系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析法

1、第七章 系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析法描述系統(tǒng)的方法通常有輸入輸出法和狀態(tài)變量法，也稱狀態(tài)空間法。前面章節(jié)所討論的系統(tǒng)時域或頻域分析均是運用輸入輸出法，即主要關(guān)心的是系統(tǒng)的輸入輸出之間的關(guān)系，而不考慮系統(tǒng)內(nèi)部的有關(guān)問題。對于簡單的一般單輸入單輸出系統(tǒng)，使用輸入輸出法很方便，但對于多輸入多輸出系統(tǒng)，尤其是對于現(xiàn)代工程中碰到的越來越多的非線性系統(tǒng)或時變系統(tǒng)的研究，若采用輸入輸出描述法則幾乎不可能。隨著系統(tǒng)理論和計算機技術(shù)的迅速發(fā)展，自20世紀60年代開始，作為現(xiàn)代控制理論基礎的狀態(tài)變量法在系統(tǒng)分析中得到廣泛應用。此方法的主要特點是利用描述系統(tǒng)內(nèi)部特性的狀態(tài)變量取代僅描述系統(tǒng)外部特性的系統(tǒng)函數(shù)，并且將這種描述

2、十分便捷的應用于多輸入多輸出系統(tǒng)。此外，狀態(tài)空間方法也成功地用來描述非線性系統(tǒng)或時變系統(tǒng)，并且易于借助計算機求解。7.1 狀態(tài)變量與狀態(tài)方程首先，從一個簡單實例給出狀態(tài)變量的初步概念。圖7.1所示為一個串聯(lián)諧振電路，如果只考慮其激勵與電容兩端電壓之間的關(guān)系，則系統(tǒng)可以用如下微分方程描述 （7.1）同時可以用圖7.2所示的系統(tǒng)模型來研究激勵信號所引起的不同響應。這樣研究系統(tǒng)的方法就是所謂的輸入輸出方法。圖7.1 RLC串聯(lián)諧振電路圖7.2 端口方法方框圖對于圖7.1電路，如果不僅希望了解電容上的電壓，而且希望知道在的作用下，電感中電流的變化情況，需列寫下列方程 （7.2）及 或 （7.3）上列兩

3、式可以寫成 （7.4）式（7.4）是以和作為變量的一階微分聯(lián)立方程組。由此對于圖7.1所示的串聯(lián)諧振電路只要知道及的初始情況及激勵情況，即可完全確定電路的全部行為。這樣描述系統(tǒng)的方法稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量法，其中和即為串聯(lián)諧振電路的狀態(tài)變量。方程組（7.4）即為狀態(tài)方程。在狀態(tài)變量法中，可將狀態(tài)方程以矢量和矩陣形式表示，于是式（7.4）改寫為 （7.5）對于圖7.1電路，若指定電容電壓為輸出信號，用表示，則輸出方程的矩陣形式為 （7.6）當系統(tǒng)的階次較高，即狀態(tài)變量數(shù)目較多或者系統(tǒng)具有多輸入多輸出信號時，描述系統(tǒng)的方程形式仍如式（7.5）和式（7.6），只是矢量或矩陣的維數(shù)有所增加。下面給出系統(tǒng)狀

4、態(tài)變量分析法中的幾個名詞的定義。狀態(tài)：一個動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)是表示系統(tǒng)的一組最少物理量，通過這些物理量和輸入就能完全確定系統(tǒng)的行為。狀態(tài)變量：能夠表示系統(tǒng)狀態(tài)的那些變量稱為狀態(tài)變量。例如圖7.1中的和。狀態(tài)矢量：能完全描述一個系統(tǒng)行為的個狀態(tài)變量，可以看作矢量的各個分量。例如圖7.1中的狀態(tài)變量和可以看作二維矢量的兩個分量和。即為狀態(tài)矢量。狀態(tài)方程：描述狀態(tài)變量變化規(guī)律的一組一階微分方程組。各方程的左邊是狀態(tài)變量的一階導數(shù)，右邊是包含有系統(tǒng)參數(shù)，狀態(tài)變量和激勵的一般函數(shù)表達式，不含變量的微分和積分運算。輸出方程：描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)變量之間的關(guān)系的方程組。各方程左邊是輸出變量，右邊是包括系統(tǒng)參數(shù)，狀

