第2章特殊三角形1

1、(一) 等腰三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形的性質(zhì)與判定 1.性質(zhì)性質(zhì)(1)：等腰三角形的兩個底角相等。：等腰三角形的兩個底角相等。(2)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。底邊上的高互相重合。2.判定判定定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形。定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形。判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。形。等邊三角形: 1 , 三個角都相等的三角形是等邊三角形。 2 , 有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形。(一一)v等腰三角形性質(zhì)與判定的應(yīng)用（1）計算角的度數(shù)利用等腰

2、三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理及推論計算角的度數(shù)，是等腰三角形性質(zhì)的重要應(yīng)用。已知角的度數(shù)，求其它角的度數(shù)已知條件中有較多的等腰三角形（此時往往設(shè)法用未知數(shù)表示圖中的角，從中得到含這些未知數(shù)的方程或方程組）（2）證明線段或角相等v以等腰三角形為條件時的常用輔助線:v如圖：若AB=ACv作ADBC于D，必有結(jié)論:1=2，BD=DCv若BD=DC，連結(jié)AD，必有結(jié)論：1=2，ADBCv作AD平分BAC必有結(jié)論：ADBC，BD=DCv作輔助線時，一定要作滿足其中一個性質(zhì)的輔助線，然后證出其它兩個性質(zhì)，不能這樣作：作ADBC，使1=2.ABCD1 2分析分析：我們首先在草稿上畫好一個示意圖，然后對

3、照此圖寫出已知和我們首先在草稿上畫好一個示意圖，然后對照此圖寫出已知和求作并構(gòu)思整個作圖過程求作并構(gòu)思整個作圖過程已知：線段已知：線段a、h求作：求作：ABC，使，使AB=AC=a，高，高AD=h作法：作法：1、作、作PQMN，垂足為，垂足為D2、在、在DM上截取上截取DA=h3、以點、以點A為圓心，以為圓心，以a為半徑作弧，為半徑作弧，交交PQ于點于點B、C4、連結(jié)、連結(jié)AB、AC則則ABC為所求的三角形。為所求的三角形。ABCDahABCDMNhaPQv例例1 已知一腰和底邊上的高，求作等腰三角形。已知一腰和底邊上的高，求作等腰三角形。例例2.如圖，已知在如圖，已知在ABC中，中，AB=A

4、C，BDAC于于D，CEAB于于E，BD與與CE相交于相交于M點。求證：點。求證：BM=CM。v證明：證明：AB=ACvABC=ACB（等邊對等（等邊對等角）角）vBDAC于于D，CEAB于于EvBEC=CDB=90v1+ACB=90，2+ABC=90（直角三角（直角三角形兩個銳角互余）形兩個銳角互余）v1=2（等角的余角相等）（等角的余角相等）vBM=CM（等角對等邊）（等角對等邊）ABCD12EM說明：本題易習(xí)慣性地用全等來證明，雖然也可以證明，但過程較復(fù)雜，應(yīng)當(dāng)多加強(qiáng)等腰三角形的性質(zhì)和判定定理的應(yīng)用。例例3.已知：如圖，已知：如圖，A=90，B=15，BD=DC.請說明請說明AC=BD的

5、理由的理由.v解解BD=DC，B=15vDCB=B=15（等角對等（等角對等邊）邊）vADC=B+DCB=30v（三角形的外角等于和它不相鄰（三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）的兩個內(nèi)角的和）vA=90vAC= DCvAC= BD2121ABCD例例4.已知：如圖，已知：如圖，C=90，BC=AC，D、E分別在分別在BC和和AC上，且上，且BD=CE，M是是AB的中點的中點.求證：求證：MDE是等腰三角形是等腰三角形.v分析分析：要證MDE是等腰三角形，只需證MD=ME。連結(jié)CM，可利用BMD CME得到結(jié)果。證明：連結(jié)證明：連結(jié)CMC=90，BC=ACA=B=45M是是AB的中點的中

