西安交大西工大 考研備考期末復(fù)習(xí) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第八章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、他們的射擊技術(shù)分別為他們的射擊技術(shù)分別為乙兩個(gè)射手乙兩個(gè)射手甲甲,試問哪個(gè)射手技術(shù)較好試問哪個(gè)射手技術(shù)較好?引例引例1 誰的技術(shù)比較好誰的技術(shù)比較好?乙射手乙射手擊中環(huán)數(shù)擊中環(huán)數(shù)概率概率10982 . 05 . 03 . 0甲射手甲射手擊中環(huán)數(shù)擊中環(huán)數(shù)概率概率10983 . 01 . 06 . 0第八章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第八章隨機(jī)變量的數(shù)字特征解解),(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)(1環(huán)環(huán) XE),( 1 . 93 . 0105 . 092 . 08)(2環(huán)環(huán) XE.,21XX為為乙乙射射手手擊擊中中的的環(huán)環(huán)數(shù)數(shù)分分別別設(shè)設(shè)甲甲故甲射手的技術(shù)比較好故甲射手的技術(shù)比較好.1

2、. 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.)().(,., 2 , 1,111 kkkkkkkkkkkpxXEXEXpxpxkpxXPX即即記為記為的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望的和為隨機(jī)變量的和為隨機(jī)變量則稱級數(shù)則稱級數(shù)絕對收斂絕對收斂若級數(shù)若級數(shù)的分布律為的分布律為設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望關(guān)于定義的幾點(diǎn)說明關(guān)于定義的幾點(diǎn)說明 (1) E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量而非變量,它是一種它是一種加加權(quán)平均權(quán)平均,與一般的平均值不同與一般的平均值不同 , 它從本質(zhì)上體現(xiàn)它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量了隨機(jī)變量 X 取可能值的取可能值的真正平均

3、值真正平均值, 也稱也稱均值均值. (2) 級數(shù)的絕對收斂性級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變隨級數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變 , 之所以這樣要之所以這樣要求是因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量求是因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X 取可能值取可能值的平均值的平均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變. (3) 并非所有的隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望都存在并非所有的隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望都存在例如：例如： 的數(shù)學(xué)期望不存在的數(shù)學(xué)期望不存在 112,( 1),1,2,2kkkkkkP XxpxkXk 例例1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 ), 2 , 1 , 0( ,)1(nkp

4、pknkXPknk . 10 p則有則有)(0kXPkXEnk knknkppknk )1(0 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 n, p 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布,其分布律為其分布律為knknkppknkkn )1()!( !0)1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnp1)1( nppnp)1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnp則兩點(diǎn)分布則兩點(diǎn)分布b(1,p)的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為 p.=np例例2 泊松分布泊松分布 . 0, 2 , 1 , 0,! kekkXPk則有則有 0!)(kkekkXE 11)!

5、1(kkke ee . 且分布律為且分布律為設(shè)設(shè)),(PX 例例3 幾何分布幾何分布 102111 pkpqpqkXPk;,;,則有則有 1111kkkkqkppqkXE)(的分布律為的分布律為設(shè)設(shè)Xvr. 1kkqp)()( 1kkqppqpqqp11112 )()(在區(qū)間在區(qū)間 上取值的概上取值的概率約為率約為,iiixxxiixxp)(連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 在一點(diǎn)取值的概在一點(diǎn)取值的概率為零率為零0)(xXPxFX)(xpyiixxixx而這個(gè)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為而這個(gè)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為iiiixxpx)(ix足夠小足夠小 與以概率與以概率 取值取值 的的離散型隨機(jī)

6、變量近似離散型隨機(jī)變量近似iixxp)(Xix2.連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義.d)()().(,d)(,d)(),( xxpxXEXEXxxpxxxpxxpX即即記為記為的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望變量變量的值為隨機(jī)的值為隨機(jī)則稱積分則稱積分絕對收斂絕對收斂若積分若積分的概率密度為的概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義（2）并非所有連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望都存在）并非所有連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望都存在【說明】【說明】21( )(1)p xx （1）此處要求）此處要求 與離散型要求絕對收斂是同一個(gè)與離散型要求絕對收斂是同一個(gè) 意義意義dxxpx)( 設(shè)顧客在某

7、銀行的窗口等待的服務(wù)的時(shí)間設(shè)顧客在某銀行的窗口等待的服務(wù)的時(shí)間 X(以分計(jì)以分計(jì))服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布,其概率密度為其概率密度為 .,)(000515xxexpx試求顧客等待服務(wù)的平均時(shí)間試求顧客等待服務(wù)的平均時(shí)間?解解 xxpxXEd)()(xexxd5150 ).(5 分鐘分鐘 因此因此,顧客平均等待顧客平均等待5分鐘就可得到服務(wù)分鐘就可得到服務(wù).例例4 顧客平均等待多長時(shí)間顧客平均等待多長時(shí)間?例例5 均勻分布均勻分布則有則有xxxpXEd)()( baxxabd1).(21ba .,)(其它其它01bxaabxp其概率密度為其概率密度為設(shè)設(shè)),(baUX).(21ba 結(jié)論結(jié)論 均

8、勻分布的數(shù)學(xué)均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn)期望位于區(qū)間的中點(diǎn).例例6 指數(shù)分布指數(shù)分布 .,)(,0000 其中其中其概率密度為其概率密度為服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量xxexpXx則有則有xxxpXEd)()( xexxd 0.1 xexexxd00 例例7 正態(tài)分布正態(tài)分布其概率密度為其概率密度為設(shè)設(shè)),(2NX則有則有xxxpXEd)()( xexxd21222)( tx 令令, tx .,)()( xexpx021222. ttetettd2d212222 xexXExd21)(222)( 所所以以tettd)(2122 正正是是它它的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望。中中的的可可

