蘇科版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)弧長與扇形的面積 知識(shí)點(diǎn)與同步訓(xùn)練解析版

1、弧長與扇形的面積知識(shí)精講一弧長公式1.圓的周長：2.弧長公式：（其中，表示弧長，表示這段弧所對(duì)圓心角度數(shù)值；表示該弧所在圓的半徑）二扇形面積公式1.圓的面積公式：2.扇形面積公式：（表示扇形圓心角度數(shù)值；表示半徑）三圓錐、圓柱的側(cè)面積與全面積1.圓錐（1）圓錐的側(cè)面積：（以下公式中的均指扇形母線長）；（2）圓錐的全面積：；（3）圓錐的體積：；（4）圓錐的高、底面半徑、母線之間的關(guān)系：；（5）設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，側(cè)面展開圖的圓心角為；則有：2.圓柱（1）圓柱的側(cè)面積：（2）圓柱的全面積：四不規(guī)則圖形面積的巧算一般利用拼湊法，割補(bǔ)法，把不規(guī)則圖形切割拼接成面積容易計(jì)算的圖形再進(jìn)行計(jì)算，例

2、如：弓形面積：三點(diǎn)剖析一考點(diǎn)：弧長、扇形面積公式，圓錐的側(cè)面積、全面積計(jì)算二重難點(diǎn)：1.計(jì)算扇形面積，計(jì)算圓錐的側(cè)面積；2.計(jì)算扇形面積的時(shí)候，除了用圓心角求面積，也可以用弧長求面積；三易錯(cuò)點(diǎn)：1.圓錐相關(guān)面積計(jì)算時(shí)，注意每個(gè)量對(duì)應(yīng)關(guān)系；            2.計(jì)算圓錐側(cè)面積時(shí)，注意母線和圓錐的高是不相等的題模精講題模一：弧長公式 一個(gè)扇形的半徑為，弧長為，則扇形的圓心角為_【答案】 【解析】 設(shè)扇形圓心角為，根據(jù)弧長公式可得：，解得：例1.1.2 如圖，在扇形OAB中，AOB=1

3、10°，半徑OA=18，將扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則的長為_【答案】 5 【解析】 如圖，連接OD根據(jù)折疊的性質(zhì)知，OB=DB又OD=OB，OD=OB=DB，即ODB是等邊三角形，DOB=60°AOB=110°，AOD=AOB-DOB=50°，的長為=5故答案是：5例1.1.3 如圖，AB是O的直徑，C是AB延長線上一點(diǎn)，CD與O相切于點(diǎn)E，ADCD于點(diǎn)D（1）求證：AE平分DAC；（2）若AB=4，ABE=60°求AD的長；求出圖中陰影部分的面積【答案】 （1）AE平分DAC（2）3；【解析】

4、（1）證明：連接OE，如圖，CD與O相切于點(diǎn)E，OECD，ADCD，OEAD，DAE=AEO，AO=OE，AEO=OAE，OAE=DAE，AE平分DAC；（2）解：AB是直徑，AEB=90°，ABE=60°EAB=30°，在RtABE中，BE=AB=×4=2，AE=BE=2，在RtADE中，DAE=BAE=30°，DE=AE=，AD=DE=×=3；OA=OB，AEO=OAE=30°，AOE=120°，陰影部分的面積=S扇形AOESAOE=S扇形AOESABE=22=例1.1.4 如圖，正六邊形硬紙片ABCDEF在桌

5、面上由圖1的起始位置沿直線l不滑行地翻滾一周后到圖2位置，若正六邊形的邊長為2cm，則正六邊形的中心O運(yùn)動(dòng)的路程為_cm【答案】 4 【解析】 本題考查了正多邊形和圓的、弧長的計(jì)算及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是弄清正六邊形的中心運(yùn)動(dòng)的路徑每次滾動(dòng)正六邊形的中心就以正六邊形的半徑為半徑旋轉(zhuǎn)60°，然后計(jì)算出弧長，最后乘以六即可得到答案根據(jù)題意得：每次滾動(dòng)正六邊形的中心就以正六邊形的半徑為半徑旋轉(zhuǎn)60°，正六邊形的中心O運(yùn)動(dòng)的路程正六邊形的邊長為2cm，運(yùn)動(dòng)的路徑為：=；從圖1運(yùn)動(dòng)到圖2共重復(fù)進(jìn)行了六次上述的移動(dòng)，正六邊形的中心O運(yùn)動(dòng)的路程6×=4cm故答案為4題模二：扇

6、形面積公式 如圖，一扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條和AC的夾角為120°，長為25cm，貼紙部分的寬BD為15cm，若紙扇兩面貼紙，則貼紙的面積為（）A 175cm2B 350cm2C 200cm2D 150cm2【答案】A 如圖，梯形ABCD中，ADBC，C=90°，AB=AD=4，BC=6，以點(diǎn)A為圓心在這個(gè)梯形內(nèi)畫出一個(gè)最大的扇形（圖中陰影部分），則這個(gè)扇形的面積是_【答案】 【解析】 該題考查的是扇形面積的計(jì)算扇形面積公式：，梯形的計(jì)算問題一般要轉(zhuǎn)換成平行四邊形和三角形的問題來解決過點(diǎn)A向BC作垂線，垂足為E，所以，根據(jù)勾股定理可知，扇形面積為：E 如圖（a），有一