5、態(tài)變量和激勵的一般函數(shù)表達式，不含變量的微分和積分運算。對于離散時間系統(tǒng)，其狀態(tài)變量和狀態(tài)方程的描述類似，只是狀態(tài)變量都是離散量，因而狀態(tài)方程是一組一階差分方程，而輸出方程則是一組離散變量的線性代數(shù)方程。7.2 連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立一狀態(tài)方程的一般形式連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為狀態(tài)變量的一階微分方程組。設n階系統(tǒng)的狀態(tài)變量為、，激勵為，則狀態(tài)方程的一般形式如下： （7.7）式中各系數(shù)均由系統(tǒng)的元件參數(shù)確定，對于線性非時變系統(tǒng)，它們都是常數(shù)；對于線性時變系統(tǒng)，它們中有的可以是時間函數(shù)。式（7.7）是單輸入的情況，如果有m個輸入、，則可得狀態(tài)方程的一般形式為 （7.7）可以寫成如下矩陣形式 （

6、7.8）定義狀態(tài)矢量和狀態(tài)矢量的一階導數(shù)分別為 ， （7.9）再定義輸入矢量為 （7.10）另外，把由系數(shù)組成的n行n列的矩陣記為A，把由系數(shù)組成的n行m列的矩陣記為B，則 ， （7.11）把式（7.9）、式（7.10）和式（7.11）代入式（7.8），可將狀態(tài)方程簡寫為 （7.12）如果系統(tǒng)有q個輸出，則輸出方程的矩陣形式為 （7.13）仿照前面，定義輸出矢量為 （7.14）并把由系數(shù)組成的q行n列矩陣記為C，把由系數(shù)組成的q行m列矩陣記為D，即 ， （7.15）于是，輸出方程簡寫成 （7.16） 對于線性時不變系統(tǒng)，上面所有系數(shù)矩陣為常數(shù)矩陣。式（7.12）、式（7.16）分別是狀態(tài)方程和

7、輸出方程的矩陣形式。應用狀態(tài)方程和輸出方程的概念，可以研究許多復雜的工程問題。二由電路圖直接列寫狀態(tài)方程1. 狀態(tài)變量的選取為了建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程，首先要選定狀態(tài)變量。狀態(tài)變量的個數(shù)即狀態(tài)矢量中元素的個數(shù)，等于系統(tǒng)的階數(shù)。狀態(tài)變量應當是獨立變量。對于一個電路，選擇狀態(tài)變量最常用的方法是取全部獨立的電感電流和獨立的電容電壓，但有時也選電容電荷和電感磁鏈。2. 狀態(tài)方程的建立建立一個電路的狀態(tài)方程，即要列寫出各狀態(tài)變量的一階微分方程，并寫成如式（7.5）那樣的形式。因為是一電壓，所以可以寫一個包括此電壓在內(nèi)的回路電壓方程，用來確定電感電流一階導數(shù)與其它各量間的關(guān)系。同樣，是一電流，所以可以寫一個包

8、括此電流在內(nèi)的節(jié)點電流方程，用來確定電容電壓一階導數(shù)與其它各量間的關(guān)系。這些方程中，包含有狀態(tài)變量和非狀態(tài)變量，把其中的非狀態(tài)變量用狀態(tài)變量來表示，并經(jīng)過整理，就可得到標準形式的狀態(tài)方程。例7.1圖7.3所示一個二階系統(tǒng)，試寫出它的狀態(tài)方程。 圖7.3 例7.1圖解：第一步：選取狀態(tài)變量。由于兩個儲能元件都是獨立的，所以選電容電壓和電感電流為狀態(tài)變量如圖7.3所示。第二步：分別寫出包含有和的KVL方程。第三步：將上式整理，最后得所求狀態(tài)方程為或記為矩陣形式三由系統(tǒng)的輸入輸出方程或模擬圖列寫狀態(tài)方程一般n階連續(xù)時間系統(tǒng)的輸入輸出方程為 （7.17）其系統(tǒng)函數(shù)為 （7.18）可用圖7.4所示的模擬

9、框圖來表示。圖7.4 直接模擬框圖取每一積分器的輸出作為狀態(tài)變量，如圖7.4中所標的，；寫出除第一個積分器外的各積分器輸入、輸出間關(guān)系的方程以及輸入端加法器的求和方程，從而得到一組（n個）狀態(tài)方程 （7.19）輸出方程則由輸出端加法器的輸入、輸出關(guān)系得到，如果為 （7.20）可將上述狀態(tài)方程和輸出方程寫成矩陣形式如下 （7.21） （7.22）將式（7.18）的系統(tǒng)函數(shù)和式（7.21）的方程對照一下，就會發(fā)現(xiàn)利用以下規(guī)律，可以直接由系統(tǒng)函數(shù)寫出狀態(tài)方程：狀態(tài)方程中的A矩陣，其第n行的元素即為系統(tǒng)函數(shù)分母中次序顛倒過來的系數(shù)的負數(shù)、，其他各行除了對角線右邊的元素均為1外，別的元素全為0；列矩陣B

