2020屆上海市金山中學高三上學期期中數(shù)學試題(解析版)

1、第1 1頁共 1818 頁2020屆上海市金山中學高三上學期期中數(shù)學試題一、單選題1 1若 a a 為實數(shù)，則a 1成立的一個充分不必要條件是()3A A.a 2B B.a 1C C. a a 0 0D D.a 1【答案】C C【解析】根據(jù)充分不必要條件的判斷方法， 本題就是找哪個選項中的范圍是a|a 1的子集，從而得到答案 【詳解】要求a 1成立的一個充分不必要條件即要找出它的一個充分不必要條件，只要找出由條件可以推出a 1. .反之不成立的條件即可. .即要找出一個范圍比不等式的范圍a|a 1小的真子集即可 只有選項 C C 滿足.故選：C C.【點睛】本題主要考查了充分條件與必要條件與充

2、要條件的判斷，本題解題的關鍵是把命題之間的關系轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關系，本題是一個基礎題.2 2 .如圖所示為函數(shù)f (x) 2sin( x )0,0 的部分圖像，點 A A 和點 B B之間的距離為 5 5,那么f 1為( )A A . x3B B. -1-1C C. 1 1D D. 、3【答案】B B第2 2頁共 1818 頁【解析】 根據(jù)代B兩點之間的距離為 5 5 可得函數(shù)的周期，得到的值，再根據(jù)圖像與第3 3頁共 1818 頁軸交于點0,1,可求出，然后可求f(0). .【詳解】根據(jù)圖像連接AB，過點 代B作y軸的垂線和平行線，交于點H. .即函數(shù) f f (x)(x)的周期T 6，

3、所以即f (0) 2sin 1，且0本題考查根據(jù)三角函數(shù)的圖像求函數(shù)表達式，考察三角函數(shù)的圖像性質(zhì)，屬于中檔題 3 3 .周脾算經(jīng)有記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣晷(guigui)長損益相同，晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即所測定的影子的長度，二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長變化量相同，周而復始，若冬至晷長最長是一丈三尺五寸，夏至 晷長最短是一尺五寸，(一丈等于 1010 尺，一尺等于 1010 寸)，則秋分節(jié)氣的晷長是 ()在直角三角形ABH中，AB 5,BH4，可得AH 3. .所以f(x)2叫x)，又圖像與軸交于點0,1所以f(x)2sin2sin -6故選：B B【

4、點第4 4頁共 1818 頁A A .七尺五寸B B.二尺五寸C C .五尺五寸D D .四尺五寸【答案】A A【解析】由題意從夏至到秋分到冬至的過程中晷長為等差數(shù)列，設為an，則夏至晷長為首項，冬至晷長為第 1313 項，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出.【詳解】由題意從夏至到秋分到冬至的過程中晷長為等差數(shù)列，設為an. .則 615,亦135, ,則公差d9且135 1510. .13 112秋分晷長為a7a16d 15 6075. .所以秋分節(jié)氣的晷長是七尺五寸故選：A A.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.下說法中正確的是（4 4 定義在 R R

5、 上的函數(shù)yf x滿足：對于任意實數(shù)X1、X2X1X2，有f X1f X2x2成立，函數(shù)g(x) f(2x) x 112X2、X，則以X1X2第5 5頁共 1818 頁A A .函數(shù)y f x在1,上可能單調(diào)遞減B B .函數(shù)y f x在1上不可能單調(diào)遞增C C 對于任意X1,X21,）且X1X2，有g X1g X2x1x2X1X?成立第6 6頁共 1818 頁g X g x2D D .對于任意X1,X21,)且X1X2，有 -【答案】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義和性質(zhì)以及利用作差的方法證明不等式對各個選項進【詳解】1,的單調(diào)遞增 所以 A A 不正確. .,1上單調(diào)遞增，則當 X X ,X,X2(

6、1,)(1,)時一 為1、一為， x21乙x2行判斷, 從而得到答案X1x2【解A.A.當X1,X21,)時,X f x23 xix20,所以函數(shù)y f x在X1X2時, ,Xif X1f x20 3x2成立，即,1可能單調(diào)遞增，故 B B不正確 又當 X Xi，X X2(1(1g為g X2X|x2f(2xi).XT1 12X12. f(2x2).廠12X22元X,x22 2f (2x1) f (2x2) 12 x1x2f(2G f(2x2)12 x12x22X1x2XiX2X1x2fX1x2X1f x2XX2f 2x1f 2X2X1X2X1gX2c12 x1X2X2X1X2f 2為f 2x2

