張量分析——初學(xué)者必看

1、例如例如, , 三維空間任意一點三維空間任意一點P P在笛卡兒坐在笛卡兒坐標系標系321,xxx用指標符用指標符號表示為號表示為3 , 2 , 1,ixinaaaa,321 niai, 2 , 1, nxxxx,321 nixi, 2 , 1, i取值范圍為小于或等于取值范圍為小于或等于n n的所有正整數(shù)的所有正整數(shù)n nnxaxaxaS 2211njjjniiixaxaS11jjiixaxaS求和指標與所用的字母無關(guān)指標重復(fù)只能一次指標范圍用拉丁字母表示3維，希臘字母表2維3131ijjiijyxA333323321331322322221221311321121111yxAyxAyxAyx

2、AyxAyxAyxAyxAyxAyxAjiijkjiijkzyxA 333323213123232221211313212111bxAxAxAbxAxAxAbxAxAxAijijbxA j i在每一項中只出現(xiàn)一次，一個公式中必須相同013 , 2 , 1,01133132232112332211時，有當當當jijijiijji1100010001333231232221131211ijijmjimiiiijijAAaaaaa332211ijjijijiiiijijijkjikilkljkijjjiiijijijkjikiieeaaaaaaaaa33221133221133 等若有兩個或三個指標

3、相若若2, 3 , 1,3 , 1 , 2,1 , 2, 3,2, 1 , 3,1 , 3 , 2,3 , 2, 1,011kjikjieijk011113112111321132213312231123 eeeeeeeee偶次置換奇次置換1001010100131211232221333231321333222111321321321eekjikjikjikkkjjjiiiijk333222111321321321rqprqprqpkkkjjjiiipqrijkeekijjkiijkkjiikjjikijkeeeeeeeippipipipi11332211krkqkpjrjqjpiriqip

4、pqrijkeejqirjriqjrjqiriqkqrijkeekp321321322311332112312213322113312312332211333231232221131211kjiijkkjiijkaaaeaaaeaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAitjsjtiskstkijee 321,eeeiieaeaeaeaa332211 ijjiee jjiiijjijjiibababaebeabakijkjieeeekjkjkikieeee kijktijttjsirrstjjjiiijieeeeeeeeeee321321321 jiijkkkjiijkkijkj

5、ijijijjiibaeccebaeeebaeebaebeabakjiijkkrrjiijkrrkjiijkcbaecbaeecebaecba ijkrkijrkrijrkjieeeeeeee jijijjiijjiieebaebeaabebbeaa,333323231313323222221212313121211111eebaeebaeebaeebaeebaeebaeebaeebaeebaab cossinsincosyxyyxxcossinsincosyxyyxxcossinsincos212211xxxxxxcossinsincos212211xxxxxxii iiii iixxxx)

6、,cos(),cos(iii iiii ixxxx 1001iji ii i,i ii iii iiii iieeeeii iii iivvv lijkl lkkj ji ilkj i lkjilijkeeee jij ijij ij ieeTeeBABAT )(beTaeeTeaTakijjkikjjkii)()( 矢量與張量點乘的結(jié)果仍為張量矢量與張量點乘的結(jié)果仍為張量, ,新張量新張量b b比原張量比原張量 T T的階數(shù)降低的階數(shù)降低一一階階 ceaTeaTeaeeTaTijijjkikijkkjiij)()( aTTa AeeTaeeeeTaeeTeaTakrjkiijrkrijrjk

7、ikjjkii)()( BeeaTeeeeaTeaeeTaTrikijjkrrjkrikijkkjiij)()( SeeeeBAeeeeBAeeeBeeeABAtsjitkskijtskrjitrskijtsrtrskjikij )()(兩個張量點積的結(jié)果仍為張量。新張量的階數(shù)是兩個張量點積的結(jié)果仍為張量。新張量的階數(shù)是原兩個張量的階數(shù)之和減原兩個張量的階數(shù)之和減 2 2 兩個兩個二階張量點積的結(jié)果為一個新的二階張量二階張量點積的結(jié)果為一個新的二階張量, ,這這相當于矩陣相乘相當于矩陣相乘 SeeBAeeBAeeeBeeeABAtijktijktiksjrrstijktsrrstkjiijk)

