高階譜非高斯有色噪聲中的諧波恢復(fù)

1、第6章 非高斯有色噪聲中的諧波恢復(fù)問(wèn)題（） 本章研究具有非對(duì)稱(chēng)分布的非高斯ARMA有色噪聲中的諧波恢復(fù)問(wèn)題。通過(guò)分析諧波信號(hào)和非高斯有色噪的三階累積量特性，提出了基于二階、三階累積量的混合SVD-TLS方法(Second-and Third-order Cumulant-based Hybrid SVD-TLS，我們稱(chēng)作STCH-SVD-TIS)以及混合ESPRIT方法(STCH-ESPRIT)。即先由有噪觀測(cè)過(guò)程的三階累積量估計(jì)噪聲模型AR部分參數(shù)，然后由AR多項(xiàng)式對(duì)有噪觀測(cè)值進(jìn)行預(yù)濾波，最后利用濾波輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)并結(jié)合高分辨率譜估計(jì)方法(如SVD-TLS，ESPRIT)來(lái)估計(jì)諧波參數(shù)

2、。本章還通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這兩種方法的有效性和高分辨率。6.1 概述 我們知道，在現(xiàn)有的有色噪聲中的諧波恢復(fù)方法中，主要有系統(tǒng)辨識(shí)方法（包括最大似然(ML)法、廣義最小二乘(GLS)法和迭代逆濾波(ITIF)法、噪聲模型假設(shè)(如MA噪聲模型假設(shè)法和AR噪聲模型假設(shè)法)以及四階累積量法。綜合考查上述各類(lèi)方法，系統(tǒng)辨識(shí)方法和噪聲模型假設(shè)法必須預(yù)知噪聲的模型結(jié)構(gòu)，然而至今不存在著任何可用于建立噪聲模型的有效方法；同時(shí)，背景噪聲必須為高斯噪聲(MA噪聲模型假設(shè)法和AR噪聲模型假設(shè)法除外），因?yàn)橹挥性诟咚辜僭O(shè)下，上述方法的估計(jì)結(jié)果才能得到最小二乘估計(jì)。四階累積量方法盡管不需要假定噪聲模型，但它僅適

3、用于高斯背景噪聲情形，當(dāng)然這也是該類(lèi)方法的最大優(yōu)點(diǎn)。由此可以得出這樣一個(gè)結(jié)論：現(xiàn)有的有色噪聲中的諧波恢復(fù)方法絕大多數(shù)都是在噪聲的高斯假設(shè)下進(jìn)行研究的。盡管MA噪聲模型假設(shè)法也可用于非高斯噪聲情形，但由于MA模型用于具有尖銳譜峰的噪聲模型描述時(shí)，往往需要很高的階次，況且模型的階次無(wú)法確定。因此有必要研究一般非高斯ARMA有色噪聲中的諧波恢復(fù)方法。 在實(shí)際應(yīng)用中，有色的非高斯噪聲環(huán)境在聲納系統(tǒng)和信號(hào)檢測(cè)中常常遇到，而具有非對(duì)稱(chēng)分布的非高斯噪聲是一種很常見(jiàn)的情形，如指數(shù)分布、威布爾分布等，因此，研究具有非對(duì)稱(chēng)分布的非高斯噪聲中的諧波恢復(fù)方法具有廣泛的應(yīng)用前景。本章首先分析了諧波信號(hào)和非高斯有色噪聲的

4、三階累積量特性，由于諧波信號(hào)的三階累積量恒等于零，而具有非對(duì)稱(chēng)分布的非高斯ARMA有色噪聲的三階累積量不等于零。因此，利用有噪觀測(cè)值的三階累積量可以建立非高斯ARMA噪聲的模型參數(shù)。由于有噪觀測(cè)值經(jīng)噪聲模型的AR多項(xiàng)式濾波后得到的濾波輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)和諧波信號(hào)預(yù)測(cè)模型的AR參數(shù)正好滿(mǎn)足一組特殊的修正Yule-Walker(MYW)方程，因此，基于自相關(guān)的高分辨率方法都可以用來(lái)確定模型的參數(shù)?；谶@一點(diǎn)，本章提出了STCH-SVD-TLS方法和STCH-ESPRIT方法，前者通過(guò)求解線性方程組的解來(lái)實(shí)現(xiàn)，后者通過(guò)求解矩陣對(duì)的廣義特征值來(lái)實(shí)現(xiàn)。6.2 模型假設(shè)設(shè)零均值有噪觀測(cè)值為 (6.1)其

