因式分解的一點(diǎn)補(bǔ)充十字相乘法

1、因式分解的一點(diǎn)補(bǔ)充十字相乘法宜昌九中 尤啟平教學(xué)目標(biāo) 1使學(xué)生掌握運(yùn)用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三項(xiàng)式因式分解；2進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和思維的敏捷性。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：正確地運(yùn)用十字相乘法把某些二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式因式分解。 難點(diǎn)：靈活運(yùn)用十字相乘法因分解式。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、 導(dǎo)入新課前一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了關(guān)于x2+（p+q）x+pq這類(lèi)二次三項(xiàng)式的因式分解，這類(lèi)式子的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積，一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和。因此，我們得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).課前練習(xí)：下列各式因式分解1- x2+2 x+15 2（x+y

2、）2-8（x+y）+48；3x4-7x2+18； 4x2-5xy+6y2。答：1-（x+3）（x-5）； 2（x+y-12）（x+y+4）； 3（x+3）（x-3）（x2+2）； 4（x-2y）（x-3y）。 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了把形如x2+px+q的某些二次三項(xiàng)式因式分解，也學(xué)習(xí)了通過(guò)設(shè)輔助元的方法把能轉(zhuǎn)化為形如x2+px+q型的某些多項(xiàng)式因式分解。 對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式如何因式分解呢？這節(jié)課就來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題，即把某些形如ax2+bx+c的二次三項(xiàng)式因式分解。 二、新課 例1 把2x2-7x+3因式分解。分析：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫(xiě)在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫(xiě)在

3、十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)。分解二次項(xiàng)系數(shù)（只取正因數(shù)）： 2=12=21；分解常數(shù)項(xiàng)： 3=13=31=（-3）（-1）=（-1）（-3）。用畫(huà)十字交叉線方法表示下列四種情況：1 1 1 3 1 -1 1 -32 3 2 1 2 -3 2 -113+21 11+23 1（-3）+2（-1） 1（-1）+2（-3） =5 =7 = -5 =-7經(jīng)過(guò)觀察，第四種情況是正確有。這是因?yàn)榻徊嫦喑撕?，兩?xiàng)代數(shù)和恰等于一次項(xiàng)系數(shù)-7。解 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。一般地，對(duì)于二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a0），如果二次項(xiàng)系數(shù)a可以分解成兩個(gè)因數(shù)

4、之積，即a=a1a2，常數(shù)項(xiàng)c可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即c=c1c2，把a(bǔ)1，a2，c1，c2排列如下： a1 c1 a2 c2 a1c2 + a2c1按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式a1x+c1與a2x+c2之積，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。 像這種借助開(kāi)十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 例2 把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次項(xiàng)系數(shù)6及常數(shù)項(xiàng)-5，把它們分別排列

5、，可有8種不同的排列方法，其中的一種 2 1 3 -5 2（-5）+31=-7是正確的，因此原多項(xiàng)式可以用直字相乘法分解因式。 解 6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。指出：通過(guò)例1和例2可以看到，運(yùn)用十字相乘法把一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式因式分解，往往要經(jīng)過(guò)多次觀察，才能確定是否可以用十字相乘法分解因式。對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法分解因式，這時(shí)只需考慮如何把常數(shù)項(xiàng)分解因數(shù)。例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 1 5 15+1（-3）=2所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。 例3 把5x2+6xy-8y2分解因式。 分析：這個(gè)多

6、項(xiàng)式可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，把-8y2看作常數(shù)項(xiàng)，在分解二次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)系數(shù)時(shí)，只需分解5與-8，用十字交叉線分解后，經(jīng)過(guò)觀察，選取合適的一組，即 1 2 5 -4 1（-4）+52=6解 5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。指出：原式分解為兩個(gè)關(guān)于x，y的一次式。例4 把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。 分析：這個(gè)多項(xiàng)式是兩個(gè)因式之積與另一個(gè)因數(shù)之差的形式，只有先化簡(jiǎn)，進(jìn)行多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，把變形后的多項(xiàng)式再因式分解。問(wèn)：兩個(gè)乘積的式子有什么特點(diǎn)，用什么方法進(jìn)行多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算最簡(jiǎn)便？答：第二個(gè)因式中的前兩項(xiàng)如果提出公因式2，就變?yōu)?（x-y），它是第一個(gè)因式的

7、二倍，然后把（x-y）看作一個(gè)整體進(jìn)行乘法運(yùn)算，可把原多項(xiàng)式變形為關(guān)于（x-y）的二次三項(xiàng)式，就可以用址字相乘法分解因式了。解 （x-y）（2x-2y-3）-2 =（x-y）2（x-y）-3-2 1 -2 =2（x-y）2-3（x-y）-2 2 +1 =（x-y）-22（x-y）+1 11+2（-2）=-3 =（x-y-2）（2x-2y+1）。指出：把（x-y）看作一個(gè)整體進(jìn)行因式分解，這又是運(yùn)用了數(shù)學(xué)中的“整體”思想方法。三、課堂練習(xí)1用十字相乘法因式分解：（1）2x2-5x-12； （2）3x2-5x-2； （3）6x2-13x+5；（4）7x2-19x-6； （5）12x2-13x+3；