7、2x12x23 2為2x23 x1x2f(2xj f(2x2)由3即12 xgX1x2X X2第7 7頁共 1818 頁若 x,Xx,X2中有一個為 1 1，不妨設x 1,由以上過程有：g Xig X23 X-!X2為X2區(qū)G 31 X21x2所以選項 D D 正確. .故選：D D【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性的定義和性質(zhì)的應用以及利用作差法證明不等式力，屬于難題 二、填空題5 5 .函數(shù)f (X) Jx(1 X)的定義域為 _ . .【答案】0,1【解析】 根據(jù)函數(shù)定義域滿足被開方數(shù)非負，可列出不等式x(1 x) 0，解出不等式即可. .【詳解】由函數(shù)f (x)x(x)的定義域滿足x(1 x

8、) 0. .解得：0 x1. .所以函數(shù)f (X)X(1X)的定義域為0,1 故答案為：0,1【點睛】本題考查具體函數(shù)的定義域問題，屬于基礎題此時g Xig X2XiX2X20. .，考查計算第8 8頁共 1818 頁6 6 .函數(shù)+的最小正周期為_【答案】【解析心：其周期為【考點】和差倍半的三角函數(shù)，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)7 7 .若1a 2,2b3, 則a的范圍是b【答案】!,13【解析】 先由2b3求出11 1，然后用不等式的基本性質(zhì)可求解3b 2【詳解】由2 b3，得1113b2111又1 a 2，由不等式的性質(zhì)有：1 a 23b21 a所以13 b1故答案為：一,13【點睛】1 1 1

9、本題考查不等式的性質(zhì)的應用，由2 b 3求得，是解題的關鍵.屬于基礎3 b 2題 8 8方程lg(x 1) lg(x 4)1的解為 x=x=_. .【答案】1 1【解析】由lg(x 1) lg(x 4)1有l(wèi)g (x 1)(x 4)1，則(x 1)(x 4)10結(jié)合對數(shù)的真數(shù)為正，可得到答案 【詳解】x 10根據(jù)題意有，得 x x 1.1.x 4 0由lg(x 1) lg(x 4)1得到lg (x 1)(x 4)1. .第9 9頁共 1818 頁即(x 1)(x 4)10,解得：x 1或x 6( (舍).).第 1010 頁 共 1818 頁故答案為： 1 1 【點睛】 本題考查解對數(shù)方程，注

10、意對數(shù)的真數(shù)為正，屬于基礎題 . .29 9 集合A y |y |X|,X R,B y | y 2 x ,x R，則AI B=_. .【答案】0,2【解析】 先分別求出集合 代B,再求交集AI B. .【詳解】由A y| y |X|,X R y| y 0. .2B y|y 2 X2,X R y|y 2所以AI B 0,2故答案為：0,2【點睛】本題考查集合的表示方法和集合求交集, ,屬于基礎題 . .1010 .在等差數(shù)列an中，印a2a3a?36，則a；a；圧的最小值為【答案】4848【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可由條件化簡得a 4d 4，代入a；a；a；中即可求解 【詳解】因為等差數(shù)列a

11、n中，a1a2a3a936，所以a14d 4，22 2 2 2 2 2所以a22a52a82(43d)242(43d)218d24848，222故a2a5a8的最小值為 4848，故答案為： 4848【點睛】 本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了學生的計算能力，屬于容易題. .1111.已知函數(shù)f(x)x22x，x0，則不等式f x2x x,x 0f (2x)的解集為【答案】(,0) U(2,)【解析】 先分析出函數(shù) f f (x)(x)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性可得2x22x，從而解出答案【詳解】第1111頁共 1818 頁作出函數(shù) f f(X)(X)的圖像，如圖由函數(shù)的圖像觀察可得，函數(shù)f(

12、x)f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù). .由f X2f(2 x)有x22X. .解得：x 2或X 0. .故答案為：(，0) U (2,)【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷，利用單調(diào)性解不等式，屬于基礎題. .1212 .已知函數(shù) y y f f x x x x 是偶函數(shù)，若g x x f x，貝yg 2 g 2= =_. .【答案】8 8【解析】由g 2 g 22 f(2) f( 2),根據(jù)函數(shù) y y f f x x x x 是偶函數(shù)可求出f (2) f( 2)，從而得出答案. .【詳解】設h(x)f xx,由條件h(x)為偶函數(shù). .所以h(2) h( 2)，即f(2)2 f( 2)2.