9、見見),(,2N若若X為離散型隨機(jī)變量，分布律為為離散型隨機(jī)變量，分布律為Y=f(X)為為X的函數(shù)的函數(shù)), 2 , 1(, kpxXPkk則則Y的期望為的期望為.)()( 1kkkpxfXfE1. 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望2. 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.d)()()(xxpxfXfE 若若 X 是連續(xù)型的是連續(xù)型的,它的分布密度為它的分布密度為 p(x) 則則3. 二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.),(),(,),(,)1( iijjjipyxfYXfEy

10、xfYX則則數(shù)數(shù)為為二二元元函函為為離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè).),(ijpYX的聯(lián)合概率分布為的聯(lián)合概率分布為其中其中.dd),(),(),(yxyxpyxfYXfE 則則數(shù)數(shù)為為二二元元函函為為連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè),),(,)(yxfYX2).,(),(yxpYX的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為其中其中Xp1234 . 02 . 04 . 0解解的分布律為的分布律為XXY1231 0120.10.10.10.10.10.0030.)(, )(),(),(:2YXEXYEYEXE 求求例例8 設(shè)設(shè) (X ,Y) 的分布律為的分布律為. 03 . 014 . 003 . 01

11、)( YE得得1 0121 21031Yp1 013 . 04 . 03 . 0的分布律為的分布律為Y. 24 . 032 . 024 . 01)( XE得得p),(YXXY)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0)1 , 1(1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 0由于由于p),(YX)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0) 1 , 1 (1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 02)(YX 41091944 . 091 . 002 . 01

12、3 . 04)(2 YXE得得. 5 1 . 0313 . 001 . 0211 . 0211 . 011 . 002 . 01 XYE于于是是.151 1. 設(shè)設(shè)C是常數(shù)是常數(shù), 則有則有.)(CCE 證明證明.1)()(CCCEXE 2. 設(shè)設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量,C 是常數(shù)是常數(shù), 則有則有).()(XCECXE 證明證明kkkpCxCXE )().(XCE kkkpxC 例如例如, 5)( XE)(3)3(XEXE 則則.1553 三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) kkkkkkpypx).()(YEXE 4. 設(shè)設(shè) X、Y 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,

13、則有則有).()()(YEXEXYE 3. 設(shè)設(shè) X、Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量是兩個(gè)隨機(jī)變量, 則有則有).()()(YEXEYXE 證明證明kkkkpyxYXE )()(說明說明 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望與離散型隨的數(shù)學(xué)期望與離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)類似機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)類似.推廣推廣).()( niiiniiiXEaXaE11 可見，服從參數(shù)為可見，服從參數(shù)為n和和p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)的二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量變量X的數(shù)學(xué)期望是的數(shù)學(xué)期望是np. XB(n,p), 若設(shè)若設(shè)則則 X= X1+X2+Xn= np次試驗(yàn)失敗如第次試驗(yàn)成功如第iiXi01i=1,2，n因?yàn)橐驗(yàn)?P(X

14、i =1)= p,P(Xi =0)= 1-pniiXE1)(所以所以 E(X)=則則X表示表示n重貝努里試驗(yàn)中的重貝努里試驗(yàn)中的“成功成功” 次數(shù)次數(shù).E(Xi)= )1 (01pp= p數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用).,)(,.10,20互獨(dú)立互獨(dú)立并設(shè)各旅客是否下車相并設(shè)各旅客是否下車相下車是等可能的下車是等可能的設(shè)每位旅客在各個(gè)車站設(shè)每位旅客在各個(gè)車站求求表示停車的次數(shù)表示停車的次數(shù)以以有旅客下車就不停車有旅客下車就不停車如到達(dá)一個(gè)車站沒如到達(dá)一個(gè)車站沒個(gè)車站可以下車個(gè)車站可以下車旅客有旅客有位旅客自機(jī)場開出位旅客自機(jī)場開出一民航送客車載有一民航送客車載有XEX解解,iX引入隨機(jī)

15、變量引入隨機(jī)變量.10, 2 , 1, 1, 0 iiiXi站有人下車站有人下車在第在第站沒有人下車站沒有人下車在第在第.1021XXXX 則則例例9,109020 iXP則有則有,1091120 iXP.10, 2 , 1 i., 2 , 1,1091)(20 iXEi由此由此)()(1021XXXEXE 得得)()()(1021XEXEXE 20109110).(784. 8次次 例例10 某人用某人用10萬元進(jìn)行為期一年的投資，有兩種投資方案：萬元進(jìn)行為期一年的投資，有兩種投資方案：一是購買股票；二是存入銀行獲取利息。買股票的收益取決于經(jīng)一是購買股票；二是存入銀行獲取利息。買股票的收益取

16、決于經(jīng)濟(jì)形勢，若經(jīng)濟(jì)形勢好可獲利濟(jì)形勢，若經(jīng)濟(jì)形勢好可獲利4萬元，形勢中等可獲利萬元，形勢中等可獲利1萬元，形萬元，形勢不好要損失勢不好要損失2萬元。如果存入銀行，假設(shè)利率為萬元。如果存入銀行，假設(shè)利率為8%，可得利息，可得利息8000元，又設(shè)經(jīng)濟(jì)形勢好、中、差的概率分別為元，又設(shè)經(jīng)濟(jì)形勢好、中、差的概率分別為30%、50%、20%。 試問應(yīng)選擇哪一種方案可使投資的效益較大？試問應(yīng)選擇哪一種方案可使投資的效益較大？（一）在效益、利潤等經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用（一）在效益、利潤等經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用購買股票的獲利期望購買股票的獲利期望14 0.31 0.5( 2) 0.21.3E 萬元萬元萬元萬元存入銀行的