8、(:兩個張量點積的結(jié)果仍為張量。新張量的階數(shù)是兩個張量點積的結(jié)果仍為張量。新張量的階數(shù)是原兩個張量的階數(shù)之和減原兩個張量的階數(shù)之和減 4 4 rstijkksnjrmimnttnmirstijkksnjrmtnksnrstmjrmiijktsrrstkjiijkBAeeSSeeeeBAeeeeeBeeeAeeeBeeeABA)( jiijeeAA332211AAAAAeeAAiiijijjiij在張量的不變性記法中在張量的不變性記法中, , 將某兩個基矢量點乘將某兩個基矢量點乘, , 其結(jié)果是一個較原張量低二階的新張量其結(jié)果是一個較原張量低二階的新張量, , 這種運這種運算稱為縮并算稱為縮并

9、kjiijkeeeAA kjiijkkjijikeeeBeeeA若對該張量的分量中任意兩個指標交換次序若對該張量的分量中任意兩個指標交換次序, , 得得到一個與原張量同階的新張量到一個與原張量同階的新張量 kjiijkkjijikkijijkeeeBeeeAeeeA jiijTT jiijWW若張量的任意兩個指標經(jīng)置換后所得的張若張量的任意兩個指標經(jīng)置換后所得的張量與原張量相同量與原張量相同, 則稱該張量關(guān)于這兩個指則稱該張量關(guān)于這兩個指標為對稱標為對稱, , 若與原張量相差一符號若與原張量相差一符號, , 則稱則稱該張量關(guān)于這兩個指標為反稱。該張量關(guān)于這兩個指標為反稱。有有6 6個獨立分量個

10、獨立分量 有有3 3個獨立分量個獨立分量 對已知張量的對已知張量的N N個指標進行個指標進行N!N!次不同的置次不同的置換換, , 并取所得的并取所得的N!N!個新張量的算術(shù)平均值的運算個新張量的算術(shù)平均值的運算。其結(jié)果張量關(guān)于參與置換的指標為對稱。將指標放其結(jié)果張量關(guān)于參與置換的指標為對稱。將指標放在圓括弧內(nèi)表示對稱化運算在圓括弧內(nèi)表示對稱化運算。 )(! 31)(! 21ikjjikkjikijjkiijkijkjiijijAAAAAAAAAA 對已知張量的對已知張量的 N N 個指標進行個指標進行N!N!次不同的次不同的置換置換, ,并將其中指標經(jīng)過奇次置換的新張量取反號并將其中指標經(jīng)過

11、奇次置換的新張量取反號, ,再求算術(shù)平均值再求算術(shù)平均值, , 這種運算稱張量的反稱化這種運算稱張量的反稱化, ,其結(jié)果其結(jié)果張量關(guān)于參與置換的指標為反稱。將指標放在方括張量關(guān)于參與置換的指標為反稱。將指標放在方括弧內(nèi)表示反稱運算弧內(nèi)表示反稱運算。 )(! 31)(! 21ikjjikkjikijjkiijkijkjiijijAAAAAAAAAA若在某坐標系中按某規(guī)律給出若在某坐標系中按某規(guī)律給出 33=27 個數(shù)個數(shù) A(ijk), 且且A(ijk)bk=Cij, 其中其中bk 是與是與A(ijk)無關(guān)的任意矢量無關(guān)的任意矢量 , , Cij是張量是張量 , , 那么那么 , A(ijk)必

12、為比必為比Cij高一階的張量。高一階的張量。 jiijeeBBuvBiiijijkkjiijeuevBeveeBbBaBbaB)(B B的作用如同一個算子的作用如同一個算子, , 它使空間內(nèi)每一個向量變換它使空間內(nèi)每一個向量變換為另一個向量為另一個向量, , 或者說或者說 B B 能把一個向量空間映射能把一個向量空間映射為另一向量空間。為另一向量空間。 jiTijjijijiTijTBBeeBeeBBjiijTBBBB, jiijTBBBB, TTTTTTTTTTTTBBBBABBABaaBBABAaBbbBa)()()()()(11 jiijeeIIBB,11111111)()(BBBAAB