5、中，可以是復(fù)數(shù)諧波信號(hào) (6.2)也可以是實(shí)數(shù)諧波信號(hào) (6.3)這里，為諧波數(shù)目，分別為第個(gè)諧波分量的幅度、歸一化頻率和隨機(jī)初始相位，為獨(dú)立地服從同一分布的隨機(jī)變量，且在上服從均勻分布。 設(shè)附加噪聲為非高斯過(guò)程，即 (6.4)或 (6.5)其中，為后移因子，。 對(duì)于噪聲模型，假設(shè)(AS1) 噪聲模型的傳遞函數(shù)（單位沖激響應(yīng)為）是指數(shù)穩(wěn)定的，且不存在著零、極點(diǎn)相消；(AS2)為零均值、平穩(wěn)的獨(dú)立同分布非高斯白噪聲，且的方差和均未知；(AS3) 與相互獨(dú)立。條件(AS2)意味著為零均值且具有非對(duì)稱(chēng)分布的非高斯過(guò)程。由于諧波信號(hào)為零均值，因此，有噪觀測(cè)過(guò)程也為零均值。本章的目的就是由有噪觀測(cè)值估計(jì)

6、諧波信號(hào)參數(shù)。6.3 噪聲模型的建立6.3.1有噪觀測(cè)過(guò)程的三階累積量 定理6.1 在假設(shè)（AS1）（AS3）下，式(6.1)中有噪觀測(cè)過(guò)程的三階累積量恒等于噪聲過(guò)程的三階累積量，即 (6.6) 實(shí)際上，由于與相互獨(dú)立，并考慮到與均為零均值，于是 (6.7)而由定理5.1可知，諧波信號(hào)的三階累積量恒等于零，即，于是式(6.6)成立。6.3.2 噪聲模型的建立由條件(AS2)可知，于是由式(1.38)得到，即。這樣利用4.6節(jié)基于三階累積量的SVD-TLS方法可以估計(jì)非高斯噪聲模型式(6.4)的階次和參數(shù)，考慮到本章方法僅利用噪聲模型的AR部分參數(shù)，因此只須確定AR階次及參數(shù)即可。有關(guān)算的具體步

7、驟參見(jiàn)4.6節(jié)，這里不加詳述。6.4 STCH-SVD-TLS方法6.4.1 預(yù)濾波處理式(6.1)兩邊同乘以并利用式(6.5)，有 (6.8)記 (6.9) (6.10) (6.11) (6.12)稱(chēng)為濾波輸出過(guò)程，為濾波諧波信號(hào)。注意到為一個(gè)非高斯噪聲過(guò)程，其自相關(guān)函數(shù)為 (6.13)上式中利用了僅在內(nèi)取值這一特性，因此當(dāng)延時(shí)大于階次時(shí)的自相關(guān)函數(shù)全為零?？紤]到與相互獨(dú)立，因而與、均相互獨(dú)立，由式(6.12)得到： (6.14)6.4.2 特殊的修正Yule-Walker(MYW)方程 我們知道，復(fù)數(shù)諧波信號(hào)滿(mǎn)足具有零輸入的特殊模型 (6.15)其中，且多項(xiàng)式 (6.16)的根為。模型參數(shù)

8、滿(mǎn)足Yule-Walker(YW)方程，對(duì)任意 (6.17)現(xiàn)在討論濾波輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與諧波信號(hào)預(yù)測(cè)模型參數(shù)之間的關(guān)系由式(6.14)得 (6.18)對(duì)于濾波諧波信號(hào)，由式(6.10)得到 (6.19)即 (6.20) 于是 (6.21)上式第二個(gè)等式利用了式(6.17)。結(jié)合式(6.18)和(6.21)，有 (6.22)如果上式中取，則上式右端中的延時(shí)均大于過(guò)程的階次，于是由式(6. 13)和(6.22)可以直接得到 (6.23)上式就是基于濾波輸出過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的特殊的修正Yule-Walker方程我們作如下討論：1. 對(duì)于實(shí)數(shù)諧波信號(hào)(式(6.3) )，式(6.23) 變?yōu)?(6.