17、獲利期望存入銀行的獲利期望20.8 10.8E 12EE 購買股票效益較大購買股票效益較大四、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用四、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用例例1111 醫(yī)療系統(tǒng)的檢驗(yàn)人員在實(shí)際工作中經(jīng)常遇到在大量人醫(yī)療系統(tǒng)的檢驗(yàn)人員在實(shí)際工作中經(jīng)常遇到在大量人群中普查某種疾病。如甲肝的普查就需要對某地區(qū)大量人進(jìn)群中普查某種疾病。如甲肝的普查就需要對某地區(qū)大量人進(jìn)行行血檢。假設(shè)需要檢查血檢。假設(shè)需要檢查N個(gè)人的血：有兩種方案個(gè)人的血：有兩種方案 （1）逐人驗(yàn)血；）逐人驗(yàn)血； （2）把這）把這N個(gè)人大致分為若干組，每組個(gè)人大致分為若干組，每組k個(gè)人，把這個(gè)人，把這k個(gè)個(gè)人的血樣混合，首先檢驗(yàn)混合血樣人的血樣混合，首先檢驗(yàn)混合

18、血樣；如果結(jié)果呈陽性，則再；如果結(jié)果呈陽性，則再逐個(gè)驗(yàn)血。逐個(gè)驗(yàn)血。 假定對所有人來說，化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率相等，而且假定對所有人來說，化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率相等，而且這些人的反應(yīng)是相互獨(dú)立的，證明當(dāng)被普查人數(shù)眾多時(shí)，應(yīng)這些人的反應(yīng)是相互獨(dú)立的，證明當(dāng)被普查人數(shù)眾多時(shí)，應(yīng)用分組檢驗(yàn)的方法能大大減少檢驗(yàn)的次數(shù)。用分組檢驗(yàn)的方法能大大減少檢驗(yàn)的次數(shù)。（二）在醫(yī)學(xué)疾病普查中的應(yīng)用（二）在醫(yī)學(xué)疾病普查中的應(yīng)用（1）逐人驗(yàn)血，共需）逐人驗(yàn)血，共需N次，平均每人次，平均每人1次次分析：分析：1k若混合血呈陰性，平均每人若混合血呈陰性，平均每人 次，次，（2）k人一組人一組: 1kk若混合血呈陽性，平均每人若

19、混合血呈陽性，平均每人 次，次，11(1)1kkkXqpkkqq p假設(shè)每個(gè)人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率都為假設(shè)每個(gè)人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率都為解解，則分組后每，則分組后每人平均所需檢驗(yàn)次數(shù)人平均所需檢驗(yàn)次數(shù) 服從如下分布服從如下分布X則，每人平均所需檢驗(yàn)次數(shù)的期望為則，每人平均所需檢驗(yàn)次數(shù)的期望為111(1)1kkkkEXqqqkkk 1kqk 即只要即只要便可使便可使 從而減少檢驗(yàn)次數(shù)從而減少檢驗(yàn)次數(shù)1EX 例例12 設(shè)有設(shè)有5個(gè)相互獨(dú)立的元件，其壽命服從參數(shù)為個(gè)相互獨(dú)立的元件，其壽命服從參數(shù)為的指數(shù)分布，的指數(shù)分布，1,0( )0,0 xexf xx（1）若將這）若將這5個(gè)元件組成一個(gè)串聯(lián)系

20、統(tǒng)，求該系統(tǒng)的平均壽命；個(gè)元件組成一個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)，求該系統(tǒng)的平均壽命；（2）若將這）若將這5個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)，求該系統(tǒng)的平均壽命；個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)，求該系統(tǒng)的平均壽命；（1）如圖，設(shè)串聯(lián)系統(tǒng)的壽命為）如圖，設(shè)串聯(lián)系統(tǒng)的壽命為Y 12345min,YXXXXX 解：以解：以 表示元件的壽命表示元件的壽命(1,2,3,4,5)iX i （三）在系統(tǒng)平均壽命評價(jià)中的應(yīng)用（三）在系統(tǒng)平均壽命評價(jià)中的應(yīng)用 (5 1)( )5 1( )( )YfyF yf y 415 ()000yyeeyy 55000yeyy 505( )5yYEYyfy dyyedy 則則 12345max,ZXXXXX （

21、2）如圖，設(shè)并聯(lián)系統(tǒng)的壽命為）如圖，設(shè)并聯(lián)系統(tǒng)的壽命為Z (5 1)( )5( )( )ZfzF zf z 45(1)000zzeezz 137( )60ZEZzfz dz 根據(jù)生命表知根據(jù)生命表知 , 某年齡段保險(xiǎn)者里某年齡段保險(xiǎn)者里 , 一一 年中年中每個(gè)人死亡的概率為每個(gè)人死亡的概率為0.002, 現(xiàn)有現(xiàn)有10000個(gè)這類人個(gè)這類人參加人壽保險(xiǎn)參加人壽保險(xiǎn),若在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)若在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取取 2000 元賠償金元賠償金 . 問每人一年須交保險(xiǎn)費(fèi)多少問每人一年須交保險(xiǎn)費(fèi)多少元元?例例1 你知道自己該交多少保險(xiǎn)費(fèi)嗎你知道自己該交多少保險(xiǎn)費(fèi)嗎?練習(xí)題練習(xí)題解解設(shè)設(shè)1年