7、張矩形紙片ABCD，其中AD=6cm，以AD為直徑的半圓，正好與對(duì)邊BC相切，將矩形紙片ABCD沿DE折疊，使點(diǎn)A落在BC上，如圖（b）則半圓還露在外面的部分（陰影部分）的面積為題模三：圓錐 如圖，圓錐的底面半徑r為6cm，高h(yuǎn)為8cm，則圓錐的側(cè)面積為（）A 30cm2B 48cm2C 60cm2D 80cm2【答案】C【解析】 h=8，r=6，可設(shè)圓錐母線長為l，由勾股定理，l=10，圓錐側(cè)面展開圖的面積為：S側(cè)=1/2×2×6×10=60，所以圓錐的側(cè)面積為60cm2 如圖，圓錐體的高h(yuǎn)=2cm，底面半徑r=2cm，則圓錐體的全面積為_cm2A 4B 8C

8、12D （4+4）【答案】C【解析】 本題利用了圓的周長公式和扇形面積公式求解，牢記公式是解答本題的關(guān)鍵表面積=底面積+側(cè)面積=×底面半徑2+底面周長×母線長÷2底面圓的半徑為2，則底面周長=4，底面半徑為2cm、高為2cm，圓錐的母線長為4cm，側(cè)面面積=×4×4=8；底面積為=4，全面積為：8+4=12cm2故選：C 如圖，現(xiàn)有圓心角為90°的一個(gè)扇形紙片，該扇形的半徑是50cm小紅同學(xué)為了在圣誕節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)上表演節(jié)目，她打算剪去部分扇形紙片后，利用剩下的紙片制作成一個(gè)底面半徑為10cm的圓錐形紙帽（接縫處不重疊），那么被剪去的扇形

9、紙片的圓心角應(yīng)該是_度【答案】 18【解析】 考查了扇形的弧長公式；圓的周長公式；用到的知識(shí)點(diǎn)為：圓錐的弧長等于底面周長易得圓錐的底面周長，即為扇形的弧長，根據(jù)弧長公式即可求得所需扇形的圓心角，讓90°減去得到的扇形的圓心角即為剪去扇形的圓心角圓錐的底面周長=2×10=20，設(shè)所需扇形的圓心角為n，=20，解得n=72，所以剪去的扇形的圓心角為90°-72°=18° 將半徑為的圓形紙片沿折疊后，圓弧恰好能經(jīng)過圓心，用圖中陰影部分的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為_【答案】 【解析】 過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可知，由此可得，在

10、中，同理可得，在中，由內(nèi)角和定理，得的長為設(shè)圍成的圓錐的底面半徑為，則圓錐的高為題模四：不規(guī)則圖形面積的巧算例1.4.1 如圖，半圓O的直徑AB=2，弦CDAB，COD=90°，則圖中陰影部分的面積為【答案】/4隨堂練習(xí)隨練1.1 如圖，以AB為直徑的O與弦CD相交于點(diǎn)E，且AC=2，AE=，CE=1則的長是（）A B C D 【答案】B【解析】 連接OC，ACE中，AC=2，AE=，CE=1，AE2+CE2=AC2，ACE是直角三角形，即AECD，sinA=，A=30°，COE=60°，=sinCOE，即=，解得OC=，AECD，隨練1.2 如圖，等邊三角形MN

11、P的邊長為1，線段AB的長為4，點(diǎn)M與A重合，點(diǎn)N在線段AB上沿線段AB按的方向滾動(dòng)，直至中有一個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)B重合為止，則點(diǎn)P經(jīng)過的路程為_A(M)PNB【答案】 【解析】 該題考查的是弧長的計(jì)算點(diǎn)P經(jīng)過的路程是兩段弧，半徑為1，圓心角為，根據(jù)1=進(jìn)行計(jì)算即可故點(diǎn)P經(jīng)過的路程為：故答案為：隨練1.3 如圖：A、B、C兩兩不相交，且半徑均為1，則圖中三個(gè)陰影扇形的面積之和為（ ）A B C D 【答案】B【解析】 該題考查的是扇形面積計(jì)算扇形面積計(jì)算公式為本題中，3個(gè)扇形半徑均為1，可以放在一起計(jì)算，圓心角和為180°代入公式，故答案選B隨練1.4 如圖，三個(gè)小正方形的邊長都為1，則圖中陰

12、影部分面積的和是（結(jié)果保留）【答案】 3/8隨練1.5 已知直角三角形ABC的一條直角邊AB=12cm，另一條直角邊BC=5cm，則以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的圓錐的表面積是（）A 90cm2B 209cm2C 155cm2D 65cm2【答案】A【解析】 點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的表面面積的計(jì)算首先確定圓錐的底面半徑、母線長是解決本題的關(guān)鍵根據(jù)圓錐的表面積=側(cè)面積+底面積計(jì)算圓錐的表面積=×10×13+×52=90cm2故選A隨練1.5 一個(gè)幾何體由圓錐和圓柱組成，其尺寸如圖所示，則該幾何體的全面積（即表面積）為_（結(jié)果保留）【答案】 68 【解析】 本題考查了扇形

13、的面積公式，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵幾何體的上面部分是圓錐，利用扇形的面積公式即可求解，下面的部分是圓，中間的部分是圓柱，展開圖是矩形，利用矩形的面積公式求解，各部分的和就是所求的解圓錐的母線長是：32+42=5圓錐的側(cè)面積是：×8×5=20，圓柱的側(cè)面積是：8×4=32幾何體的下底面面積是：×42=16則該幾何體的全面積（即表面積）為：20+32+16=68故答案是：68隨練1.6 如圖，四邊形ABCD是菱形，A=60°，AB=2，扇形EBF的半徑為2，圓心角為60°，則圖中陰影部分的面積是_【答案】 【解析】 如圖，連接BD四邊形ABCD是菱形，A=60°，ADC=120°，1=2=60°，DAB是等邊三角形，AB=2，ABD的高為，扇形BEF的半徑為2，圓