張量分析——初學(xué)者必看

1、例如例如, , 三維空間任意一點(diǎn)三維空間任意一點(diǎn)P P在笛卡兒坐在笛卡兒坐標(biāo)系標(biāo)系321,xxx用指標(biāo)符用指標(biāo)符號(hào)表示為號(hào)表示為3 , 2 , 1,ixinaaaa,321 niai, 2 , 1, nxxxx,321 nixi, 2 , 1, i取值范圍為小于或等于取值范圍為小于或等于n n的所有正整數(shù)的所有正整數(shù)n nnxaxaxaS 2211njjjniiixaxaS11jjiixaxaS求和指標(biāo)與所用的字母無關(guān)指標(biāo)重復(fù)只能一次指標(biāo)范圍用拉丁字母表示3維，希臘字母表2維3131ijjiijyxA333323321331322322221221311321121111yxAyxAyxAyx

2、AyxAyxAyxAyxAyxAyxAjiijkjiijkzyxA 333323213123232221211313212111bxAxAxAbxAxAxAbxAxAxAijijbxA j i在每一項(xiàng)中只出現(xiàn)一次，一個(gè)公式中必須相同013 , 2 , 1,01133132232112332211時(shí)，有當(dāng)當(dāng)當(dāng)jijijiijji1100010001333231232221131211ijijmjimiiiijijAAaaaaa332211ijjijijiiiijijijkjikilkljkijjjiiijijijkjikiieeaaaaaaaaa33221133221133 等若有兩個(gè)或三個(gè)指標(biāo)

3、相若若2, 3 , 1,3 , 1 , 2,1 , 2, 3,2, 1 , 3,1 , 3 , 2,3 , 2, 1,011kjikjieijk011113112111321132213312231123 eeeeeeeee偶次置換奇次置換1001010100131211232221333231321333222111321321321eekjikjikjikkkjjjiiiijk333222111321321321rqprqprqpkkkjjjiiipqrijkeekijjkiijkkjiikjjikijkeeeeeeeippipipipi11332211krkqkpjrjqjpiriqip

4、pqrijkeejqirjriqjrjqiriqkqrijkeekp321321322311332112312213322113312312332211333231232221131211kjiijkkjiijkaaaeaaaeaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAitjsjtiskstkijee 321,eeeiieaeaeaeaa332211 ijjiee jjiiijjijjiibababaebeabakijkjieeeekjkjkikieeee kijktijttjsirrstjjjiiijieeeeeeeeeee321321321 jiijkkkjiijkkijkj

5、ijijijjiibaeccebaeeebaeebaebeabakjiijkkrrjiijkrrkjiijkcbaecbaeecebaecba ijkrkijrkrijrkjieeeeeeee jijijjiijjiieebaebeaabebbeaa,333323231313323222221212313121211111eebaeebaeebaeebaeebaeebaeebaeebaeebaab cossinsincosyxyyxxcossinsincosyxyyxxcossinsincos212211xxxxxxcossinsincos212211xxxxxxii iiii iixxxx)

6、,cos(),cos(iii iiii ixxxx 1001iji ii i,i ii iii iiii iieeeeii iii iivvv lijkl lkkj ji ilkj i lkjilijkeeee jij ijij ij ieeTeeBABAT )(beTaeeTeaTakijjkikjjkii)()( 矢量與張量點(diǎn)乘的結(jié)果仍為張量矢量與張量點(diǎn)乘的結(jié)果仍為張量, ,新張量新張量b b比原張量比原張量 T T的階數(shù)降低的階數(shù)降低一一階階 ceaTeaTeaeeTaTijijjkikijkkjiij)()( aTTa AeeTaeeeeTaeeTeaTakrjkiijrkrijrjk