10、除第n行的元素為1外，其余均為0；輸出方程中的C矩陣為一行矩陣，前個元素即為系統(tǒng)函數(shù)分子中次序顛倒過來的系數(shù)、，其余個元素均為0。用這種方法寫出的輸出方程，當時，D矩陣為零。若，則圖7.4中乘法器的輸入將為，這時輸出方程為 （7.23）而當時，D矩陣不為零。實際的系統(tǒng)，大多數(shù)屬于的情況。例7.2 已知一線性非時變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為，試列寫狀態(tài)方程和輸出方程。解：由可直接列寫其狀態(tài)方程為輸出方程為7.3 連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解求解連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)方程通常有兩種方法：一種是基于拉普拉斯變換的復頻域求解；另一種是采用時域法求解。下面分別給予介紹。一、狀態(tài)方程的復頻域求解對給定的狀態(tài)方程和輸出方程

11、（7.24）兩邊取拉普拉斯變換 （7.25）式中，為初始條件的列矩陣 （7.26）整理得 （7.27）因而時域表示式為 （7.28）比照的定義和式（7.27）可得 （7.29）其中，式（7.29）的分母即為分母的特征多項式，因此又稱為系統(tǒng)的特征矩陣，通常用表示。例7.3 已知狀態(tài)方程和輸出方程為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為，激勵。試求此系統(tǒng)的全響應。解： 將系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程都可寫成矩陣形式得由此可知A，B，C，D四個矩陣分別為 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為計算由式（7.27） 分別對和求反變換從而系統(tǒng)的全響應為上面是對一個簡單二階系統(tǒng)進行狀態(tài)變量法求解的過程，可見其運算繁瑣。但是，這是一套規(guī)范化了的求解過程，

12、隨著系統(tǒng)的階數(shù)增高以及輸入或輸出數(shù)目的增加，都僅只是增加有關(guān)矩陣的階數(shù)。所以將這套解算過程編程，較為復雜的系統(tǒng)也可方便地利用計算機求解。二狀態(tài)方程的時域求解將式（7.12）表示的連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)方程改寫為 （7.30）它與一階電路的微分方程形式相似。將換為，換為，則狀態(tài)方程解可寫為 （7.32）或者表示為 （7.33）其中為初始條件的列矩陣，式（7.33）即為方程（7.30）的一般解。將此結(jié)果代入輸出方程有 （7.34） 將時域求解結(jié)果式（7.33）和式（7.34）與變換域求解結(jié)果式（7.28）相比較，不難發(fā)現(xiàn)就是的拉普拉斯變換，也即 （7.35）無論狀態(tài)方程的解或輸出方程的解都由兩部分相加組

13、成，一部分是由引起的零輸入解，另一部分是由激勵信號引起的零狀態(tài)解。而兩部分的變化規(guī)律都與矩陣有關(guān)，因此可以說反映了系統(tǒng)狀態(tài)變化的本質(zhì)。稱為“狀態(tài)過渡矩陣”，常用符號表示。即 （7.36）例7.4 求例7.3系統(tǒng)的狀態(tài)過渡矩陣。解： 由式（7.35）和式（7.36），該系統(tǒng)的狀態(tài)過渡矩陣為 另外，將式（7.29）取拉普拉斯反變換即得系統(tǒng)的單位沖激響應，即 （7.37）顯然，此結(jié)果也可從式（7.34）的零狀態(tài)解令求得。例7.5 求例7.3系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和單位沖激響應。解： 由式（7.29），該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)矩陣為 則單位沖激響應為7.4 離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立一狀態(tài)方程的一般形式 離散時間系統(tǒng)

14、是用差分方程描述的，選擇適當?shù)臓顟B(tài)變量把差分方程化為關(guān)于狀態(tài)變量的一階差分方程組，這個差分方程組就是該系統(tǒng)的狀態(tài)方程。設有m個輸入，q個輸出的n階離散時間系統(tǒng)，其狀態(tài)方程的一般形式是 （7.38）輸出方程為 （7.39） 以上二式可簡記為 （7.40） （7.41）式中， 分別是狀態(tài)矢量、輸入矢量和輸出矢量，其各分量都是離散時間序列。觀察離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以看出：時刻的狀態(tài)變量是時刻狀態(tài)變量和輸入信號的函數(shù)。在離散時間系統(tǒng)中，動態(tài)元件是延時器，因而常常取延時器的輸出作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。二由系統(tǒng)的差分方程或模擬圖列寫狀態(tài)方程對于一般n階離散時間系統(tǒng)，其前向差分方程為 （7.42）其中。在零