6、點CM平分平分BCA（等腰三角形頂角的平分線和底邊上的中線重合）（等腰三角形頂角的平分線和底邊上的中線重合）MCE=MCB=BCA=45B=MCE=MCBCM=MB（等角對等邊）（等角對等邊）在在BDE和和CEM中中BDM CEM（SAS）MD=MEMDE是等腰三角形是等腰三角形CMBMMCEBCEBDABCDEM例例5.如圖，在等邊如圖，在等邊ABC中，中，AF=BD=CE，請說明請說明DEF也是等邊三角形的理由也是等邊三角形的理由.v解：解：ABC是等邊三角形是等邊三角形vAC=BC，A=CvCE=BDvBCBC=ACCEvCD=AEv在在AEF和和CDE中中vAEF CDE（SAS）vE

7、F=DEv同理可證同理可證EF=DFvEF=DE=DFvDEF是等邊三角形是等邊三角形CEAFCACDAEABCDEF說明：證明等邊三角形有三種思路：說明：證明等邊三角形有三種思路：證明三邊相等證明三邊相等證明三角相等證明三角相等證明證明三角形是有一個角為三角形是有一個角為60的等腰三角形。的等腰三角形。具體問題中可利用不同的方式進(jìn)行求解。具體問題中可利用不同的方式進(jìn)行求解。例7. 如圖2-8-6，在ABC中，AB=AC=CB，AE=CD， AD、BE相交于P，BQAD于Q. 請說明BP=2PQ的理由.v思路思路 在RtBPQ中，本題的結(jié)論等價于證明PBQ=30 證明證明 AB=CA，BAE=

8、ACD=60，AE=CD，BAE ACDABE=CADBPQ=ABE+BAP=CAD+BAP=60又BQADPBQ=30BP=2PQ說明說明 本題把證明線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明角的度數(shù)，這種轉(zhuǎn)換問題的方法值得同學(xué)們細(xì)心體會。例例8：如圖、在如圖、在ABC中，中，D，E在在直線直線BC上，且上，且AB=BC=AC=CE=BD，求求EAC的度數(shù)。的度數(shù)。探索：探索：如圖、在如圖、在ABC中，中，D，E在直線在直線BC上，且上，且AB=AC=CE=BD，DAE=100，求，求EAC的度數(shù)。的度數(shù)。DECBADECBA1. 下列結(jié)論敘述正確的個數(shù)為（下列結(jié)論敘述正確的個數(shù)為（ ）（ 1）等腰三角形高、

9、中）等腰三角形高、中 線、角平分線重合；線、角平分線重合；（ 2）等腰三角形兩底角）等腰三角形兩底角 的外角相等；的外角相等； （ 3）等腰三角形有且只有一條對稱軸；）等腰三角形有且只有一條對稱軸；（ 4）有一個角等于）有一個角等于60的等腰三角形是等邊的等腰三角形是等邊三角形。三角形。 （A）0個個 （B）1個個 （C）2個個 （D）3個個2.等腰三角形頂角為36，底角為_。3.等腰三角形頂角和一個底角之和為100，則頂角度數(shù)為_。4.等腰三角形兩個角之比為4:1，則頂角為_，底角為_。5.等腰三角形兩邊長為4、6，這個三角形周長為_。6.已知ABC中AB=AC，AB垂直平分線交AC于E，交

10、AB于D，連結(jié)BE，若A=50，EBC=_。7.ABC中，AB=AC，ADBC于D，若ABC的周長為50，ABD的周長為40，則AD=_。8.若等腰三角形頂角為n度，則腰上的高與底邊的夾角為_。9.9.如圖，線段如圖，線段ODOD的一個端點的一個端點O O在直線在直線a a上，以上，以O(shè)DOD為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點在直為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點在直線線a a上，這樣的等腰三角形能畫多少個上，這樣的等腰三角形能畫多少個? ?150a10.已知等腰三角形一腰上的中線將三已知等腰三角形一腰上的中線將三角形周長分成：兩部分，已知三角角形周長分成：兩部分，已知三角形底邊長為，求腰