7、ikjjkii)()( BeeaTeeeeaTeaeeTaTrikijjkrrjkrikijkkjiij)()( SeeeeBAeeeeBAeeeBeeeABAtsjitkskijtskrjitrskijtsrtrskjikij )()(兩個(gè)張量點(diǎn)積的結(jié)果仍為張量。新張量的階數(shù)是兩個(gè)張量點(diǎn)積的結(jié)果仍為張量。新張量的階數(shù)是原兩個(gè)張量的階數(shù)之和減原兩個(gè)張量的階數(shù)之和減 2 2 兩個(gè)兩個(gè)二階張量點(diǎn)積的結(jié)果為一個(gè)新的二階張量二階張量點(diǎn)積的結(jié)果為一個(gè)新的二階張量, ,這這相當(dāng)于矩陣相乘相當(dāng)于矩陣相乘 SeeBAeeBAeeeBeeeABAtijktijktiksjrrstijktsrrstkjiijk)

8、(:兩個(gè)張量點(diǎn)積的結(jié)果仍為張量。新張量的階數(shù)是兩個(gè)張量點(diǎn)積的結(jié)果仍為張量。新張量的階數(shù)是原兩個(gè)張量的階數(shù)之和減原兩個(gè)張量的階數(shù)之和減 4 4 rstijkksnjrmimnttnmirstijkksnjrmtnksnrstmjrmiijktsrrstkjiijkBAeeSSeeeeBAeeeeeBeeeAeeeBeeeABA)( jiijeeAA332211AAAAAeeAAiiijijjiij在張量的不變性記法中在張量的不變性記法中, , 將某兩個(gè)基矢量點(diǎn)乘將某兩個(gè)基矢量點(diǎn)乘, , 其結(jié)果是一個(gè)較原張量低二階的新張量其結(jié)果是一個(gè)較原張量低二階的新張量, , 這種運(yùn)這種運(yùn)算稱為縮并算稱為縮并

9、kjiijkeeeAA kjiijkkjijikeeeBeeeA若對(duì)該張量的分量中任意兩個(gè)指標(biāo)交換次序若對(duì)該張量的分量中任意兩個(gè)指標(biāo)交換次序, , 得得到一個(gè)與原張量同階的新張量到一個(gè)與原張量同階的新張量 kjiijkkjijikkijijkeeeBeeeAeeeA jiijTT jiijWW若張量的任意兩個(gè)指標(biāo)經(jīng)置換后所得的張若張量的任意兩個(gè)指標(biāo)經(jīng)置換后所得的張量與原張量相同量與原張量相同, 則稱該張量關(guān)于這兩個(gè)指則稱該張量關(guān)于這兩個(gè)指標(biāo)為對(duì)稱標(biāo)為對(duì)稱, , 若與原張量相差一符號(hào)若與原張量相差一符號(hào), , 則稱則稱該張量關(guān)于這兩個(gè)指標(biāo)為反稱。該張量關(guān)于這兩個(gè)指標(biāo)為反稱。有有6 6個(gè)獨(dú)立分量個(gè)

10、獨(dú)立分量 有有3 3個(gè)獨(dú)立分量個(gè)獨(dú)立分量 對(duì)已知張量的對(duì)已知張量的N N個(gè)指標(biāo)進(jìn)行個(gè)指標(biāo)進(jìn)行N!N!次不同的置次不同的置換換, , 并取所得的并取所得的N!N!個(gè)新張量的算術(shù)平均值的運(yùn)算個(gè)新張量的算術(shù)平均值的運(yùn)算。其結(jié)果張量關(guān)于參與置換的指標(biāo)為對(duì)稱。將指標(biāo)放其結(jié)果張量關(guān)于參與置換的指標(biāo)為對(duì)稱。將指標(biāo)放在圓括弧內(nèi)表示對(duì)稱化運(yùn)算在圓括弧內(nèi)表示對(duì)稱化運(yùn)算。 )(! 31)(! 21ikjjikkjikijjkiijkijkjiijijAAAAAAAAAA 對(duì)已知張量的對(duì)已知張量的 N N 個(gè)指標(biāo)進(jìn)行個(gè)指標(biāo)進(jìn)行N!N!次不同的次不同的置換置換, ,并將其中指標(biāo)經(jīng)過奇次置換的新張量取反號(hào)并將其中指標(biāo)經(jīng)過