9、24)2. 式(6.23)表明，濾波輸出過(guò)程可以看成一過(guò)程的輸出，其參數(shù)與諧波信號(hào)的預(yù)測(cè)模型的參數(shù)相同。而有噪觀測(cè)過(guò)程卻不是，因?yàn)?(6.25)3. 由式(5.24)可知，若為白噪聲，則的自相關(guān)函數(shù)滿(mǎn)足 (6.26)可以看出，上式只是式(6.23)的一個(gè)特例，因?yàn)槿绻麨榘自肼?，則, ,于是這樣式(6.23)簡(jiǎn)化為式(6.26)。6.4.3 STCHSVDTLS方法：諧波數(shù)目及諧頻率的估計(jì)對(duì)于一般的過(guò)程，盡管我們通常事先不知道階次和，但可以選取一組較大的和，并利用修正Yule-Walker方程來(lái)辨識(shí)模型的參數(shù)。引理6.1 對(duì)于過(guò)程，選擇、和，則的自相關(guān)函數(shù)構(gòu)造的矩陣，即 (6.27)的秩為p。如

10、果采樣自相關(guān)代替，這時(shí)構(gòu)造的矩陣的有效秩為p。清楚地，引理6.1也可用于過(guò)程，只需令且即可。若選擇，則條件滿(mǎn)足，于是式(6.27)中若用代替，并取，則的有效秩為p。采用6.4節(jié)中介紹的SVD-TLS方法即可以確定的有效秩及低階AR參數(shù)。由于SVD-TLS方法是一種數(shù)值計(jì)算的魯棒性方法，因而它可以明顯而有效地改善AR參數(shù)估計(jì)性能。至此，我們把STCH-SVD-TLS方法歸納如下步驟：1. 利用觀測(cè)值估計(jì)三階累積量取，由4.6節(jié)方法構(gòu)造累積量矩陣，對(duì)作SVD確定有效秩，然后利用SVD-TLS方法估計(jì)非高斯ARMA噪聲過(guò)程的AR部分參數(shù).2. 利用式(6.9)對(duì)濾波，得到濾波輸出過(guò)程3. 計(jì)算濾波輸

11、出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)，并在式(6.27)中用代替構(gòu)造采樣自相關(guān)矩陣。對(duì)進(jìn)行SVD分解，確定其有效秩（設(shè)為P），然后利用SVD-TLS方法估計(jì)AR參數(shù)。4. 尋找AR多項(xiàng)式(6.16)的根，并計(jì)算諧波頻率 (6.28)由于該方法同時(shí)利用了二階和三階累積量，故稱(chēng)之為基于二階和三階累積量的混合SVD-TLS方法（STCH-SVD-TLS）。6.4.4 諧波幅度的估計(jì)1. 復(fù)數(shù)諧波信號(hào)情形結(jié)合式(6.14)和(6.20)，并考慮到為實(shí)數(shù)，有 (6.29) (6.30)這里，記 (6.31) FS=r (6.32)其中于是得到關(guān)于的估計(jì) (6.33)2. 實(shí)數(shù)諧波信號(hào)情形對(duì)于實(shí)數(shù)諧波信號(hào) (6.34)其中

