高中物理奧賽常用數(shù)學公式

1、高中物理奧賽常用數(shù)學公式一、等差、等比數(shù)列1定義：2.公式(1)通項 (2)前n項和 也是等差數(shù)列二.數(shù)列求和 (1)(2) 三、三角公式1、 和差角公式2、 倍角公式 萬能公式3、 半角公式，升降冪公式4、積化和差，和差化積公式（2）正弦定理 (R是外接圓半徑)（3）余弦定理 （4）其中為半周長四、重要不等式123五、球1、2、球面距離（是徑度差）3、球內(nèi)接長方體 側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐補形長方體球內(nèi)接長方體4、體積 多面體內(nèi)切球半徑 ： 六、二項式定理（1）（2）七、導數(shù)1二、運算法則：三、導數(shù)公式（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）8、設(shè)三角形ABC的外心為O，垂心為H

2、，從O向BC邊引垂線，設(shè)垂足不L，則AH=2OL 中考不需要，競賽中很顯然的結(jié)論 9、三角形的外心，垂心，重心在同一條直線上。 高中競賽中非常重要的定理，稱為歐拉線10、(九點圓或歐拉圓或費爾巴赫圓)三角形中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上， 高中競賽中的常用定理11、歐拉定理：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線(歐拉線)上 高中競賽中會用，不常用12、庫立奇*大上定理：(圓內(nèi)接四邊形的九點圓) 圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的

3、九點圓。 高中競賽的題目，不用掌握13、(內(nèi)心)三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點，內(nèi)切圓的半徑公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss為三角形周長的一半 重要 14、(旁心)三角形的一個內(nèi)角平分線和另外兩個頂點處的外角平分線交于一點 重要15、中線定理：(巴布斯定理)設(shè)三角形ABC的邊BC的中點為P，則有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 初中競賽需要，重要16、斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC內(nèi)分成m:n，則有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 高中競賽需要，重要17、波羅摩及多定理：圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線互相垂直時，連接AB中點M

4、和對角線交點E的直線垂直于CD 顯然的結(jié)論，不需要掌握18、阿波羅尼斯定理：到兩定點A、B的距離之比為定比m:n(值不為1)的點P，位于將線段AB分成m:n的內(nèi)分點C和外分點D為直徑兩端點的定圓周上 高中競賽需要，重要19、托勒密定理：設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則有AB×CD+AD×BC=AC×BD 初中競賽需要，重要 20、以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別向外作底角都是30度的等腰BDC、CEA、AFB，則DEF是正三角形， 學習復數(shù)后是顯然的結(jié)論，不需要掌握21、愛爾可斯定理1：若ABC和三角形都是正三角形，則由線段AD、BE、CF的重心構(gòu)成

5、的三角形也是正三角形。 不需要掌握22、愛爾可斯定理2：若ABC、DEF、GHI都是正三角形，則由三角形ADG、BEH、CFI的重心構(gòu)成的三角形是正三角形。 不需要掌握23、梅涅勞斯定理：設(shè)ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c的直線的交點分別為P、Q、R則有 BPPC×CQQA×ARRB=1 初中競賽需要，重要 24、梅涅勞斯定理的逆定理：(略) 初中競賽需要，重要 25、梅涅勞斯定理的應用定理1：設(shè)ABC的A的外角平分線交邊CA于Q、C的平分線交邊AB于R，、B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點共線。 不用掌握26、梅涅勞斯定理的應用定理2：

6、過任意ABC的三個頂點A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于點P、Q、R，則P、Q、R三點共線 不用掌握27、塞瓦定理：設(shè)ABC的三個頂點A、B、C的不在三角形的邊或它們的延長線上的一點S連接面成的三條直線，分別與邊BC、CA、AB或它們的延長線交于點P、Q、R，則BPPC×CQQA×ARRB()=1. 初中競賽需要，重要28、塞瓦定理的應用定理：設(shè)平行于ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點分別是D、E，又設(shè)BE和CD交于S，則AS一定過邊BC的中心M 不用掌握 29、塞瓦定理的逆定理：(略) 初中競賽需要，重要30、塞瓦定理的逆定理的應用定