11、奇次置換的新張量取反號(hào), ,再求算術(shù)平均值再求算術(shù)平均值, , 這種運(yùn)算稱張量的反稱化這種運(yùn)算稱張量的反稱化, ,其結(jié)果其結(jié)果張量關(guān)于參與置換的指標(biāo)為反稱。將指標(biāo)放在方括張量關(guān)于參與置換的指標(biāo)為反稱。將指標(biāo)放在方括弧內(nèi)表示反稱運(yùn)算弧內(nèi)表示反稱運(yùn)算。 )(! 31)(! 21ikjjikkjikijjkiijkijkjiijijAAAAAAAAAA若在某坐標(biāo)系中按某規(guī)律給出若在某坐標(biāo)系中按某規(guī)律給出 33=27 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) A(ijk), 且且A(ijk)bk=Cij, 其中其中bk 是與是與A(ijk)無關(guān)的任意矢量無關(guān)的任意矢量 , , Cij是張量是張量 , , 那么那么 , A(ijk)必

12、為比必為比Cij高一階的張量。高一階的張量。 jiijeeBBuvBiiijijkkjiijeuevBeveeBbBaBbaB)(B B的作用如同一個(gè)算子的作用如同一個(gè)算子, , 它使空間內(nèi)每一個(gè)向量變換它使空間內(nèi)每一個(gè)向量變換為另一個(gè)向量為另一個(gè)向量, , 或者說或者說 B B 能把一個(gè)向量空間映射能把一個(gè)向量空間映射為另一向量空間。為另一向量空間。 jiTijjijijiTijTBBeeBeeBBjiijTBBBB, jiijTBBBB, TTTTTTTTTTTTBBBBABBABaaBBABAaBbbBa)()()()()(11 jiijeeIIBB,11111111)()(BBBAAB

13、II 對(duì)于仿射量對(duì)于仿射量B, B, 若存在三個(gè)相互垂直的方向若存在三個(gè)相互垂直的方向i,ji,j, ,k k, , 其映象其映象 Bi,Bj,BkBi,Bj,Bk也相互垂直也相互垂直, , 則稱該三個(gè)則稱該三個(gè)方向?yàn)榉较驗(yàn)?B B 的主向。對(duì)稱仿射量的主向。對(duì)稱仿射量T T 必存在三個(gè)主向必存在三個(gè)主向和三個(gè)相應(yīng)的主值。主值和三個(gè)相應(yīng)的主值。主值S S 滿足如下特征方程。滿足如下特征方程。023SISS 0I23SSS333231232221131211333113113332232222211211332211ITTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT I3132sin32I31s

14、in32I3132sin32321eSeSeSijijTqeeqI31I3166,233arcsin31223 kkSjjSiiSTSSS321321 jjjjjiijjiijeeeeeeeeTT零階張量零階張量( (標(biāo)量標(biāo)量) )總是各向同性的。一階張量總是各向同性的。一階張量( (即矢即矢量量) ) 總不是各向同性的。對(duì)于對(duì)稱二階張量總不是各向同性的。對(duì)于對(duì)稱二階張量T,T,如果如果其三個(gè)主值相等其三個(gè)主值相等, , 即即S S1 1=S=S2 2=S=S3 3=,=,則是各向同性的。則是各向同性的。 jjijj iijeeTT jkiljlikklijijklA333322221111,

15、AAArAAA333322221111(1)4個(gè)指標(biāo)都相同的分量有3個(gè)jkiljlikklijijklA 3331222111131112,AAAA(2) 4個(gè)指標(biāo)有3個(gè)相同的分量有24個(gè)以A1112 為例。如繞x2轉(zhuǎn)1800，坐標(biāo)變換系數(shù)為100010001111211122211321111112AAAAmnpqqpnm要使新坐標(biāo)的分量A1112 與原坐標(biāo)中的分量A1112 相等， A1112 。必為零。xzy yxz231123112322112211123111123AAAAAmnpqqpnm所以 A1123=0。其它都為零。(3) 4個(gè)指標(biāo)中有2個(gè)相同的分量有36個(gè) 33122213