8、 （6）4x2+24x+27。2把下列各式因式分解：（1）6x2-13x+6y2； （2）8x2y2+6xy-35；（3）18x2-21xy+5y2； （4）2（a+b）2+（a+b）（a-b）-6（a-b）2。答案：1（1）（x-4）（2x+3）； （2）（x-2）（3x+1）； （3）（2x-1）（3x-5）； （4）（x-3）（7x+2）； （5）（3x-1）（4x-3）； （6）（2x+3）（2x+9）。 2（1）（2x-3y）（3x-2y）； （2）（2xy+5）（4xy-7）； （3）（3x-y）（6x-5y）； （4）（3a-b）（5b-a）。四、小結(jié)1用十字相乘法把某些形如ax

9、2+bx+c的二次三項(xiàng)式分解因式時(shí)，應(yīng)注意以下問(wèn)題：（1）正確的十字相乘必須滿(mǎn)足以下條件： a1 c1在式子 中，豎向的兩個(gè)數(shù)必須滿(mǎn)足關(guān)系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜 a2 c2向的兩個(gè)數(shù)必須滿(mǎn)足關(guān)系a1c2+a2c1=b，分解思路為“看兩端，湊中間?！?（2）由十字相乘的圖中的四個(gè)數(shù)寫(xiě)出分解后的兩個(gè)一次因式時(shí)，圖的上一行兩個(gè)數(shù)中，a1是第一個(gè)因式中的一次項(xiàng)系數(shù)，c1是常數(shù)項(xiàng)；在下一行的兩個(gè)數(shù)中，a2是第二個(gè)因式中的一次項(xiàng)的系數(shù)，c2是常數(shù)項(xiàng)。 （3）二次項(xiàng)系數(shù)a一般都把它看作是正數(shù)（如果是負(fù)數(shù)，則應(yīng)提出負(fù)號(hào)，利用恒等變形把它轉(zhuǎn)化為正數(shù)），只需把經(jīng)分解在兩個(gè)正的因數(shù)。 2形如x2+

10、px+q的某些二次三項(xiàng)式也可以用十字相乘法分解因式。3凡是可用代換的方法轉(zhuǎn)化為二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的多項(xiàng)式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4。五、作業(yè)1用十字相乘法分解因式：（1）2x2+3x+1； （2）2y2+y-6； （3）6x2-13x+6； （4）3a2-7a-6；（5）6x2-11xy+3y2； （6）4m2+8mn+3n2； （7）10x2-21xy+2y2； （8）8m2-22mn+15n2。2把下列各式分解因式：（1）4n2+4n-15； （2）6a2+a-35； （3）5x2-8x-13；（4）4x2+15x+9； （5）15x2+x-2； （6）6y2+19y

11、+10；（7）20-9y-20y2； （8）7（x-1）2+4（x-1）（y+2）-20（y+2）2。答案：1（1）（2x+1）（x+1）； （2）（y+2）（2y-3）； （3）（2x-3）（3x-2）； （4）（a-3）（3a+2）； （5）（2x-3y）（3x-y）； （6）（2m+n）（2m+3n）； （7）（x-2y）（10x-y）； （8）（2m-3n）（4m-5n）。2（1）（2n-3）（2n+5）； （2）（2a+5）（3a-7）； （3）（x+1）（5x-13）； （4）（x+3）（4x+3）； （5）（3x-1）（5x+2）； （6）（2y+5）（3y+2）； （7）-（4y+5）（5y-4）； （8）（x+2y+3）（7x-10y-27）。課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明1為了使學(xué)生切實(shí)掌握運(yùn)用十字相乘法把某些二次三項(xiàng)式因式分解的思路和方法，在教學(xué)設(shè)計(jì)中，先通過(guò)例1，較祥盡地講解借助畫(huà)十字交叉線分解系數(shù)的具體方法，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)一步概括如何運(yùn)用十字相乘法把二次三項(xiàng)式ax2+bx+c進(jìn)行因式分解的一般思路和方法。只有使學(xué)生掌握了十字相乘法的一般法則，才能進(jìn)一步指導(dǎo)解決各種具體的問(wèn)題，這種從特殊到一般，再?gòu)囊话愕教厥獾恼J(rèn)識(shí)問(wèn)題的過(guò)程，是符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)問(wèn)題的過(guò)程。2對(duì)于借助