7、理1：三角形的三條中線交于一點 這個定理用塞瓦定理來證明將毫無幾何美感，應該用中位線證明才漂亮31、塞瓦定理的逆定理的應用定理2：設(shè)ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點R、S、T，則AR、BS、CT交于一點。 不用掌握32、西摩松定理：從ABC的外接圓上任意一點P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，(這條直線叫西摩松線) 初中競賽的常用定理33、西摩松定理的逆定理：(略) 初中競賽的常用定理34、史坦納定理：設(shè)ABC的垂心為H，其外接圓的任意點P，這時關(guān)于ABC的點P的西摩松線通過線段PH的中心。 不用掌握35、史坦納定理的應用定理：A

8、BC的外接圓上的一點P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對稱點和ABC的垂心H同在一條(與西摩松線平行的)直線上。這條直線被叫做點P關(guān)于ABC的鏡象線。 不用掌握 36、波朗杰、騰下定理：設(shè)ABC的外接圓上的三點為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于ABC交于一點的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2). 不用掌握 37、波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為ABC的外接圓上的三點，若P、Q、R關(guān)于ABC的西摩松線交于一點，則A、B、C三點關(guān)于PQR的的西摩松線交于與前相同的一點 不用掌握 38、波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點是A、B、C、P、Q、R六點任取三點所作的三角形

9、的垂心和其余三點所作的三角形的垂心的連線段的中點。 不用掌握39、波朗杰、騰下定理推論3：考查ABC的外接圓上的一點P的關(guān)于ABC的西摩松線，如設(shè)QR為垂直于這條西摩松線該外接圓珠筆的弦，則三點P、Q、R的關(guān)于ABC的西摩松線交于一點 不用掌握40、波朗杰、騰下定理推論4：從ABC的頂點向邊BC、CA、AB引垂線，設(shè)垂足分別是D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點在同一個圓上，這時L、M、N點關(guān)于關(guān)于ABC的西摩松線交于一點。 不用掌41、關(guān)于西摩松線的定理1：ABC的外接圓的兩個端點P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上。 不用

10、掌握42、關(guān)于西摩松線的定理2(安寧定理)：在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其余一點的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點。 不用掌握43、卡諾定理：通過ABC的外接圓的一點P，引與ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線。44、奧倍爾定理：通過ABC的三個頂點引互相平行的三條直線，設(shè)它們與ABC的外接圓的交點分別是L、M、N，在ABC的外接圓取一點P，則PL、PM、PN與ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線 不用掌握45、清宮定理：設(shè)P、Q為ABC

11、的外接圓的異于A、B、C的兩點，P點的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線 不用掌46、他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于ABC的外接圓的一對反點，點P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別為ED、E、F，則D、E、F三點共線。(反點：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點，如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點關(guān)于圓O互為反點) 不用掌握47、朗古來定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點，以其中任三

12、點作三角形，在圓周取一點P，作P點的關(guān)于這4個三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上。 不用掌握48、九點圓定理：三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點連結(jié)三角形各頂點與垂心所得三線段的中點九點共圓通常稱這個圓為九點圓nine-point circle,或歐拉圓,費爾巴哈圓. 上面已經(jīng)有、一個圓周上有n個點，從其中任意n-1個點的重心，向該圓周的在其余一點處的切線所引的垂線都交于一點。 不用掌握50、康托爾定理1：一個圓周上有n個點，從其中任意n-2個點的重心向余下兩點的連線所引的垂線共點。不用掌握51、康托爾定理2：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N兩

13、點，則M和N點關(guān)于四個三角形BCD、CDA、DAB、ABC中的每一個的兩條西摩松的交點在同一直線上。這條直線叫做M、N兩點關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線。 不用掌握52、康托爾定理3：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N、L三點，則M、N兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線交于一點。這個點叫做M、N、L三點關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點。 不用掌握53、康托爾定理4：一個圓周上有A、B、C、D、E五點及M、N、L三點，則M、N、L三點關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點在一條直線上。這

14、條直線叫做M、N、L三點關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線。 不用掌握54、費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切。 不用掌握 55、莫利定理：將三角形的三個內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構(gòu)成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。 這是我認為的平面幾何中最漂亮最神奇的幾個定理之一，但不用掌握 56、牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三條共線。這條直線叫做這個四邊形的牛頓線。 高中競賽中常57、牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線。 不用掌握58、笛沙格定理1：平面上有兩個三角形ABC、DEF，設(shè)它們的對應頂點(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線。 高中競賽中偶爾會用59、笛