15、狀態(tài)條件下，對式（7.42）兩邊取單邊Z變換，則有 （7.43）其直接模擬框圖如圖7.5所示，選取單位延時器的輸出作為狀態(tài)變量，則狀態(tài)方程為圖7.5 離散時間系統(tǒng)的直接模擬框圖 （7.44）如果，則輸出方程為 （7.45）如果，則輸出方程為 （7.46）式（7.44）和式（7.45）可用矩陣記為 （7.47） （7.48）如果，則式（7.48）應為 （7.49）將式（7.47）和式（7.48）表示成矢量方程形式為 （7.50）式中為狀態(tài)矢量，為輸入矢量，為輸出矢量，A，B，C，D為相應的系數(shù)矩陣：， ， （7.51）7.5 離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解和連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)

16、方程的求解方法類似，包括時域和變換域兩種方法，下面分別介紹。一離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的時域求解一般離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程表示為 （7.52）此式為一階差分方程，可以應用迭代法求解。設給定系統(tǒng)的初始條件為，將等于0，1，2等依次代入式（7.52）有 （7.53）依此可推得 （7.54）相應地輸出為 （7.55）稱為離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣或狀態(tài)過渡矩陣，它與連續(xù)時間系統(tǒng)中的含義類似，用表示，即 （7.56）二離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的Z域求解對離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程式（7.40）和輸出方程式（7.41）兩邊取Z變換 （7.57）整理得到 （7.58） （7.59）取其逆變換即得時域表達式為 （7.6

17、0） （7.61）將式（7.60）與式（7.54）比較，可以得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 （7.62）而由式（7.62）中零狀態(tài)響應分量，可以得出系統(tǒng)函數(shù)表示式 （7.63）例7.6 某離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程分別為求狀態(tài)過渡矩陣和描述系統(tǒng)的差分方程。解： 由給定的狀態(tài)方程，可得其逆矩陣為 （1）求狀態(tài)過渡矩陣由式（7.56）有 （2）求差分方程由式（7.63）有 由此可知描述系統(tǒng)的差分方程為7.6 綜合舉例例7.7 如圖7.6所示，列寫狀態(tài)方程，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，常數(shù)，應滿足什么條件？圖7.6 例7.7圖解：設狀態(tài)變量，如圖7.6狀態(tài)方程為為判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，由狀態(tài)方程求為使系統(tǒng)穩(wěn)定，則的二個根必須處

18、于S的左半開平面，即令只要滿足，即可，因此，為和應滿足的條件。例7.8如圖7.7所示電路中、為激勵，、為響應，（1）列寫電路的狀態(tài)方程和輸出方程；（2）求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；（3）求系統(tǒng)函數(shù)矩陣。圖7.7 例7.8圖解： （1）選電感電流和電容電壓為狀態(tài)變量、，則有和 即狀態(tài)方程為輸出方程為即 （2） ， ， （3）系統(tǒng)函數(shù)矩陣 例7.9 已知某系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為當時，時，求常數(shù)a，b。解： 因為，時，故系統(tǒng)的特征根為和，故特征方程為由題意知，則有得 例7.10 某離散時間系統(tǒng)由下列差分方程描述（1）試列出它們的狀態(tài)方程和輸出方程；（2）求輸入為引起的零狀態(tài)響應。解：（1）對差分方程做z變換

19、，得圖7.8 例7.10圖畫直接模擬框圖如圖7.8所示。選狀態(tài)變量，見圖7.8狀態(tài)方程和輸出方程分別為（2）求激勵下的零狀態(tài)響應，一是直接通過來求；而是根據(jù)狀態(tài)方程的解法求，顯然，前者相比要方便多了。 所以7.7系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析法的MATLAB實現(xiàn)一系統(tǒng)狀態(tài)方程的MATLAB實現(xiàn)在MATLAB中，描述系統(tǒng)的傳遞函數(shù)型tf（transfer function），零極點型zp（zero pole）以及狀態(tài)變量型ss（state space）三種方式可以方便的轉(zhuǎn)換。MATLAB中相應的函數(shù)為：tf2zp傳遞函數(shù)型轉(zhuǎn)換為零極點型；tf2ss傳遞函數(shù)型轉(zhuǎn)換到狀態(tài)空間型；zp2tf零極點型轉(zhuǎn)換到傳遞函數(shù)

