等差數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)與基本題型

1、等差數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)與基本題型一、基本概念1、等差數(shù)列的概念 （1）定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。 （2）對于公差，需強(qiáng)調(diào)的是它是每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差（從第2項(xiàng)起）要防止把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒。 （3）等差數(shù)列為遞增數(shù)列 等差數(shù)列為常數(shù)列 等差數(shù)列為遞減數(shù)列 （4）一個(gè)等差數(shù)列至少由三項(xiàng)構(gòu)成。2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 （1）通項(xiàng)公式：，（當(dāng)時(shí)，等式也成立）； （2）推導(dǎo)方法：不完全歸納法：在課本中，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是由歸納而得，這種利用一些特殊現(xiàn)象得出一般規(guī)律的方法叫不完全歸納法。 迭

2、加法：也稱之為逐差求和的方法：，上述式子相加，即。 迭代法：。 （3）通項(xiàng)公式的應(yīng)用與理解 可根據(jù)的情況來分析數(shù)列的性質(zhì)，如遞增數(shù)列，遞減數(shù)列等。 用于研究數(shù)列的圖象。 ， （）時(shí)，是的一次函數(shù)，由于，因此，數(shù)列的圖象是直線上的均勻排開的無窮（或有窮）個(gè)孤立點(diǎn)。 （）時(shí)，表示平行于軸的直線上的均勻排開的無窮（或有窮）個(gè)孤立點(diǎn)。不難得出，任意兩項(xiàng)可以確定一個(gè)等差數(shù)列。 從函數(shù)知識的角度考慮等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：，是關(guān)于的一次式，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式也可以表示為（設(shè)）。 等差數(shù)列具有下列關(guān)系： （）數(shù)列中任意兩項(xiàng)與，滿足：或。 （）在等差數(shù)列中，若，則。3、等差數(shù)列的等差中項(xiàng) （1）定義：如果成等

3、差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)。 （2）充要條件：成等差數(shù)列。 （3）推論：是等差數(shù)列。4、等差數(shù)列的主要性質(zhì) 若，則。 是有窮等差數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都相等，且等于首末兩項(xiàng)之和，即。 若為等差數(shù)列，則，仍構(gòu)成等差數(shù)列。 是等差數(shù)列，則仍成等差數(shù)列。 下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為的項(xiàng)：組成公差為的等差數(shù)列。 數(shù)列（為常數(shù)）是公差為的等差數(shù)列。二、基本題型例1、判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列： （1）；（2）。 分析：用定義去判斷。 解：（1），數(shù)列是等差數(shù)列。 （2）由得，則，數(shù)列不是等差數(shù)列。 評注：如果判斷一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，需用定義去證明，但若一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，只要取特殊值說明即可

4、。例2、求等差數(shù)列的第20項(xiàng)。 解：，。例3、在等差數(shù)列中，已知，求與。 解：由題意知：解得。例4、已知為等差數(shù)列，且，求。 分析：有的同學(xué)習(xí)慣于數(shù)列等差數(shù)列，對于是等差數(shù)列就束手無策了，關(guān)鍵還是對定義理解不透徹。解：為等差數(shù)列，又，則。例5、等差數(shù)列中，已知，則 。 分析：利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解，或整體考慮問題，求出的值。 解法1：根據(jù)題意，有，則。而，因此，。 解法2：根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，可得。 評注：解法1設(shè)出了但并沒有求出，事實(shí)上也求不出來，這種“設(shè)而不求”的方法在數(shù)學(xué)中常用，它體現(xiàn)了整體的思想，解法2實(shí)際上運(yùn)用了等差數(shù)列的性質(zhì)：若，則。例6、三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于9，它們的平方

5、和等于35，求這三個(gè)數(shù)。 分析：若設(shè)這三個(gè)數(shù)為，則需列三個(gè)方程；若根據(jù)等差數(shù)列的定義，設(shè)這三個(gè)數(shù)為，只需列兩個(gè)方程，因此，采用后一種設(shè)法更好。 解：設(shè)這三個(gè)數(shù)為，由題意得解得，這三個(gè)數(shù)為，或。 評注：注意最終結(jié)果的寫法，為了避免引起歧義，這三個(gè)數(shù)寫出來時(shí)，就寫成數(shù)列的形式。例7、等差數(shù)列中，求。 分析：由，直接列方程組；解出兩個(gè)基本量和，這是常規(guī)解法，但比較麻煩，觀察的下標(biāo)，可以聯(lián)想到成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，必能提高解題速度。 解法1：，。 解法2：成等差數(shù)列，。例8、在與7之間順次插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列為 。 分析：此題可求出公差后，再逐項(xiàng)求解，也可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解。 解法1：設(shè)這幾個(gè)數(shù)組成的等差數(shù)列為，由已知，。解得，所求數(shù)列為。 解法2：可利用等差數(shù)列，是的等差中項(xiàng)，是的等差中項(xiàng)，是的等差中項(xiàng)。即。 所