16、11321123,AAAA以A1123 為例。坐標(biāo)仍繞x2轉(zhuǎn)1800，坐標(biāo)變換系數(shù)同上，則將此三類分量用統(tǒng)一形式表示為：(3) 4個(gè)指標(biāo)中有2對(duì)指標(biāo)重復(fù)的分量有18個(gè)?？煞譃?類，每6個(gè)分量相等。311313312332322312212112131331313232232321211212113333113322223322111122AAAAAAAAAAAAAAAAAAjkiljlikklij 在空間所論域內(nèi)在空間所論域內(nèi), , 每點(diǎn)定義的同階張量每點(diǎn)定義的同階張量, , 構(gòu)成了張量場(chǎng)。一般張量場(chǎng)中被考察的張構(gòu)成了張量場(chǎng)。一般張量場(chǎng)中被考察的張量隨位置而變化。研究張量場(chǎng)因位置而變量隨位置而

17、變化。研究張量場(chǎng)因位置而變化的情況使我們從張量代數(shù)的領(lǐng)域進(jìn)入張化的情況使我們從張量代數(shù)的領(lǐng)域進(jìn)入張量分析的領(lǐng)域。量分析的領(lǐng)域。 一、哈一、哈密頓密頓( (Hamilton)Hamilton)算子算子( (梯度梯度算子算子) ) rddxeedxdzzdyydxxdjjiiii梯度算子,矢量算子 一、哈一、哈密頓密頓( (Hamilton)Hamilton)算子算子( (梯度梯度算子算子) ) 321ezeyexgrad ujjiijjzyxeueuzuyuxudiv, 一、哈一、哈密頓密頓( (Hamilton)Hamilton)算子算子( (梯度梯度算子算子) ) uujjiijijikji

18、ijkeueueeeueuuuzyxeeecurl321321二二、張量場(chǎng)的微分張量場(chǎng)的微分 kjiijkkjjkiieeeAeeAeA,ikjijkikjjkieeeAeeeAA,二二、張量場(chǎng)的微分張量場(chǎng)的微分 kjjkkijijkkjjkiieAeAeeAeA,kjkjjkjkkijijkikjjkieAeAeAeeeAA,二二、張量場(chǎng)的微分張量場(chǎng)的微分 jirkjrkikrrjkijrkrijrijkkjjkiieeAeeeAeeeeAeeAeA,二二、張量場(chǎng)的微分張量場(chǎng)的微分 jirikkrjijrjkkrirjijkkirikjjkieeAeeeAeeeAeeeeAA,三三、散度定理

19、散度定理 dsVVVdvzVyVxVSzyxVzyxcoscoscosdsnVdvViSiVii,三三、散度定理散度定理 dsnAdvAkSijkVkijk,dsAndvAndsAdvASVSV 一一、曲線坐標(biāo)、曲線坐標(biāo)在笛卡兒坐標(biāo)系在笛卡兒坐標(biāo)系 , 空間任一點(diǎn)空間任一點(diǎn) P 的向徑是的向徑是設(shè)在設(shè)在三維空間三維空間某連通區(qū)域某連通區(qū)域, 給定了笛氏坐標(biāo)的三個(gè)給定了笛氏坐標(biāo)的三個(gè)連續(xù)可微的單值函數(shù)連續(xù)可微的單值函數(shù) )(iiixxx)(iiixxxiiexr反函數(shù)反函數(shù)1g2g3g3x2x1x)(iiixxx若函數(shù)不是線性函數(shù)若函數(shù)不是線性函數(shù), , 則稱其為曲線坐標(biāo)系則稱其為曲線坐標(biāo)系 0