20、型；zp2ss零極點型轉(zhuǎn)換到狀態(tài)空間型；ss2tf狀態(tài)空間型轉(zhuǎn)換到傳遞函數(shù)型；ss2zp狀態(tài)空間型轉(zhuǎn)換到零極點型。例7.11 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：將其轉(zhuǎn)換為零極點型。解：本例的MATLAB語句實現(xiàn)為：num=1, 6, 8; den= 1, 8, 19, 12; %即分子、分母多項式的系數(shù)printsys(num, den, s) %打印出系統(tǒng)函數(shù)，即由s表示的分子分母多項式在MATLAB的命令窗口輸入上述語句后，屏幕顯示：num/den =s2 + 6 s + 8-s3 + 8 s2 + 19 s + 12若在MATLAB的命令窗口輸入下列語句： z, p, k=tf2zp(num, de

21、n) 即顯示： z = -4 -2p = -4.0000 -3.0000 -1.0000k = 1這就表示了H(s)由傳遞函數(shù)型轉(zhuǎn)換到零極點型，即 若需將其轉(zhuǎn)換為狀態(tài)變量型，則繼續(xù)在MATLAB命令窗口輸入如下語句： a, b, c, d=tf2ss(num, den)回車后，屏幕顯示各狀態(tài)矩陣如下：a = -8 -19 -12 1 0 0 0 1 0b = 1 0 0c = 1 6 8d = 0即對應的狀態(tài)方程為：，式中A, B, C, D對應于程序中的a, b, c, d。二連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程求解的MATLAB實現(xiàn)例7.12 已知狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣為：，。試用MATLAB分別繪

22、出（1）在零輸入條件和初始狀態(tài)為，時，系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程的解。（2）在零狀態(tài)條件和輸入為，時，系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程的解。解：MATLAB中的lsim命令可以用來計算LTI系統(tǒng)對任意輸入的響應。（1）系統(tǒng)的響應可以下面的程序?qū)崿F(xiàn)：A=-2, 3; -1, -1;B=3, 2; 2, 1;C=1, 2; -2, 2; 1, -1;D=zeros(3, 2);t=0:0.04:8; %模擬0t8秒x0=0, 0; %初始狀態(tài)為零v(:,1)=ones(length(t),1); v(:,2)=exp(-t); y, x=lsim(A,B,C,D,v,t,x0);subplot(211)plot

23、(t,x(:,1),-,t,x(:,2),-)title(狀態(tài)響應曲線)subplot(212)plot(t,y(:,1),-,t,y(:,2),-,t,y(:,3),-.)title(輸出響應曲線)圖7.9 例7.12圖程序運行后，系統(tǒng)的狀態(tài)，的曲線如圖7.9（a）所示，輸出，的曲線如圖7.9(b)所示。（2）系統(tǒng)的響應可以由下面的程序?qū)崿F(xiàn)：A=-2, 3; -1, -1;B=3, 2; 2, 1;C=1, 2; -2, 2; 1, -1;D=zeros(3, 2);t=0:0.04:8; %模擬0t8秒x0=0, 0; %初始狀態(tài)為零v(:,1)=ones(length(t),1); v(

24、:,2)=exp(-t); y, x=lsim(A,B,C,D,v,t,x0);subplot(211)plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),-)subplot(212)plot(t,y(:,1),-,t,y(:,2),-,t,y(:,3),-.)程序運行后，系統(tǒng)的狀態(tài)，的曲線如圖7.10（a）所示，輸出，的曲線如圖7.10(b)所示。圖7.10 例7.12圖三離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程求解的MATLAB實現(xiàn)例7.13 已知狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣為：，。在初始狀態(tài)為，時，試用MATLAB求系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程的解。解：MATLAB中的dlsim命令可以用來計算狀態(tài)方程的解。本例用MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)如下：A=1,-1,0;1,0,1;0,1,0;B=1,0,1;0,1,0;0,0,1;C=0, 1,0; 1,0,1;D=0,0,0;0,1,0;x0=1, 1, 0; n=0:1:10;v=zeros(length(n),3);y,x=dlsim(A,B,C,D,v,x0)程序運行后，計算機顯示如下：y = 1 1 1 1 1 0 0 -1 -1 -2 -2 -2 -2 -1 -1 1 1 3 3 4 4 3x = 1 1 0 0 1 1 -1 1 1 -2 0 1 -2 -1 0 -1 -2 -1 1 -2 -2