高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題總結(jié)歸納

1、高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題類型一：圓的方程例1 求過兩點(diǎn)、且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)與圓的關(guān)系分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，只須看點(diǎn)與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外；若距離等于半徑，則點(diǎn)在圓上；若距離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi)解法一：（待定系數(shù)法）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓心在上，故 圓的方程為又該圓過、兩點(diǎn) 解之得：，所以所求圓的方程為解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）因?yàn)閳A過、兩點(diǎn)，所以圓心必在線段的垂直平分線上，又因?yàn)椋实男甭蕿?，又的中點(diǎn)為，故的垂直平分線的方程為：即又知圓心在直線上，故圓心坐標(biāo)為半徑 故所求圓

2、的方程為又點(diǎn)到圓心的距離為 點(diǎn)在圓外說明：本題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個(gè)關(guān)鍵的量，然后根據(jù)圓心與定點(diǎn)之間的距離和半徑的大小關(guān)系來判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若將點(diǎn)換成直線又該如何來判定直線與圓的位置關(guān)系呢？類型二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程例5已知圓，求過點(diǎn)與圓相切的切線解：點(diǎn)不在圓上，切線的直線方程可設(shè)為根據(jù) 解得所以 即 因?yàn)檫^圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在易求另一條切線為說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補(bǔ)回漏掉的解本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決（也要注意漏解）還可以運(yùn)用，求出

3、切點(diǎn)坐標(biāo)、的值來解決，此時(shí)沒有漏解類型三：弦長、弧問題例9、直線截圓得的劣弧所對(duì)的圓心角為 解：依題意得，弦心距，故弦長，從而OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對(duì)的圓心角為.類型四：直線與圓的位置關(guān)系.例13 圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)？分析：借助圖形直觀求解或先求出直線、的方程，從代數(shù)計(jì)算中尋找解答解法一：圓的圓心為，半徑設(shè)圓心到直線的距離為，則如圖，在圓心同側(cè)，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意又與直線平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意符合題意的點(diǎn)共有3個(gè)解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的交點(diǎn)設(shè)所求直線為，則，即，或，也即

4、，或設(shè)圓的圓心到直線、的距離為、，則，與相切，與圓有一個(gè)公共點(diǎn)；與圓相交，與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)即符合題意的點(diǎn)共3個(gè)說明：對(duì)于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：設(shè)圓心到直線的距離為，則圓到距離為1的點(diǎn)有兩個(gè)顯然，上述誤解中的是圓心到直線的距離，只能說明此直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，而不能說明圓上有兩點(diǎn)到此直線的距離為1到一條直線的距離等于定值的點(diǎn)，在與此直線距離為這個(gè)定值的兩條平行直線上，因此題中所求的點(diǎn)就是這兩條平行直線與圓的公共點(diǎn)求直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系來判斷，即根據(jù)圓心與直線的距離和半徑的大小比較來判斷類型五：圓與圓的位置關(guān)系例15：圓和圓的公切線共有 條。解：圓的圓心為，半

5、徑，圓的圓心為，半徑，.，兩圓相交.共有2條公切線。類型六：圓中的對(duì)稱問題GOBNMyAx圖3CA例17自點(diǎn)發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，反射光線所在的直線與圓相切（1）求光線和反射光線所在的直線方程（2）光線自到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程分析、略解：觀察動(dòng)畫演示，分析思路根據(jù)對(duì)稱關(guān)系，首先求出點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，其次設(shè)過的圓的切線方程為根據(jù)，即求出圓的切線的斜率為 或進(jìn)一步求出反射光線所在的直線的方程為或最后根據(jù)入射光與反射光關(guān)于軸對(duì)稱，求出入射光所在直線方程為或光路的距離為，可由勾股定理求得說明：本題亦可把圓對(duì)稱到軸下方，再求解類型七：圓中的最值問題例19(1)已知圓，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大、最小值

6、(2)已知圓，為圓上任一點(diǎn)求的最大、最小值，求的最大、最小值分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決解：(1)(法1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)圓的參數(shù)方程為（是參數(shù)）則（其中）所以，(法2)圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值等于圓心到原點(diǎn)的距離加上半徑1，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值等于圓心到原點(diǎn)的距離減去半徑1所以所以(2) (法1)由得圓的參數(shù)方程：是參數(shù)則令，得，所以，即的最大值為，最小值為此時(shí)所以的最大值為，最小值為(法2)設(shè)，則由于是圓上點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，如圖所示，兩條切線的斜率分別是最大、最小值由，得所以的最大值為，最小值為令，同理兩條切線在軸上的截距分

7、別是最大、最小值由，得所以的最大值為，最小值為類型九：圓的綜合應(yīng)用例25、 已知圓與直線相交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值分析：設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)為、，則由，可得，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解或因?yàn)橥ㄟ^原點(diǎn)的直線的斜率為，由直線與圓的方程構(gòu)造以為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出的值，從而使問題得以解決解法一：設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)為、一方面，由，得，即，也即：另一方面，、是方程組的實(shí)數(shù)解，即、是方程的兩個(gè)根，又、在直線上，將代入，得將、代入，解得，代入方程，檢驗(yàn)成立，解法二：由直線方程可得，代入圓的方程，有，整理，得由于，故可得，是上述方程兩根故得，解得經(jīng)檢驗(yàn)可知為所求 說明：求解本題時(shí)，應(yīng)避免去求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)的具體數(shù)值除此之外，還應(yīng)對(duì)求出的值進(jìn)行必要的檢驗(yàn)，這是因?yàn)樵谇蠼膺^程中并沒有確保有交點(diǎn)、存在解法一顯示了一種解這類題的通法，解法二的關(guān)鍵在于依據(jù)直線方程構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于的二次齊次方程，雖有規(guī)律可循，但需一定的變形技巧，同時(shí)也可看出，這種方法給人以一種淋漓酣暢，一氣呵成之感例26、已知對(duì)于圓上任一點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍分析一：為了使不等式恒成立，即使恒成立，只須使就行了因此只要求出的最小值，的范圍就可求得解法一：令，由得：且，即，即又恒成立即恒成立成立，分析二：設(shè)圓上一點(diǎn)因?yàn)檫@時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程問題轉(zhuǎn)化為利用