13、 .則f(2) f( 2)4. .所以g 2g 22f 22 f 22f(2) f( 2)2 4 8. .故答案為：8 8【點睛】本題考查利用偶函數(shù)的性質(zhì)求抽象函數(shù)的函數(shù)值，屬于中檔題第1212頁共 1818 頁1313.設函數(shù)f (x) sinkx coskx，其中 k k 是一個正整數(shù) 若對任意實數(shù) a a,均有f (x) |a x a 1f (x) | x R，則 k k 的最小值為 _ . .【答案】7 7【解析】 根據(jù)題意由函數(shù) f(x)f(x)的周期性和函數(shù)的最值，可得函數(shù)f f (x)(x)的最小正周期T 1，由此可求得答案 【詳解】f (x) sin kx coskx 2 si

14、n kx. .4若對任意實數(shù) a a,均有f (x) |a x a 1f (x) | x R即在任意一個長度為 1 1 的開區(qū)間上函數(shù) f f (x)(x)至少能取到一個最大值和最小值. .2則函數(shù) f f (x)(x)的最小正周期T 1，即T1，所以k 2. .k又 k k 是一個正整數(shù)，所以 k k 的最小值為 7.7.故答案為：7 7【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的周期性和最值，屬于中檔題1414 已知非空集合 M M 滿足M0,1,2,3，若存在非負整數(shù) k k (k 3)，使得對任意a M，均有2k a M，則稱集合 M M 具有性質(zhì) P P，則具有性質(zhì) P P 的集合 M M 的個數(shù)為

15、_ . .【答案】8 8【解析】分k的取值進行分情況計算討論滿足條件的集合M，從而得到答案. .【詳解】當k 0時，M為0. .當k 1時，M為1,0,2,0,1,23第1313頁共 1818 頁1616 已知數(shù)列an滿足：對任意大于1 1 正整數(shù) n n 都有anan 1a2n1成立，若1a22，a33，則a19a20a21a510的值為_【答案】14當k 2時，M為2, 1,3, 1,2,3當k 3時，M為.所以滿足條件的集合M有 8 8 個 故答案為：8 8【點睛】本題考查了集合的運算性質(zhì)、元素與集合之間的關系、新定義，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題.1515 如下圖，

16、數(shù)陣中每一個數(shù)分裂為下一行中的兩個數(shù)，其中左側(cè)的數(shù)為原數(shù)減去3 3,右側(cè)的數(shù)為原數(shù)的相反數(shù)，若前n n 行中不同數(shù)字的個數(shù)為a.n N*，則【解析】列出前幾行中的數(shù)據(jù)，可以分析歸納出前3 3 行分別有 1 1 個，2 2 個, 數(shù)字，從第 4 4 行起每行新增 4 4 個不同的數(shù)字，則可計算出a20i9的值. .【詳解】根據(jù)數(shù)陣中的規(guī)律可得，前 3 3 行分別有 1 1 個，2 2 個，3 3 個不同的數(shù)字可歸納出，從第 4 4 行起每行新增 4 4 個不同的數(shù)字（其余數(shù)字相同）所以前 20192019 行中不同數(shù)字的個數(shù)為a20191 2 3 2016 4 8070故答案為：80708070

17、【點睛】本題考查歸納推理，考查觀察分析能力，屬于中檔題3 3 個不同的第二第1414頁共 1818 頁a5ioa509L L 82551，這樣一直算到題目所需要的項的和，即可求解【詳解】由對任意大于 1 1 正整數(shù) n n 都有anan 1a2n1成立1由一有ai5ai8 .3將一代入得：玄19玄20a?1*510= =314故答案為：一3【點睛】 本題考查數(shù)列的特殊遞推關系，根據(jù)關系和所求找出規(guī)律是關鍵，屬于難題 三、解答題1717 .在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,cos A7. .8(1) 若b 3,c 2a，求 a a；(2) 若b c 4，求VABC的面積的最大值.