11、長？形底邊長為，求腰長？解：如圖，令解：如圖，令CDx，則，則ADx，AB2x底邊底邊BC5BCCD5x ABAD3x(5+x)：3x2:1或或3x：(5+x)=2:1xx2x511、如圖，D是正ABC邊AC上的中點，E是BC延長線上一點，且CE=CD，誣蔑說明BD=DE的理由.AB C ED1 12 2解解: ABCABC是正三角形是正三角形 ABC= ACB=600 （ ） D D是是ACAC邊上的中點邊上的中點 1= ABC=300（ ）12CE=CD2= E（ ） 2+ E= ACB=600（ ） E=300， 1= EBD=DE（ ）12、如圖，在RtABC中，ACB=900， CA

12、B的平分線AD交BC于D，AB邊上的高線CE交AB于E，交AD于F，求證：CD=CFBACED123F分析：CD=CF1=21=B+BAD2=3+DAC3=B1=90BAD=90CADACB =90，CE是AC邊上高小結(jié) 1、等腰三角形的有關(guān)概念。 2 2、等腰三角形的識別。 3 3、應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)定理和三線合一性質(zhì)解決有關(guān)問題。 4、通過習(xí)題，能總結(jié)代數(shù)法求幾何角的大小、線段長度的方法。例例1.已知：如圖，已知：如圖，AB=AC，AD=AE，求證：，求證：BD=ECA AB BC CD DE EF F方法一：利用全等知識方法一：利用全等知識方法二：利用方法二：利用“三線合一三線合一”例

13、例2.如圖，等邊如圖，等邊ABC中，中，B、C的平分線交于點的平分線交于點O ，OEAB，OFAC，求圖中等腰三角形的，求圖中等腰三角形的個數(shù)。個數(shù)。O OA AB BC CE EF F解：有解：有5 5個等腰三角形，個等腰三角形，分別是分別是ABC， BOC， COF，OBC OEF 。例例3. 3. 已知，如圖，已知，如圖，等邊等邊ABC和等邊和等邊CDE中。中。求證：求證：BE=ADA AB BC CD DE E分析：要證明的兩條線段分布在分析：要證明的兩條線段分布在兩個不同的三角形中，考慮先兩個不同的三角形中，考慮先證線段所在的三角形全等，證線段所在的三角形全等，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，

14、易得根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，易得AC=BCAC=BC，CE=CDCE=CD，ACB= ECD=60ACB= ECD=60ACB- ACE= ECD- ACEACB- ACE= ECD- ACE BCE= BCE= ACDACD，由由“邊角邊邊角邊”可證可證 將將CDE繞點繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到如逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖位置，剛才的結(jié)論還成立嗎？圖位置，剛才的結(jié)論還成立嗎？A AB BC CD DE E變形題（變形題（1 1）分析：要證明分析：要證明BE=ADBE=AD，思想方法仍是，思想方法仍是利用利用“SAS”SAS”證兩個三角形全等，有所證兩個三角形全等，有所不同的是這里證角等是通過不同的是這里證角等是

15、通過“和和”，即即ACB+BCD= ECD+BCDACB+BCD= ECD+BCD ACD= BCEACD= BCE 將將CDE繞點繞點C繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，使繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，使B、C、D共線，剛才的結(jié)論還成立嗎？共線，剛才的結(jié)論還成立嗎？A AB BC CD DE E變形題（變形題（2 2） 證明：證明：在等邊在等邊ABCABC和等邊和等邊CDECDE中中 AC=BCAC=BC，CD=CECD=CE， ACB= ECD=60ACB= ECD=60 又又BB，C C，D D三點共線，三點共線， ACE=60 ACE=60 ACD= BCE=120 ACD= BCE=120 在在ACDACD和和BCEBCE中中

