2S EBC2S BCE51S BCE51 BC41120 30S EBC1 S EBC本題也可以用蝴蝶定理來做, 能解由./ 如圖，已知.SAABCS EBC30 14AD 2,BD 5, AFJr JrlFC， DBEF5連接 樣也15 EF15的位置（也就是FH : HD )14S四邊形點 D,E,FSMBE 貝 U冷另I在 AB,BC,CA上是多少?/ /AABEAT J【解析】 知道A DB ABC 的面積已知，若ABE 的面積連接CD AdABE 的面積占出BABC 的幾分之幾就可以計算【例32 如圖，長方形 ABCD中，EFB . 2AF ,京 PM :MN : NQ .DEC2:3 , BF:CE