22、中死亡人數(shù)為年中死亡人數(shù)為X ,)002. 0 ,10000( bX則則 10000010000)002. 01()002. 0(1000)(kkkkkXE).(20 人人 被保險(xiǎn)人所得賠償金的期望值應(yīng)為被保險(xiǎn)人所得賠償金的期望值應(yīng)為 ).(40000200020元元 若設(shè)每人一年須交保險(xiǎn)費(fèi)為若設(shè)每人一年須交保險(xiǎn)費(fèi)為a 元元,由被保險(xiǎn)人交的由被保險(xiǎn)人交的“純保險(xiǎn)費(fèi)純保險(xiǎn)費(fèi)”與他們所能得到的與他們所能得到的賠償金的期望值相等知賠償金的期望值相等知4000010000 a),(4 元元 a故每人故每人1年應(yīng)向保險(xiǎn)公司交保險(xiǎn)費(fèi)年應(yīng)向保險(xiǎn)公司交保險(xiǎn)費(fèi)4元元.解解),9 ,75( NX因?yàn)橐驗(yàn)?)()(

23、22375231 xexp知知xxpxXEd)()( 故故 xexxd231223)75().(75 分分 例例2 某大學(xué)二年級學(xué)生進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)統(tǒng)考某大學(xué)二年級學(xué)生進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)統(tǒng)考,設(shè)其設(shè)其成績成績 X 服從服從 N(75, 9) 的正態(tài)分布的正態(tài)分布,試求學(xué)生成績的試求學(xué)生成績的期望值期望值.解解)5()(2)52(33EXEXE , 5)(23 XE1213121121031)2()(33333 XE又又,31 .31353125)(2)52(33 XEXE故故例例3 設(shè)設(shè)求求:).52(3 XE3102 3121121121Xp., 0, 30,9)(, 0, 10,2)(,)()(

24、2的均值的均值試求電壓試求電壓其它其它其它其它其概率密度分別為其概率密度分別為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是兩個(gè)是兩個(gè)與電阻與電阻設(shè)一電路中電流設(shè)一電路中電流IRVrrrhiiigRAI 解解)()(IREVE )()(REIE d)( d)( rrrhiiig3132002d d 9riir ).(23V 例例4:),(,規(guī)規(guī)定定以以年年計(jì)計(jì)記記使使用用壽壽命命為為付付款款的的方方式式的的銷銷售售采采用用先先使使用用后后某某商商店店對對某某種種家家用用電電器器X例例5商店的銷售策略商店的銷售策略.3000, 3;2500, 32;2000, 21 ;1500, 1元元一一臺臺付付款款

25、元元一一臺臺付付款款元元一一臺臺付付款款元元一一臺臺付付款款 XXXX. 0, 0, 0,101)(,10的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望試試求求該該商商店店一一臺臺收收費(fèi)費(fèi)概概率率密密度度為為服服從從指指數(shù)數(shù)分分布布設(shè)設(shè)壽壽命命YxxexfXx 解解xeXPxd10111010 1 . 01 e,0952. 0 xeXPxd101211021 2 . 01 . 0 ee,0861. 0 xeXPxd101321032 ,0779. 03 . 02 . 0 eexeXPxd1013103 .7408. 03 . 0 e的的分分布布律律為為因因而而一一臺臺收收費(fèi)費(fèi) YYkp30002500200015000

26、952. 07408. 00861. 00779. 0,15.2732)( YE得得.15.2732即平均一臺收費(fèi)即平均一臺收費(fèi)其規(guī)律為其規(guī)律為獨(dú)立獨(dú)立且兩者到站的時(shí)間相互且兩者到站的時(shí)間相互的的但到站的時(shí)刻是隨機(jī)但到站的時(shí)刻是隨機(jī)都恰有一輛客車到站都恰有一輛客車到站某車站每天某車站每天按規(guī)定按規(guī)定.,00:1000:9,00:900:8, 到站時(shí)刻到站時(shí)刻概率概率10:910:830:930:850:950:8616362.,00:8(i)望望求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期到車站到車站一旅客一旅客.,20:8(ii)望望求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期到車站到車站一旅客一旅

27、客例例6).(以分計(jì)以分計(jì)設(shè)旅客的候車時(shí)間為設(shè)旅客的候車時(shí)間為 X解解的分布律為的分布律為X(i)Xkp106130635062候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為625063306110)( XE).(33.33分分 的分布律為的分布律為X(ii)Xkp10633062506161 706361 906261 62619063617061615062306310)( XE).(22.27分分 候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為四、小結(jié)四、小結(jié)1. 數(shù)學(xué)期望是一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)學(xué)期望是一個(gè)實(shí)數(shù), 而非變量而非變量,它是一種它是一種加權(quán)加權(quán)平均平均, 與一般的平均值不同與一般的平均值不同,它從

28、本質(zhì)上體現(xiàn)了它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值.2. 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) ).()()(,4);()()(3);()(2;)(10000YEXEXYEYXYEXEYXEXCECXECCE獨(dú)立獨(dú)立3. 常見離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望常見離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 分分布布 分分布布律律 E(X) (0-1)分分布布 XB(1, p) kkppkXP 1)1( k=0,1 p 二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布 XB(n, p) knkknppCkXP )1 ( k=0,1,2,n np 泊泊 松松 分分 布布 )( PX PX=k= ekk! k=0,1,2,

29、 幾幾何何分分布布 PX=k=ppk 1)1( k=1,2, p1 4.常見連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望常見連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 分布名稱分布名稱 概率密度概率密度 )(XE 均勻分布均勻分布 XUa,b p(x)= 其他其他, 0,1baxab 2ba 正態(tài)分布正態(tài)分布 ),(2 NX p(x)=222)(21 xe 指數(shù)分布指數(shù)分布 )( EX p(x)=)0(, 00, 其他其他xex 1 例如，某零件的真實(shí)長度為例如，某零件的真實(shí)長度為a，現(xiàn)用甲、，現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量乙兩臺儀器各測量10次，將測量結(jié)果次，將測量結(jié)果X用坐用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖： 若讓你就上述結(jié)果評