12、 (6.35) 類(lèi)似地，令式(6.34)中得到矩陣方程 (6.36)其中 于是得到關(guān)于的估計(jì) (6.37)6.5 STCH-ESPRIT本節(jié)研究利用濾波輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)確定諧波頻率和幅度的STCH-ESPRIT方法。我們知道，經(jīng)典的自相關(guān)ESPRIT方法包括兩大步驟：矩陣對(duì)的構(gòu)造和矩陣對(duì)廣義特征值的求解。因此，STCH-ESPRIT方法同樣也包括這兩步。6.5.1 矩陣對(duì)的構(gòu)造設(shè)，并取，構(gòu)造下列維向量 (6.38) (6.39) (6.40)并記 (6.41) (6.42)則由式(6.12)可得 (6.43) (6.44) (6.45)下面考查復(fù)數(shù)濾波信號(hào)向量。設(shè)諧波信號(hào)向量為 (6.46

13、)則可以表示為 (6.47)其中(6.48) (6.49)而向量 (6.50)可以表示成 (6.51)其中，旋轉(zhuǎn)因子矩陣，表示矩陣的次連乘。由式(6.10)可知 (6.52)類(lèi)似地，有 (6.53)若記 則上面兩式可簡(jiǎn)化為 (6.54) (6.55)這樣，式(6.43)至式(6.45) 即為 (6.56) (6.57) (6.58)由于與相互獨(dú)立且均為零均值，所以與的互相關(guān)矩陣為 (6.59)考慮到 (6.60)且 (6.61)上式利用了和式(6.13)。于是 (6.62)類(lèi)似地，與的互相關(guān)矩陣為 (6.63)若記 (6.64)則 (6.65) (6.66)而實(shí)際上 (6.67) (6.68)

14、其中，。至此，基于濾波輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)矩陣對(duì)已經(jīng)構(gòu)造完成。6.5.2 STCH-ESPRIT方法1. 諧波數(shù)目和諧波頻率的估計(jì)定理6.2 設(shè)為矩陣的廣義特征矩陣，為非奇異矩陣，則旋轉(zhuǎn)因子矩陣與有如下關(guān)系（只須的對(duì)角線元素作適當(dāng)調(diào)整） (6.69) 證明：由于，且，所以?？紤]到噪聲模型是指數(shù)穩(wěn)定的，于是不存在單位圓上的極點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，故是維非奇異對(duì)角陣，又由于和均為維非奇異對(duì)角陣，所以也是維非奇異對(duì)角陣，于是的秩為。 考查下列矩陣束 (6.70)由于與的行空間相同，所以，通常情況下，的秩為。如果，則的第列為零，這樣 (6.71)即矩陣束的秩降為，由廣義特征值的定義可知，實(shí)際上就是矩陣對(duì)的廣義特

15、征值。又由于矩陣對(duì)中的兩個(gè)矩陣描述的是同一個(gè)空間，它們的共同零空間對(duì)應(yīng)的廣義特征值必為零，因此，矩陣對(duì)的個(gè)廣義特征位于單位圓上，并與旋轉(zhuǎn)因子矩陣的對(duì)角線元素相等，而其余個(gè)廣義特征值位于原點(diǎn)。2. 諧波幅度的估計(jì) 重新考查矩陣，由于 (6.72) (6.73) (6.74) (6.75)式(6.74)中考慮了為實(shí)數(shù)這一事實(shí)。所以若令 (6.76)則 (6.77) 設(shè)是矩陣對(duì)對(duì)應(yīng)于廣義特征值的廣義特征向量，則 (6.78) 由于矩陣束的行空間與由中列向量,描述的子空間相同，因此向量與所有向量(除外)都正交，即 (6.79) (6.80) 由式(6.78)得 (6.81) 由于 (6.82)上式中利用了。于是結(jié)合式(6.81)和(6.82)，有 (6.83) STCH-ESPRIT方法的步驟 STCH-ESPRIT方法可歸納為如下的步驟： 1. 由給定的觀測(cè)值計(jì)算三階累積量的估計(jì),選取正整數(shù)和，由4.6節(jié)方法構(gòu)造累積量矩陣； 2. 對(duì)進(jìn)行奇異值分解(SVD)得到有效秩，并利用SVD-TLS方法估計(jì)非高斯噪聲過(guò)程的AR部分參數(shù)； 3. 利用估計(jì)的參數(shù)由式(6.