20、iixxJzzryrx,sin,cos例如：圓柱坐標(biāo)系11JJxxxxxxxxjrrijrriji01iixxJ二、局部基矢量二、局部基矢量 在笛卡兒坐標(biāo)系在笛卡兒坐標(biāo)系, , 空間任意向量空間任意向量( (張量張量) )都可以在基上分都可以在基上分解。這種做法可進(jìn)行兩種不同的解釋解。這種做法可進(jìn)行兩種不同的解釋: :(l) (l) 空空間里只有一個(gè)固定在原點(diǎn)的基間里只有一個(gè)固定在原點(diǎn)的基e ei i, , 先將向先將向量量( (張量張量) )平行移至原點(diǎn)平行移至原點(diǎn), , 然后在這基上分解。然后在這基上分解。(2)(2)在定義區(qū)域內(nèi)每點(diǎn)都有一個(gè)與在定義區(qū)域內(nèi)每點(diǎn)都有一個(gè)與e ei i相同的基

21、相同的基, , 即局部基即局部基, , 向量向量( (張量張量) )在本作用點(diǎn)的局部基上就在本作用點(diǎn)的局部基上就地分解。地分解。 1g2g3g3x2x1x2e1e3e二、局部基矢量二、局部基矢量 iiiiiiiiexxexxxrg ijjig gg度量張量 二、局部基矢量二、局部基矢量 21321sincossincos ,sin ,coseerggeeer1 rexxrrzzryrxiiii二、局部基矢量二、局部基矢量 321cossinergeerg32zrr100000012rijg二、局部基矢量二、局部基矢量 kjiijkgggAA 由于在曲線坐標(biāo)系并非所有坐標(biāo)都具有長(zhǎng)度量綱由于在曲線

22、坐標(biāo)系并非所有坐標(biāo)都具有長(zhǎng)度量綱 , 例例如如 , 圓柱坐標(biāo)中的。因此圓柱坐標(biāo)中的。因此 , 相對(duì)相對(duì) 應(yīng)的自然基矢量就不應(yīng)的自然基矢量就不是無量綱的單位矢量。具有一定物理意義的向量是無量綱的單位矢量。具有一定物理意義的向量 ( 張張量量 ) 在這樣的基上在這樣的基上 的各分量并不具有物理量綱的各分量并不具有物理量綱, 從而從而給直接的物理解釋帶來不便給直接的物理解釋帶來不便。二、局部基矢量二、局部基矢量 為了使張量在每個(gè)具體坐標(biāo)系里能取得具有物為了使張量在每個(gè)具體坐標(biāo)系里能取得具有物理量綱的分量理量綱的分量 , 在正交曲線坐標(biāo)系在正交曲線坐標(biāo)系 , 取切取切 于坐標(biāo)曲于坐標(biāo)曲線的無量綱單位矢

23、量作為基矢量線的無量綱單位矢量作為基矢量 , 即即iiigggiiige11 在物理標(biāo)架上分解的張?jiān)谖锢順?biāo)架上分解的張量量, , 其相應(yīng)的各分量能其相應(yīng)的各分量能取得相同的物理量綱取得相同的物理量綱 圓柱坐標(biāo)系的物理基3213213211000cossin0sincos1eeeggrgeee球坐標(biāo)系的物理基3213213210cossinsinsincoscoscoscossinsincossinsin11eeegrgrgeee三、張量對(duì)曲線坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)三、張量對(duì)曲線坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù) s sSiiiiiiiigSxSxSxxSegrrsse iiiiiiixgSxSxxS1 兩邊點(diǎn)乘ie三、張量對(duì)曲線坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)三、張量對(duì)曲線坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù) iiiiiiiieeexg1形式導(dǎo)數(shù)1. 1. 克里斯多弗符號(hào)克里斯多弗符號(hào)jkjjijjkijjkiijkkkjjiiijkggxggggggg1211,kijkjieedf1. 1. 克里斯多弗符號(hào)克