16、 AC=BCAC=BC ACD= BCE ACD= BCE CD=CE CD=CE ACDACDBCEBCE（SASSAS） BE=ADBE=AD分析：要證明分析：要證明BE=ADBE=AD，思想方法仍是先證兩個三，思想方法仍是先證兩個三角形全等，這里證角等還是通過角形全等，這里證角等還是通過“和和” 已知，如圖，已知，如圖，等邊等邊ABC和等和等邊邊CDE中，中，B 、C、D共線，共線，BC與與AC交于交于M，AD與與CE交于交于N。求證：求證：CM=CNA AB BC CD DE E變形題（變形題（3 3）M MN N分析分析：上：上題已證題已證ACDACDBCEBCE所以，所以， CBM

17、= CANCBM= CAN，BE=ADBE=AD，又因，又因BC=ACBC=AC，利用，利用“邊角邊邊角邊”條件可判定條件可判定BCMBCMCANCAN，結(jié)論成立。，結(jié)論成立。 已知，如圖，已知，如圖，等邊等邊ABC和等邊和等邊CDE中，中，B 、C、D共線，共線，BE與與AC交交于于M，AD與與CE交于交于N，連結(jié)，連結(jié)MN。求證：求證： CMN是等邊三角形是等邊三角形A AB BC CD DE E變形題（變形題（4 4）M MN N分析分析：由上一題的結(jié)論：由上一題的結(jié)論已知已知CM=CNCM=CN，根據(jù)等邊三，根據(jù)等邊三角形的判定方法，只要角形的判定方法，只要其中有一個角為其中有一個角為

18、6060即即可，可，根據(jù)條件易得根據(jù)條件易得 MCN MCN為為6060v例例4 、已知AB=AC，EB=EC，求證B= CABCE變式變式：已知AB=AC ， B= C ，求證EB=EC 如圖是某城市部分街道示意圖如圖是某城市部分街道示意圖，ABC和和CDE都是都是等邊三角形，等邊三角形，A、B、C、D、E、F、G、H為公共汽車停為公共汽車停靠站。公共汽車甲從靠站。公共汽車甲從A站出發(fā)，按照站出發(fā)，按照A、H、G、D、E、C、F的順序到達(dá)的順序到達(dá)F站。公共汽車乙從站。公共汽車乙從B站出發(fā)，按照站出發(fā)，按照B、F、H、E、D、C、G的順序到達(dá)的順序到達(dá)G。如果甲、乙分別從。如果甲、乙分別從A

19、、B站出站出發(fā)，在各站耽誤的時間相同，兩車行駛的速度也一樣，試發(fā)，在各站耽誤的時間相同，兩車行駛的速度也一樣，試問哪輛公共汽車先到達(dá)指定車站。問哪輛公共汽車先到達(dá)指定車站。A AB BC CD DE E拓展應(yīng)用拓展應(yīng)用F FG GH H1.如圖,在三角形ABC中,AB=AC, A=36,你能把ABC分成三個等腰三角形嗎?(提供兩中以上不同的作圖方案)ABCDEABCDEABCABCABCABC區(qū)別與上一題能否用剪刀剪一刀把一個等腰三角形分成兩個等腰三角形？若能，求出原來的等腰三角形的頂角的度數(shù)。3。已知等腰三角形。已知等腰三角形ABC的底邊為的底邊為AB,直線直線L過直角頂過直角頂點點C.過點過點A,點點B分別作分別作L的垂線為的垂線為AE,BF,垂足分別為垂足分別為E、F。（1）如圖甲，當(dāng)直線）如圖甲，當(dāng)直線L不與底邊不與底邊AB相交時，求證：相交時，求證： EF=AE+BF（2）當(dāng)直線）當(dāng)直線L繞點繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，使直線順時針旋轉(zhuǎn)，使直線L交底邊交底邊AB于點于