超級(jí)畫(huà)板進(jìn)行數(shù)學(xué)探究性教學(xué)案例

1、超級(jí)畫(huà)板幫你教數(shù)學(xué)之12超級(jí)畫(huà)板與探究性教學(xué)案例（1）彭翕成華中師范大學(xué)教育信息技術(shù)工程研究中心，武漢 430079江春蓮華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430079超級(jí)畫(huà)板為數(shù)學(xué)探究性活動(dòng)提供了有力的工具平臺(tái)1-2，用它作出一些特殊的點(diǎn)、線的軌跡已是一件非常容易之事。本文將基于超級(jí)畫(huà)板從橢圓的作圖問(wèn)題延伸拓展，并從數(shù)學(xué)的角度解釋得到的二次曲線軌跡?！纠?】在人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修2-1第39頁(yè)例3是這樣的：（如圖1）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，. 直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為，求點(diǎn)M的軌跡方程。圖1圖2在超級(jí)畫(huà)板中，對(duì)這一問(wèn)題，我們只需要兩次使用“LineO

2、fPointSlope(, , );”命令作出兩直線及其交點(diǎn)（兩直線的斜率可分別用變量和），再作出的動(dòng)畫(huà)并對(duì)點(diǎn)M進(jìn)行跟蹤。我們不難求出其軌跡方程為.【橢圓作圖的切線法】在眾多的橢圓作法中，有個(gè)“切線法”。該法主要步驟是：（1）作圓及其直徑AB，（2）分別過(guò)A，B作的切線，（3）在上任取一點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作的切線分別交，于點(diǎn)G，H，連接AH，BG交于點(diǎn)M，則當(dāng)點(diǎn)C在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為橢圓（圖2）。事實(shí)上，若以為原點(diǎn)，直徑AB為軸建立直角坐標(biāo)系，則可設(shè)的方程為，則切線，的方程分別為和，若設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為，則切線GH的方程為，所以點(diǎn)G，H的坐標(biāo)分別為，所以直線AH，BG的方程分別為和，兩方程聯(lián)立解得點(diǎn)M

3、坐標(biāo)為，所以點(diǎn)M的軌跡方程為。實(shí)際上，按此方法我們只能作出長(zhǎng)軸為圓的直徑，短軸為其半徑一半的橢圓。在上述討論中，由直線AH，BG的方程我們可以得出，即為定值，這是切線法與前述例題一致的地方。下面我們將從例1與橢圓作圖的切線法提出一些數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行探討?！就卣?】例1中，若設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，. 直線AM，BM的斜率之積為，則點(diǎn)M的軌跡方程為?，F(xiàn)在的問(wèn)題是，在這種情況下，若設(shè)直線AM與過(guò)點(diǎn)B的直線的交點(diǎn)為H，直線BM與過(guò)點(diǎn)A的直線的交點(diǎn)為G（圖3），則直線GH有什么特點(diǎn)？ 我們對(duì)直線GH進(jìn)行跟蹤發(fā)現(xiàn)其包絡(luò)為橢圓（圖4）。這里我們討論一下該包絡(luò)的方程。若設(shè)直線AM的方程為，則直線BM的方程為，進(jìn)

4、而可求得點(diǎn)G，H的坐標(biāo)分別為和，所以，直線GH的方程為，設(shè)，則直線GH的包絡(luò)由方程組確定。而，由此我們得到方程組，解得，消去參數(shù)得：.圖3圖4【拓展2】在橢圓作圖的切線法中，若AB不是直徑，結(jié)果如何呢？圖5表明，點(diǎn)M的軌跡仍為橢圓。我們還是以為原點(diǎn)，平行于AB的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，則可設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為和，過(guò)點(diǎn)A，B的切線方程分別為和，這兩個(gè)方程分別與過(guò)點(diǎn)C的切線方程聯(lián)立可求得點(diǎn)G，H的坐標(biāo)分別為， 。所以直線AH，BG的方程分別為和，聯(lián)立兩式解得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由其解得，由并整理得點(diǎn)M的軌跡方程。圖5圖6【拓展3】在橢圓作圖的切線法中，若G，H仍為過(guò)點(diǎn)C的切線與直線的交點(diǎn)，但將A移至直線上

5、其他地方，結(jié)果又如何呢？仿上可設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)，則切線GH的方程為，點(diǎn)G，H的坐標(biāo)為和，若設(shè)A，則直線AH的方程為，將其與BG的方程聯(lián)立解得點(diǎn)M坐標(biāo)為，由其解得，所以點(diǎn)M的軌跡方程為，其，所以當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓（圖6）；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線（圖7）；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線（圖8）。圖7圖8【拓展4】在拓展3中，若GH不是垂直于半徑OC，而是垂直于連接點(diǎn)C與軸上任一點(diǎn)D的連線，結(jié)果又如何呢？仿上可設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)，D，則直線CD的方程為，則直線GH的方程為，所以點(diǎn)G，H的坐標(biāo)為，。仍設(shè)A，則直線AH，BG的方程分別為和，將（1）式變形得，將（2）（3）兩式相乘并整理得點(diǎn)M的軌跡方程，其，所以當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓（圖9）；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線（圖10）。圖9圖10參考文獻(xiàn)：1.張景中，江春蓮，彭翕成.