經(jīng)典不等式證明的基本方法

1、不等式和絕對(duì)值不等式一、不等式1、不等式的基本性質(zhì)：、對(duì)稱性： 傳遞性：_ 、 ，a+cb+c 、ab， ， 那么acbc； ab， ，那么acbc 、ab0， 那么，acbd 、a>b>0，那么an>bn.（條件 ） 、 ab0 那么 （條件 ）2、基本不等式定理1 如果a, bR, 那么 a2+b22ab.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。定理2（基本不等式） 如果a，b>0，那么當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均。結(jié)論：已知x, y都是正數(shù)。（1）如果積xy是定值p，那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2 ；（2）如果和x+y是定值s，那么當(dāng)

2、x=y時(shí)，積xy有最大值小結(jié)：理解并熟練掌握基本不等式及其應(yīng)用，特別要注意利用基本不等式求最值時(shí)， 一 定要滿足“一正二定三相等”的條件。3、三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式二、絕對(duì)值不等式1、絕對(duì)值三角不等式 實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值|a|的幾何意義是表示數(shù)軸上坐標(biāo)為a的點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離：任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B，那么|a-b|的幾何意義是A、B兩點(diǎn)間的距離。定理1 如果a, b是實(shí)數(shù)，則 |a+b|a|+|b| ， 當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立。（絕對(duì)值三角不等式）如果a, b是實(shí)數(shù)，那么 |a|-|b|a±b|a|+|b|定理2 如果a, b, c是實(shí)數(shù)，那么 |a-c

3、|a-b|+|b-c| ， 當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)0時(shí)，等號(hào)成立。2、絕對(duì)值不等式的解法（1）|ax+b|c和|ax+b|c(c>0)型不等式的解法：換元法：令t=ax+b, 轉(zhuǎn)化為|t|c和|t|c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。分段討論法： 用絕對(duì)值不等式的幾何意義 零點(diǎn)分區(qū)間法 構(gòu)造函數(shù)法典型例題例1 解不等式例2 解不等式|x+3|-|x-3|>3。例3  解不等式|x2-3|x|-3|<1。例4 求使不等式|x-4|+|x-3|<a有解的a的取值范圍。例5 不等式證明的基本方法知識(shí)點(diǎn)一：比較法比較法是證明不等式的最基本最常用的方法，可分

4、為作差比較法和作商比較法。1、作差比較法常用于多項(xiàng)式大小的比較，通過(guò)作差變形（分解因式、配方、拆、拼項(xiàng)等）判斷符號(hào)（判斷差與0的大小關(guān)系）得結(jié)論（確定被減式與減式的大小.理論依據(jù)：；。一般步驟：第一步：作差；第二步：變形；常采用配方、因式分解等恒等變形手段；第三步：判斷差的符號(hào)；就是確定差是大于零，還是等于零，小于零. 如果差的符號(hào)無(wú)法確定，應(yīng)根據(jù)題目的要求分類討論.第四步：得出結(jié)論。注意：其中判斷差的符號(hào)是目的，變形是關(guān)鍵。2、作商比較法常用于單項(xiàng)式大小的比較，當(dāng)兩式同為正時(shí)，通過(guò)作商變形（約分、化簡(jiǎn)）判斷商與1的大小得結(jié)論（確定被除式與除式的大?。? 理論依據(jù)：若、，則有；.基本步驟:第一

5、步：判定要比較兩式子的符號(hào)第二步：作商第三步：變形；常采用約分、化簡(jiǎn)等變形手段；第四步：判定商式大于1或等于1或小于1。如果商與1的大小關(guān)系無(wú)法確定,應(yīng)根據(jù)題目的要求分類討論.第五步：得出結(jié)論。注意：作商比較法一般適合含“冪”、“指數(shù)”的式子比較大小。知識(shí)點(diǎn)二：分析法分析法是從需要證明的命題出發(fā)，分析使這個(gè)命題成立的充分條件，逐步尋找使命題成立的充分條件，直至所尋求的充分條件顯然成立，或由已知證明成立，從而確定所證的命題成立的一種方法.思維過(guò)程：“執(zhí)果索因”.證明格式：要證，只需證，只需證，因?yàn)槌闪?，所以原不等式得證。適用題型：當(dāng)所證的不等式的結(jié)論與所給條件間聯(lián)系不明確，常常采用分析法證明不等