30、價(jià)一下兩臺儀器的優(yōu)若讓你就上述結(jié)果評價(jià)一下兩臺儀器的優(yōu)劣，你認(rèn)為哪臺儀器好一些呢？劣，你認(rèn)為哪臺儀器好一些呢？a 乙儀器測量結(jié)果乙儀器測量結(jié)果 a甲儀器測量結(jié)果甲儀器測量結(jié)果較好較好測量結(jié)果的測量結(jié)果的均值都是均值都是 a因?yàn)橐覂x器的測量結(jié)果集中在均值附近因?yàn)橐覂x器的測量結(jié)果集中在均值附近第第2 2節(jié)方差節(jié)方差又如又如,甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮乙炮因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近因?yàn)橐遗?/p>

31、的彈著點(diǎn)較集中在中心附近 . 中心中心中心中心).(,)(.)()()(),()(,)(,)(,XXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX記為記為為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差稱稱即即或或記為記為的方差的方差為為則稱則稱存在存在若若是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量設(shè)設(shè)22222 1. 方差的定義方差的定義一、隨機(jī)變量方差的概念及性質(zhì)一、隨機(jī)變量方差的概念及性質(zhì)方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量X取取值分散程度的量值分散程度的量.如果如果D(X)值大值大, 表示表示X 取取值分散程度大值分散程度大, E(X)的代表性差的代表性差;而如果而如果D(X) 值小值小, 則表示則

32、表示X 的取值比較集中的取值比較集中,以以E(X)作為隨機(jī)變量的代表性好作為隨機(jī)變量的代表性好.2. 方差的意義方差的意義離散型隨機(jī)變量的方差離散型隨機(jī)變量的方差 ,)()(12kkkpXExXD 連續(xù)型隨機(jī)變量的方差連續(xù)型隨機(jī)變量的方差,d)()()(xxpXExXD 23. 隨機(jī)變量方差的計(jì)算隨機(jī)變量方差的計(jì)算 (1) 利用定義計(jì)算利用定義計(jì)算 .)(的概率密度的概率密度為為其中其中Xxp., 2 , 1,的分布律的分布律是是其中其中XkpxXPkk .)()()(22XEXEXD 證明證明)()(2XEXEXD )()(222XEXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE 22)

33、()(XEXE (2) 利用公式計(jì)算利用公式計(jì)算).()(22XEXE ).(.,)(XDxxxxxpX求求其它其它具有概率密度具有概率密度設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 0101011解解 1001d)1(d)1()(xxxxxxXE, 0 例例1 1020122d)1(d)1()(xxxxxxXE,61 于是于是22)()()(XEXEXD 2061 .61 證明證明22)()()(CECECD 4. 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)(1) 設(shè)設(shè) C 是常數(shù)是常數(shù), 則有則有. 0)( CD22CC . 0 (2) 設(shè)設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量, C 是常數(shù)是常數(shù), 則有則有).()(2XDCCXD

34、證明證明)(CXD)(22XEXEC ).(2XDC )(2CXECXE ).()()(YDXDYXD (3) 設(shè)設(shè) X, Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, D(X), D(Y) 存在存在, 則則證明證明)()()(2YXEYXEYXD 2)()(YEYXEXE )()(2)()(22YEYXEXEYEYEXEXE ).()(YDXD 推廣推廣).()()()(22221212211nnnnXDaXDaXDaXaXaXaD 則有則有相互獨(dú)立相互獨(dú)立若若,21nXXX即即取常數(shù)取常數(shù)以概率以概率的充要條件是的充要條件是,CX)X(D)(104 . 1 CXP25)()(),()(CXEXDXEC 則則若若

35、)44(2 XXE44)(2 EXEXDX434352 .30 .30)2(2 XE所所以以解解)44()2(22 XXEXE4)(4)(2 XEXE.) 2(, 5)(, 3)(2 XEXDXE求求已已知知例例21. 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布 qpXE 01)(Xp01pp 1已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量 X 的分布律為的分布律為則有則有, p 22)()()(XEXEXD 222101p)p(p ppq 二、重要概率分布的方差二、重要概率分布的方差2. 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 ), 2 , 1 , 0( ,)1(nkppknkXPknk . 10 p則有則有 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為

36、n, p 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布,其分布律為其分布律為npEX 解解1)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE npppCkkknknkkn )1()1(0npppknknkkknknk )1()!( !)1(0nppppnnn 22)1()1(.)(22nppnn 22)()()(XEXEXD 222)()(npnppnn ).1(pnp npppkknnpnnknknk )2()2(222)1()!2()!()!2()1()1(pnp 設(shè)設(shè)XB(n,p), 則則X表示表示n重貝努里試驗(yàn)中的重貝努里試驗(yàn)中的“成功成功” 次數(shù)次數(shù) . 若設(shè)若設(shè)次試驗(yàn)失敗如第次試驗(yàn)成功如第iiXi01i=1,2

37、，n 故故 V(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2E(Xi)=P(Xi=1)= p,E(Xi2)= p, 則則 是是n次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中“成功成功” 的次數(shù)的次數(shù)niiXX1= p- p2= p(1- p)解解2于是于是i=1,2，n V(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2 = p- p2= p(1- p)由于由于X1,X2,Xn相互相互獨(dú)立獨(dú)立niiXDXD1)()(= np(1- p)3. 泊松分布泊松分布 . 0, 2 , 1 , 0,! kekkXPk則有則有)(XE且分布律為且分布律為設(shè)設(shè)),(PX)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE 0!)1(kkekkk 222)!2