13、II 對于仿射量對于仿射量B, B, 若存在三個相互垂直的方向若存在三個相互垂直的方向i,ji,j, ,k k, , 其映象其映象 Bi,Bj,BkBi,Bj,Bk也相互垂直也相互垂直, , 則稱該三個則稱該三個方向為方向為 B B 的主向。對稱仿射量的主向。對稱仿射量T T 必存在三個主向必存在三個主向和三個相應(yīng)的主值。主值和三個相應(yīng)的主值。主值S S 滿足如下特征方程。滿足如下特征方程。023SISS 0I23SSS333231232221131211333113113332232222211211332211ITTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT I3132sin32I31s

14、in32I3132sin32321eSeSeSijijTqeeqI31I3166,233arcsin31223 kkSjjSiiSTSSS321321 jjjjjiijjiijeeeeeeeeTT零階張量零階張量( (標量標量) )總是各向同性的。一階張量總是各向同性的。一階張量( (即矢即矢量量) ) 總不是各向同性的。對于對稱二階張量總不是各向同性的。對于對稱二階張量T,T,如果如果其三個主值相等其三個主值相等, , 即即S S1 1=S=S2 2=S=S3 3=,=,則是各向同性的。則是各向同性的。 jjijj iijeeTT jkiljlikklijijklA333322221111,

15、AAArAAA333322221111(1)4個指標都相同的分量有3個jkiljlikklijijklA 3331222111131112,AAAA(2) 4個指標有3個相同的分量有24個以A1112 為例。如繞x2轉(zhuǎn)1800，坐標變換系數(shù)為100010001111211122211321111112AAAAmnpqqpnm要使新坐標的分量A1112 與原坐標中的分量A1112 相等， A1112 。必為零。xzy yxz231123112322112211123111123AAAAAmnpqqpnm所以 A1123=0。其它都為零。(3) 4個指標中有2個相同的分量有36個 33122213

16、11321123,AAAA以A1123 為例。坐標仍繞x2轉(zhuǎn)1800，坐標變換系數(shù)同上，則將此三類分量用統(tǒng)一形式表示為：(3) 4個指標中有2對指標重復(fù)的分量有18個?？煞譃?類，每6個分量相等。311313312332322312212112131331313232232321211212113333113322223322111122AAAAAAAAAAAAAAAAAAjkiljlikklij 在空間所論域內(nèi)在空間所論域內(nèi), , 每點定義的同階張量每點定義的同階張量, , 構(gòu)成了張量場。一般張量場中被考察的張構(gòu)成了張量場。一般張量場中被考察的張量隨位置而變化。研究張量場因位置而變量隨位置而

17、變化。研究張量場因位置而變化的情況使我們從張量代數(shù)的領(lǐng)域進入張化的情況使我們從張量代數(shù)的領(lǐng)域進入張量分析的領(lǐng)域。量分析的領(lǐng)域。 一、哈一、哈密頓密頓( (Hamilton)Hamilton)算子算子( (梯度梯度算子算子) ) rddxeedxdzzdyydxxdjjiiii梯度算子,矢量算子 一、哈一、哈密頓密頓( (Hamilton)Hamilton)算子算子( (梯度梯度算子算子) ) 321ezeyexgrad ujjiijjzyxeueuzuyuxudiv, 一、哈一、哈密頓密頓( (Hamilton)Hamilton)算子算子( (梯度梯度算子算子) ) uujjiijijikji

18、ijkeueueeeueuuuzyxeeecurl321321二二、張量場的微分張量場的微分 kjiijkkjjkiieeeAeeAeA,ikjijkikjjkieeeAeeeAA,二二、張量場的微分張量場的微分 kjjkkijijkkjjkiieAeAeeAeA,kjkjjkjkkijijkikjjkieAeAeAeeeAA,二二、張量場的微分張量場的微分 jirkjrkikrrjkijrkrijrijkkjjkiieeAeeeAeeeeAeeAeA,二二、張量場的微分張量場的微分 jirikkrjijrjkkrirjijkkirikjjkieeAeeeAeeeAeeeeAA,三三、散度定理