6、式。知識(shí)點(diǎn)三：綜合法綜合法是從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、已知的定義及定理，逐步推導(dǎo)，從而最后導(dǎo)出要證明的命題。 思維過(guò)程：“執(zhí)因索果”適用題型：當(dāng)所證的不等式的條件形式或不等式兩端的形式與不等式的性質(zhì)、定理有直接聯(lián)系時(shí)，常常采用綜合法證明不等式. 知識(shí)點(diǎn)四：反證法反證法首先假設(shè)要證明的命題是不正確的，然后利用公理，已知的定義、定理，命題的條件逐步分析，得到和命題的條件或公理、定理、定義及明顯成立的事實(shí)等矛盾的結(jié)論，以此說(shuō)明假設(shè)的結(jié)論不成立，從而原來(lái)的結(jié)論正確。適用題型：適合證明“存在性問(wèn)題、唯一性問(wèn)題”，帶有“至少有一個(gè)”或“至多有一個(gè)”等字樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題.理論依據(jù)：命題“p”與命題“非p”

7、一真、一假。注意：反證法解題的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾，從而說(shuō)明原結(jié)論正確。在否定結(jié)論時(shí)，其反面要找對(duì)、找全.知識(shí)點(diǎn)五：放縮法放縮法是指在證明不等式時(shí)，有時(shí)需要將所需證明的不等式的值適當(dāng)?shù)姆糯螅ɑ蚩s?。?，以此來(lái)簡(jiǎn)化不等式，達(dá)到證明的目的。理論依據(jù)：不等式的傳遞性：a>b,b>ca>c，找到不等號(hào)的兩邊的中間量，從而使不等式成立。注意：應(yīng)用放縮法時(shí)，放大（縮?。┮欢ㄒm當(dāng)。規(guī)律方法指導(dǎo)1、不等式證明的常用方法： 比較法，綜合法，分析法，反證法，放縮法，換元法等。2、反證法的證明步驟： 否定結(jié)論：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即結(jié)論的反面成立；推出矛盾：由結(jié)論反面成立出發(fā)，通過(guò)一系列正確的

8、推理，導(dǎo)出矛盾；否定假設(shè)：由正確的推導(dǎo)導(dǎo)出了矛盾，說(shuō)明假設(shè)不成立；肯定結(jié)論：原命題正確。3、放縮法的常用技巧： 在恒等式中舍掉或者加進(jìn)一些項(xiàng)；在分式中放大或縮小分子或分母；例如：應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性、有界性等性質(zhì)進(jìn)行放縮；例如：f(x)為增函數(shù)，則f(x-1)<f(x)<f(x+1)應(yīng)用基本不等式進(jìn)行放縮。例如：若，則有；若，則有。這兩個(gè)結(jié)論是實(shí)現(xiàn)“累差法”、“累商法”、“降冪”等轉(zhuǎn)化的重要手段經(jīng)典例題透析類型一：比較法證明不等式1、用作差比較法證明下列不等式： （1）；（2） (a，b均為正數(shù)，且ab)思路點(diǎn)撥：（1）中不等號(hào)兩邊是關(guān)于a,b,c的多項(xiàng)式，作差后因式分解的前途不大光明

9、，但注意到如a2, b2, ab這樣的結(jié)構(gòu)，考慮配方來(lái)說(shuō)明符號(hào)；（2）中作差后重新分組進(jìn)行因式分解。證明：（1） 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立， （當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取等號(hào)）.（2） a>0, b>0, ab, a+b>0, (a-b)2>0, ， .總結(jié)升華：作差，變形（分解因式、配方等），判斷差的符號(hào)，這是作差比較法證明不等式的常用方法。舉一反三：【變式1】證明下列不等式：(1)a2+b2+22(a+b)(2)a2+b2+c2+32(a+b+c)(3)a2+b2ab+a+b-1【變式2】已知a，b，x，y，且a+b=1，求證：ax2+by2(ax+by)22、用作商

10、比較法證明下列不等式： （1） (a，b均為正實(shí)數(shù)，且ab)（2）（a，b，c，且a，b，c互不相等）證明：（1）a3+b3>0, a2b+ab2>0. ， a, b為不等正數(shù)， （2）證明： 不妨設(shè)a>b>c，則 所以，總結(jié)升華：當(dāng)不等號(hào)兩邊均是正數(shù)乘積或指數(shù)式時(shí)，常用這種方法，目的是約分化簡(jiǎn). 作商比較法的基本步驟:判定式子的符號(hào)并作商變形 判定商式大于1或等于1或小于1 結(jié)論。舉一反三：【變式1】已知a>2，b>2，求證：a+b<ab【變式2】已知a，b均為正實(shí)數(shù)，求證：aabbabba類型二：綜合法證明不等式3、a, b, c是不全相等的正數(shù)，