38、(kkke ee2.2 所以所以22)()()(XEXEXD 22 . . 都等于參數(shù)都等于參數(shù)泊松分布的期望和方差泊松分布的期望和方差 4. 均勻分布均勻分布則有則有)(XE).(21ba ., 0,1)(其它其它bxaabxf其概率密度為其概率密度為設(shè)設(shè)),(baUX).(21ba 結(jié)論結(jié)論 均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn)均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn).22)()()(XEXEXD 222d1 baxabxba.12)(2ab 12)(2ab 5. 指數(shù)分布指數(shù)分布 . 0. 0 x, 0, 0 x,e)x( f,Xx 其中其中其概率密度為其概率密度為服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量

39、設(shè)隨機(jī)變量則有則有)(XE./1 22)()()(XEXEXD 20 x2/1xdex 22/1/2 ./1/12 和和分分別別為為指指數(shù)數(shù)分分布布的的期期望望和和方方差差21 6. 正態(tài)分布正態(tài)分布其概率密度為其概率密度為設(shè)設(shè)),(2NX則有則有)(XE., 0,21)(222)( xexfx. xexxd21)(222)(2 xxfxXDd)()()(2 得得令令, tx tetXDtd2)(2222 tetettd222222 2202.2 .2 和和分別為兩個(gè)參數(shù)分別為兩個(gè)參數(shù)正態(tài)分布的期望和方差正態(tài)分布的期望和方差2分布分布參數(shù)參數(shù)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望方差方差兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布二項(xiàng)

40、分布泊松分布泊松分布均勻分布均勻分布指數(shù)分布指數(shù)分布正態(tài)分布正態(tài)分布幾何分布幾何分布10 pp)1(pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba 2ba 12)(2ab 0 /12/1 0, 210 pp/12/ )1 (pp.)(;,)(:,)(.,)(的數(shù)學(xué)期望與方差的數(shù)學(xué)期望與方差隨機(jī)變量隨機(jī)變量的值的值求求且已知且已知其它其它的概率密度為的概率密度為設(shè)隨機(jī)量設(shè)隨機(jī)量XeYcbaXPXExbcxxaxxpX214331204220 解解,d)()(11 xxp因?yàn)橐驗(yàn)槔?xbcxxxaxxXEd)(d)(4220 , 2)( XE, 2 bca 35638,4331 XP,4325

41、23d)(d2132 bcaxbcxxax,262bca 2042dd1xbcxxax所以所以, 1 b,41 a解之得解之得.41 c .432523, 235638, 1622cbabcacba因此有因此有,)1(16124 e22)()()(XXXEeeEeD 得得22224)1(41)1(161 ee.)1(41222 eexxexxeeExxXd)141(d41)()2(4220 ,)1(4122 exxexxeeExxXd)141(d41)(4222022 ).(,.,cos)(YDXYxxxpX的方差的方差求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量其它其它的概率密度為的概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)

42、型隨機(jī)變量2020 解解xxpxXEd)()( 22, 24dcos2022 xxxxxpxXEd)()( 44 204dcosxxx例例4,)()()(22XEXEXD 因?yàn)橐驗(yàn)?2242424316 .2202 ,2431624 2242)()()(XEXEXD 所以所以三、小結(jié)三、小結(jié)1. 方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量X 取值分散程取值分散程度的量度的量. 如果如果D(X)值大值大,表示表示X 取值分散程度大取值分散程度大, E(X) 的代表性差的代表性差; 而如果而如果D(X)值小值小, 則表示則表示X 的的取值比較集中取值比較集中, 以以E(X) 作為隨機(jī)

43、變量的代表性好作為隨機(jī)變量的代表性好.,)()()(22XEXEXD 2. 方差的計(jì)算公式方差的計(jì)算公式,)()(12kkkpXExXD .d)()()(xxpXExXD 23. 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) ).()()(3);()(2; 0)(10200YDXDYXDXDCCXDCD1. 問題的提出問題的提出 那么那么相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量,YX).()()(YDXDYXD 不相互獨(dú)立不相互獨(dú)立和和若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量YX?)( YXD22)()()(YXEYXEYXD ).()(2)()(YEYXEXEYDXD 一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)

44、協(xié)方差協(xié)方差第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)).()(),ov(C),Cov(.)()(,),(YEYXEXEYXYXYXYEYXEXEYX 即即記為記為的協(xié)方差的協(xié)方差與與稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量量量是二維隨機(jī)變量是二維隨機(jī)變量2. 定義定義.)()(),Cov(的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)與與稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量而而YXYDXDYXXY )()(),Cov(YEYXEXEYX )()(YEYEXEXE . 0 相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量YX)3()()(2 )()()(YEYXEXEYDXDYXD ).()(YDXD 相相互互獨(dú)獨(dú)立立和和若若隨隨機(jī)機(jī)變變量量YX)2

45、(),(Cov2)()(YXYDXD 3. 說明說明 .,)1(個(gè)個(gè)無無量量綱綱的的量量它它是是一一協(xié)協(xié)方方差差的的相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)又又稱稱為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)和和YX4. 協(xié)方差的計(jì)算公式協(xié)方差的計(jì)算公式);()()(),Cov()1(YEXEXYEYX ).,Cov(2)()()()2(YXYDXDYXD 證明證明)()(),Cov()1(YEYXEXEYX )()()()(YEXEYXEXYEXYE ).()()(YEXEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE )()()()2(2YXEYXEYXD )()(2YEYXEXE )()(2YEYXEXE )()(22YEYEXEXE