19、散度定理 dsVVVdvzVyVxVSzyxVzyxcoscoscosdsnVdvViSiVii,三三、散度定理散度定理 dsnAdvAkSijkVkijk,dsAndvAndsAdvASVSV 一一、曲線坐標、曲線坐標在笛卡兒坐標系在笛卡兒坐標系 , 空間任一點空間任一點 P 的向徑是的向徑是設(shè)在設(shè)在三維空間三維空間某連通區(qū)域某連通區(qū)域, 給定了笛氏坐標的三個給定了笛氏坐標的三個連續(xù)可微的單值函數(shù)連續(xù)可微的單值函數(shù) )(iiixxx)(iiixxxiiexr反函數(shù)反函數(shù)1g2g3g3x2x1x)(iiixxx若函數(shù)不是線性函數(shù)若函數(shù)不是線性函數(shù), , 則稱其為曲線坐標系則稱其為曲線坐標系 0

20、iixxJzzryrx,sin,cos例如：圓柱坐標系11JJxxxxxxxxjrrijrriji01iixxJ二、局部基矢量二、局部基矢量 在笛卡兒坐標系在笛卡兒坐標系, , 空間任意向量空間任意向量( (張量張量) )都可以在基上分都可以在基上分解。這種做法可進行兩種不同的解釋解。這種做法可進行兩種不同的解釋: :(l) (l) 空空間里只有一個固定在原點的基間里只有一個固定在原點的基e ei i, , 先將向先將向量量( (張量張量) )平行移至原點平行移至原點, , 然后在這基上分解。然后在這基上分解。(2)(2)在定義區(qū)域內(nèi)每點都有一個與在定義區(qū)域內(nèi)每點都有一個與e ei i相同的基

21、相同的基, , 即局部基即局部基, , 向量向量( (張量張量) )在本作用點的局部基上就在本作用點的局部基上就地分解。地分解。 1g2g3g3x2x1x2e1e3e二、局部基矢量二、局部基矢量 iiiiiiiiexxexxxrg ijjig gg度量張量 二、局部基矢量二、局部基矢量 21321sincossincos ,sin ,coseerggeeer1 rexxrrzzryrxiiii二、局部基矢量二、局部基矢量 321cossinergeerg32zrr100000012rijg二、局部基矢量二、局部基矢量 kjiijkgggAA 由于在曲線坐標系并非所有坐標都具有長度量綱由于在曲線

22、坐標系并非所有坐標都具有長度量綱 , 例例如如 , 圓柱坐標中的。因此圓柱坐標中的。因此 , 相對相對 應(yīng)的自然基矢量就不應(yīng)的自然基矢量就不是無量綱的單位矢量。具有一定物理意義的向量是無量綱的單位矢量。具有一定物理意義的向量 ( 張張量量 ) 在這樣的基上在這樣的基上 的各分量并不具有物理量綱的各分量并不具有物理量綱, 從而從而給直接的物理解釋帶來不便給直接的物理解釋帶來不便。二、局部基矢量二、局部基矢量 為了使張量在每個具體坐標系里能取得具有物為了使張量在每個具體坐標系里能取得具有物理量綱的分量理量綱的分量 , 在正交曲線坐標系在正交曲線坐標系 , 取切取切 于坐標曲于坐標曲線的無量綱單位矢

23、量作為基矢量線的無量綱單位矢量作為基矢量 , 即即iiigggiiige11 在物理標架上分解的張在物理標架上分解的張量量, , 其相應(yīng)的各分量能其相應(yīng)的各分量能取得相同的物理量綱取得相同的物理量綱 圓柱坐標系的物理基3213213211000cossin0sincos1eeeggrgeee球坐標系的物理基3213213210cossinsinsincoscoscoscossinsincossinsin11eeegrgrgeee三、張量對曲線坐標的導(dǎo)數(shù)三、張量對曲線坐標的導(dǎo)數(shù) s sSiiiiiiiigSxSxSxxSegrrsse iiiiiiixgSxSxxS1 兩邊點乘ie三、張量對曲線坐標的導(dǎo)數(shù)三、張量對曲線坐標的導(dǎo)數(shù) iiiiiiiieeexg1形式導(dǎo)數(shù)1. 1. 克里斯多弗符號克里斯多弗符號jkjjijjkijjkiijkkkjjiiijkggxggggggg1211,kijkjieedf1. 1. 克里斯多弗符號克