量子力學(xué)練習(xí)二解答

1、量子力學(xué)練習(xí)二解答1解：一維無限深勢阱中，粒子處于第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)為 2(x)=2x a0*2 （1）粒子坐標(biāo)的平均值：=(x)x2(x)dx=a02aa022xxsinaadx=2x2=02(x)x2(x)dx=*22a22x2xsina112dx=a- 238x= （2）動量的平均值：=02(x)dx=2(x)p*02(x) -i*d2(x)dx=0 dxp=202(x)p*22(x)dx=02d22(x) - 2dx*(2x)dx=4 a222p=2 a（3）xp=0.887 2，滿足測不準(zhǔn)關(guān)系（4）根據(jù)粒子在坐標(biāo)表象中的波函數(shù)2(x)與在動量表象中的波函數(shù)2(p)滿足付里葉變換，可得

2、動量分布為2(p)=a0a02(x)exp(-ipx/ )dx=a02xaexp(-ipx/ )dx2xsin aexpipx )/dx(-expipx )/(-ai 2x=sin pa2-2aa0x2c aaexipp x)(-/xd/xd2i x2=-cos apa2expipx )/(-+022aa0a02xs aexipp x)(-2i 2i =-exp-ipa/ -1-() apap2xsinaexp(-ipx/ )dxa02xsina2i exp-ipx/ dx=-() exp(-ipa)-1ap2i 1+ ap故動量分布2(p)=-=i exp(-ipa/ )-1p2i 1+ a

3、ppa-4exp(-ipa/ )-1幾率分布為 2(p)=2解：依題意xa5(x)=0 由定態(tài)Schrodinger方程可得 -ax-bd16a32(pa-422)2pasin 2 dx2(x)+2(x)=0222mE= 2-bxbd22dxd3(x)+3(x)=022m(V0-E)= 222mE= 2bx0x0dx2(x)+k2(x)=02在x0區(qū)域，只存在透射波，故波函數(shù)取為 2(x)=Ceikx反射系數(shù)R=jrji=BA2在x=0處，1(0)=2(0)i A+B=C iA-2d1dxx=0=d2dxx=0故BAB=ik C 由此可得：222=-k+k反射系數(shù)R=jrji=BA=(-k)+

4、k)=V044解：荷電q的諧振子在電場作用下的勢能為-qx，故系統(tǒng)的Hamilton量為 H=122+ mx-qx 2m2p2變?yōu)镠amilton算符為d112222H=+ mx-qx=-+mx-qx 22m22mdx22p22定態(tài)Schrodinger方程為-2d2n(x)22mdx122+ mx-qx2n(x)=Enn(x)整理得-2dn(x)22mdxqm2222q12q+m x-n(x)=En+m n(x) 222m2m12令x0=22，上式變?yōu)?22-dn(x)dx22m+m2(x-x0)n(x)=122122E+mx0n(x) n2=En+令x=x-x0，Enmx0，則有22-2dn(x)22mdx2+12n(x) mxn(x)=En2和一維線性諧振子方程相同，利用結(jié)論可得： 本征值為=En+En11112222mx0= n+ En= n+ -mx02222n=0,1,2,本征函數(shù)為n(x)=Ane-x222Hn(x)n(x)=Ane-2(x-x0)22Hn(x-x0)=5諧振子基態(tài)波函數(shù)為 0(x)=由此可得 =x=21/4e-x/222=+-+n(x)xn(x)dx=*21/2+-xe-x22dx=02-n(x)xn(x)dx=1/2+-xe2-x2dx=122x=+-n(x)dx=(x)p*n1/2+-e-x/222d