11、求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc證明：法一：由b2+c22bc, a>0,得a(b2+c2)2abc，同理b(c2+a2)2abc，c(a2+b2)2abca,b,c不全相等，上述三個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立，三式相加有：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.法二：a，b，c是不全相等的正數(shù)，a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2)均為正數(shù)，由三個(gè)數(shù)的平均不等式得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+ c(a2+b2)不等式成立.總結(jié)升華：綜合法是由因?qū)Ч?，從已知出發(fā)，根據(jù)已有的定義、定理，逐步推出欲證的不等

12、式成立。舉一反三：【變式1】a , b, mR+，且a<b，求證：.4、若a>b>0，求證：.思路點(diǎn)撥：不等號(hào)左邊是一個(gè)各項(xiàng)皆正的“和的形式”，但左側(cè)是兩項(xiàng)而右側(cè)都出現(xiàn)了特征數(shù)“3”.因此啟發(fā)我們將左側(cè)拆成3項(xiàng)的和利用平均值定理.證明：， a>b>0, a-b>0, b>0, , ,（當(dāng)且僅當(dāng)，即a=2，b=1的等號(hào)成立）舉一反三：【變式】x, y,zR+, 求證：類型三：分析法證明不等式5、已知a,b>0，且2c>a+b，求證：證明：要證，只需證：即證：，a2-2ac+c2<c2-ab，即證a2+ab<2ac，a>0，只

13、需證a+b<2c已知上式成立，原不等式成立?？偨Y(jié)升華： 1分析法是從求證的不等式出發(fā)，分析使之成立的條件，把證不等式轉(zhuǎn)化為判斷這些條件是否具備的 問(wèn)題，若能肯定這些條件都成立，就可斷定原不等式成立。2分析法在不等式證明中占有重要地位，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法。3基本思路：執(zhí)果索因4. 格式：要證，只需證，只需證，因?yàn)槌闪?，所以原不等式得證。舉一反三：【變式1】求證：a3+b3>a2b+ab2(a，b均為正數(shù)，且ab)【變式2】a , b, mR+，且a<b，求證：.【變式3】求證：【變式4】設(shè)x>0，y>0，xy，求證：類型四：反證法證明不等式6、已知a,

14、b,c(0,1)，求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，至少有一個(gè)不大于。思路點(diǎn)撥：此題目若直接證，從何處入手？對(duì)于這樣正面情況較為復(fù)雜的問(wèn)題，可以考慮使用反證法。證明：假設(shè)原結(jié)論不成立，即，則三式相乘有：又0<a,b,c<1, .同理有：，以上三式相乘得，這與矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤，原結(jié)論成立?？偨Y(jié)升華：反證法的基本思路是：“假設(shè)矛盾肯定”，采用反證法證明不等式時(shí)，從與結(jié)論相反的假設(shè)出發(fā)，推出矛盾的過(guò)程中，每一步推理都必須是正確的。由于本題題目的結(jié)論是：三個(gè)數(shù)中“至少有一個(gè)不大于”，情況比較復(fù)雜，會(huì)出現(xiàn)多個(gè)由異向不等式組成的不等式組，一一證明十分繁雜，而對(duì)結(jié)論的否定是三個(gè)數(shù)“都

15、大于”，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單明了，為推出矛盾提供了方便，故采用反證法是適宜的。舉一反三：【變式】已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a,b,c>0類型五：放縮法證明不等式7、若a,b,c,dR+，求證：思路點(diǎn)撥：記中間4個(gè)分式之和的值為m，顯然，通過(guò)通分求出m的值再與1、2比大小是困難的，可考慮運(yùn)用放縮法把異分母化成同分母。證明：記a,b,c,dR+，1<m<2，即原式成立?？偨Y(jié)升華：證后半部分，還可用“糖水公式”，即進(jìn)行放縮。常用的放縮技巧主要有： f(x)為增函數(shù)，則f(x-1)<f(x)<f(x+1)； 分式放縮如； 根式放縮如

16、舉一反三：【變式1】求證：【變式2】 當(dāng)n>2時(shí)，求證：logn(n-1)logn(n+1)<1類型六：其他證明不等式的方法1. 構(gòu)造函數(shù)法8、已知a>2，b>2，求證：a+b<ab證明：令y=f(a)=a+b-ab=(1-b)a+b，1-b<0，f(a)是減函數(shù)當(dāng)a>2時(shí)，f(a)<f(2)=2-b<0 a+b<ab總結(jié)升華：不等式證明方法很靈活。分析不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性，使問(wèn)題變得非常簡(jiǎn)單。舉一反三：【變式】已知a3，求證：。類型六：一題多證13、若a>0，b>0，求證：思路點(diǎn)撥：由于a>0，b>0，所以求證