46、).,Cov(2)()(YXYDXD 5. 協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差的性質(zhì) );,Cov(),Cov()1(XYYX ;, ),Cov(),Cov()2(為常數(shù)為常數(shù)baYXabbYaX ).,Cov(),Cov(),Cov()3(2121YXYXYXX 6. 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì). 1)1( XY. 1,1)2( bXaYPbaXY使使存在常數(shù)存在常數(shù)的充要條件是的充要條件是證明證明)(min)1(2,bXaYEeba )()1(2YDXY 0 012 XY. 1 XY.),(),(222121相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)的的與與試求試求設(shè)設(shè)YXNYX解解 2222212121212221212112

47、1yyxxyxp)()()()(exp),(由由,)()( xexpxX21212121.,)()( yeypyY22222221例例1.)(,)(,)(,)(222121YDXDYEXE yxyxpyxYXdd),()(),Cov( 21而而xyeeyxxyxdd)(1212112222121)1(212)(21221 ,1111222 xyt令令,11xu uteutuYXtudd)1(21),Cov(2222122122 teueutudd22222122 tteueutudd212222122,22221 .),Cov(21YX 故有故有.)()(),Cov( YDXDYXXY于是于是

48、結(jié)論結(jié)論;,)1(的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)與與代表了代表了參數(shù)參數(shù)中中二維正態(tài)分布密度函數(shù)二維正態(tài)分布密度函數(shù)YX. )2(相互獨(dú)立相互獨(dú)立與與等價(jià)于等價(jià)于相關(guān)系數(shù)為零相關(guān)系數(shù)為零與與二維正態(tài)隨機(jī)變量二維正態(tài)隨機(jī)變量YXYX.23,21),4 , 0(),3 , 1(,22YXZNNYXXY 設(shè)設(shè)分分別別服服從從已已知知隨隨機(jī)機(jī)變變量量?)3(.)2(.)1(為為什什么么是是否否相相互互獨(dú)獨(dú)立立與與問問的的相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)與與求求的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望和和方方差差求求ZXZXZ解解.16)(, 0)(, 9)(, 1)()1( YDYEXDXE由由)23()(YXEZE 得得)(21)(31YEXE

49、 .31 例例2)2,3Cov(2)2()3()(YXYDXDZD ),Cov(31)(41)(91YXYDXD )()(31)(41)(91YDXDYDXDXY . 3241 )()(21)(31YDXDXDXY . 033 . 0) )()(),Cov( ZDXDZXXY故故:,)3(可可知知立立兩兩者者是是等等價(jià)價(jià)的的結(jié)結(jié)論論關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)為為零零和和相相互互獨(dú)獨(dú)由由二二維維正正態(tài)態(tài)隨隨機(jī)機(jī)變變量量相相.是相互獨(dú)立的是相互獨(dú)立的與與ZX)23,Cov(),Cov()2(YXXZX ),Cov(21),Cov(31YXXX 二、相關(guān)系數(shù)的意義二、相關(guān)系數(shù)的意義1. 相關(guān)系數(shù)的意義相關(guān)系數(shù)的意

50、義.Y,X,XY較密切較密切的線性關(guān)系的線性關(guān)系表明表明較大時(shí)較大時(shí)當(dāng)當(dāng).,線性相關(guān)的程度較差線性相關(guān)的程度較差較小時(shí)較小時(shí)當(dāng)當(dāng)YXXY.YX,0XY不不相相關(guān)關(guān)和和稱稱時(shí)時(shí)定定義義：當(dāng)當(dāng) (1) 不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系2. 注意注意相互獨(dú)立相互獨(dú)立不相關(guān)不相關(guān)(2) 不相關(guān)的充要條件不相關(guān)的充要條件; 0,1o XYYX不相關(guān)不相關(guān); 0),Cov(,2o YXYX不相關(guān)不相關(guān)).()()(,3oYEXEXYEYX 不相關(guān)不相關(guān) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科規(guī)律性的學(xué)科. 隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在

51、相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會呈現(xiàn)出同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會呈現(xiàn)出來來. 也就是說，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然也就是說，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象.一、問題的引入一、問題的引入第四節(jié)第四節(jié) 大數(shù)定律大數(shù)定律 研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對極限定理進(jìn)行研究形式，由此導(dǎo)致對極限定理進(jìn)行研究. 極極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種種:與與大數(shù)定律大數(shù)定律中心極限定理中心極限定理大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性 大數(shù)

52、定律的客觀背景大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的生產(chǎn)過程中的廢品率廢品率大數(shù)定律的定義大數(shù)定律的定義定義定義.|lim,服服從從大大數(shù)數(shù)定定律律則則稱稱隨隨機(jī)機(jī)變變量量序序列列恒恒有有對對任任意意的的如如果果存存在在一一個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)序序列列令令是是隨隨機(jī)機(jī)變變量量序序列列設(shè)設(shè)nnnnnniinnXaYPaaaXnYXXX00121121 二、基本定理二、基本定理（契比雪夫大數(shù)定理契比雪夫大數(shù)定理）有有則則對對于于任任意意正正數(shù)數(shù)并并有有公公共共的的上上界界且且都都具具有有有有限限的的方方差差兩兩兩兩不不相相關(guān)關(guān)設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變

53、量量 ,C)X(D,C)X(D,C)X(D, ,X,X,Xn21n21.)(lim| )(|lim0111111 niiniinniknXEnXnPXEnXP.| )(1|, ,0, , ,| )(1|11成立的概率很小等式不充分大時(shí)當(dāng)即對于任意正數(shù)時(shí)這個(gè)事件的概率趨于當(dāng)明等式表是一個(gè)隨機(jī)事件 niiniiXEnXnnXEnX 證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)工具是切比雪夫不等式工具是切比雪夫不等式. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X有期望有期望E(X)和方差和方差 ，則對于任給則對于任給 0,2 221| )(| XEXP證明證明)( niiniiXDnXnD12111由由

54、契比雪夫不等式契比雪夫不等式可得可得,)()(221111110nCXDXEnXnPniinniinii ，則則在在上上式式中中令令 n.)(0XEn1Xn1Pn1iin1ii 證畢證畢故兩兩不相關(guān)因?yàn)?nXnC關(guān)于定理的說明關(guān)于定理的說明:. )X(En1Xn1X,X ,X , n in1in1iin21 值值的的算算術(shù)術(shù)平平均均接接近近于于它它們們的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望均均的的算算術(shù)術(shù)平平隨隨機(jī)機(jī)變變量量很很大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)（這個(gè)接近是概率意義下的接近這個(gè)接近是概率意義下的接近）即在定理?xiàng)l件下即在定理?xiàng)l件下, n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均, 當(dāng)當(dāng)n無限增加時(shí)無限增加時(shí),差不多不再是

55、隨機(jī)的，幾乎變成一差不多不再是隨機(jī)的，幾乎變成一個(gè)常數(shù)個(gè)常數(shù).切比雪夫大數(shù)定律給出了切比雪夫大數(shù)定律給出了平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述.limlim10 , 0 , , pnPpnPApAnAnAnA或或有有則則對對于于任任意意正正數(shù)數(shù)率率在在每每次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中發(fā)發(fā)生生的的概概是是事事件件的的次次數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)生生次次獨(dú)獨(dú)立立重重復(fù)復(fù)試試驗(yàn)驗(yàn)中中事事件件是是設(shè)設(shè)證明證明引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量 ., 2 , 1, 1, 0kAkAkXk發(fā)生發(fā)生次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中若在第若在第不發(fā)生不發(fā)生次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中若在第若在第（伯努利大數(shù)定理伯努利大數(shù)定理）nAXXX 21顯然顯然是相互獨(dú)立的，是

56、相互獨(dú)立的，因?yàn)橐驗(yàn)? 21nXXX , )10( 分布分布為參數(shù)的為參數(shù)的服從以服從以且且 pXk,)()(,)(21411 kppXDpXEkk所以所以根據(jù)契比雪夫大數(shù)定理有根據(jù)契比雪夫大數(shù)定理有,)(lim0121 pXXXnPnn.lim0 pnPAn即即證畢證畢關(guān)于貝努利定理的說明關(guān)于貝努利定理的說明:. , 表表達(dá)達(dá)了了頻頻率率的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性它它以以嚴(yán)嚴(yán)格格的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)形形式式率率收收斂斂于于事事件件的的概概率率依依概概生生的的頻頻率率貝貝努努利利定定理理表表明明事事件件發(fā)發(fā)pnA 故而當(dāng)故而當(dāng)n很大時(shí)很大時(shí), 事件發(fā)生的頻率與概率有事件發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小較大

57、偏差的可能性很小. 在實(shí)際應(yīng)用中在實(shí)際應(yīng)用中, 當(dāng)試驗(yàn)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)次數(shù)很大時(shí), 便可以用事件發(fā)生的頻率來代替便可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率事件的概率. 貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確定事件貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法概率的方法.蒲豐投針問題中解法的蒲豐投針問題中解法的理論依據(jù)就是大數(shù)定律理論依據(jù)就是大數(shù)定律 當(dāng)投針次數(shù)當(dāng)投針次數(shù)n很大時(shí)，用針與線相交的很大時(shí)，用針與線相交的頻率頻率m/n近似針與線相交的近似針與線相交的概率概率p，從而求得，從而求得的的近似值近似值.針長針長L線距線距aamLn2 下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，

58、不要求隨機(jī)變量的方差存在律，不要求隨機(jī)變量的方差存在. 設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 獨(dú)立同獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期分布，具有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=, i=1,2,， 則對任給則對任給 0 ，定理定理3（辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律）1|1|lim1 niinXnP辛欽辛欽 辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑望值提供了一條實(shí)際可行的途徑.三、典型例題三、典型例題?2111210,22221理理問是否滿足契比雪夫定問是否滿足契比雪夫定具有如下分布律：具有如下分布律：相互獨(dú)立相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量nnnPnanaXXXXnn

59、 解解 獨(dú)立性依題意可知獨(dú)立性依題意可知, 檢驗(yàn)是否具有數(shù)學(xué)期望？檢驗(yàn)是否具有數(shù)學(xué)期望？ )(nXE222n21na)n11(0n21na , 0 例例1說明每一個(gè)隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望說明每一個(gè)隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望,檢驗(yàn)是否具有有限方差？檢驗(yàn)是否具有有限方差？222222211121)(0)(nnnPnanaXn )(2nXE22221)(2anna )(nXD22 )()(nnXEXE ,2a 說明離散型隨機(jī)變量有有限方差說明離散型隨機(jī)變量有有限方差,故滿足契比雪夫定理的條件故滿足契比雪夫定理的條件.假設(shè)一批種子的良種率為假設(shè)一批種子的良種率為 ，從中任意選出，從中任意選出600600粒，試

60、用切比曉夫（粒，試用切比曉夫（ChebyshevChebyshev）不等式估計(jì)：）不等式估計(jì)：這這600600粒種子中良種所占比例與粒種子中良種所占比例與1/61/6之差的絕對值之差的絕對值不超過不超過0.020.02的概率。的概率。02. 0600100-X P02. 061600X P .6561600DX ,61600 EX 由切比曉夫不等式有61例例2 24213. 01446561600112112100-XP2DX四、小結(jié)四、小結(jié)契比雪夫大數(shù)定理契比雪夫大數(shù)定理伯努利大數(shù)定理伯努利大數(shù)定理頻率的穩(wěn)定性是概率定義的客觀基礎(chǔ)頻率的穩(wěn)定性是概率定義的客觀基礎(chǔ), , 而伯而伯努利大數(shù)定理以