18、.【答案】(1 1)a 2或a -( 2 2)-15a254a253L La1271, ,ai26a1 25L La631a62a61LLa311, ,a30a29L La151所以ai5a18a19a20a21a5105.又a2a3a4LL8a2*3a4La8a9L812a2a3a4LLa14a2a3La6a-La141 22a255【解析】根據(jù)對任意大于 1 1 正整數(shù) n n 都有anan!a2n1成立，有所以851Oa509L L第1515頁共 1818 頁24【解析】 直接由余弦定理將條件代入，得到關于a的方程可解出邊a. .由cosA-，求出sin A, ,由b c 4利用均值不等

19、式求出bc的最大值，從而可得8答案 第1616頁共 1818 頁【詳解】所以S bcsin A上15，即VABC的面積的最大值為 一15244【點睛】本題考查余弦定理和利用均值不等式求三角形面積的最大值，屬于基礎題(1(1)求集合 A A;【解析】將不等式x 2 a 20變形為|x 2| 2 a，然后對a進行分離討論解不等式 2(2)(2)先求出集合B中元素滿足x k ,k Z，求出其中絕對值最小的值，即a的值,3再解不等式 【詳解】(1 1)解：|x 2| 2 a,2 a 0，即a 2時，A2 a 0，即a 2時，a 2 x 2 2 a, ,即a 4 x a所以A (a 4, a)綜上：a

20、2時，A. .a 2時，A (a 4, a). .(2)sinx3 cos x0,332 2 2 2(1)a b c 2bccosA,a9 4a212a7,a 2或a8(2)si nA, 1 cos A1818 .關于 x x 的不等式x 2 a 20 a R的解集為 A A.x 、3cos x 330 0 , , a a 恰好是 B B 中絕對值最小8(2 2)設集合B x|sin的元素，求集合 A.A.【答案】(1 1)A (a 4第1717頁共 1818 頁第1818頁共 1818 頁x k ,k Z，x k , k Z于是a【點睛】本題考查含絕對值不等式的解法和三角函數(shù)的化簡求值，屬于

21、基礎題1919 .已知：f (x) x21x(1(1)利用單調(diào)性定義證明: 在區(qū)間1,上是增函數(shù);22x的圖像沒有公共點，求實數(shù)X【詳解】【詳解】【答案】(1(1)證明見解析(2)(2)1,【解析】按照函數(shù)單調(diào)性的定義法證明的步驟進行證明即可設hx，即h x0恒成立，代入化簡可得h(x)t 2，通過配方即可得到答案(1(1)證明:任取X1,X21,)，且 X X1X X2，f x-1X22X1丄-2X1x2 -2X1因為1X1x2， 所以2X12X2122x-ix2所以2 2X1x2f x2f x在區(qū)間1,上增函數(shù)(2(2)解：yX的圖像與g X2x-的圖像沒有公共點X所以對任意x0有f x

22、g x恒成立,即h x 0恒成立得tan134(2(2)若y f X的圖像與t t 的取值范圍第1919頁共 1818 頁h(x)21+X2tX2小12x，則h(x)xxX12 x t 2X2h(x)X11t 1,所以h(x) t 1,)X所以t10,實數(shù)t t 的取值范圍為1,【點睛】本題考查利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性以及二次型函數(shù)的圖像性質(zhì)，考查構(gòu)造法，屬于中檔題 2020 .定義：對于一個項數(shù)為m m 2,m N*的數(shù)列an，若存在k N*且k m, 使得數(shù)列an的前 k k 項和與剩下項的和相等(若僅為 1 1 項，則和為該項本身)，我們稱 該數(shù)列是 等和數(shù)列”例如：因為32 1，所以

23、數(shù)列 3 3, 2 2, 1 1 是等和數(shù)列”請解答以下問題：(1)數(shù)列 1 1, 2 2, p p, 4 4 是 等和數(shù)列”，求實數(shù) p p 的值；(2) 項數(shù)為4t tN*的等差數(shù)列an的前 n n 項和為Snn N*, n 4t,St0, 求證：耳是等和數(shù)列”.(3)bn是公比為 q q 項數(shù)為mm N*,m 3的等比數(shù)列 0，其中q 2且bnOn N*, n m恒成立. .判斷 0 是不是 等和數(shù)列”，并證明你的結(jié)論. .【答案】(1 1)p 5或p 1或p 1(2 2)證明見解析 (3 3)bn不是 等和數(shù)列”, 證明見解析【解析】(1 1)對令k 1,2,3分別計算，得到答案. .

24、k2q2會得到矛盾，從而判斷處結(jié)論【詳解】(2)ta1邇3 d 0,得2a12(1 t) d，若bn是等和數(shù)列，存在 k k 使得Sk2Sk，即k(k t)d 6t d. .分 d d0進行討論即可. .(3)假設bn是等和數(shù)列”則存在km，使得BkBmBk成立，即第2020頁共 1818 頁(1)若k 1，即12 p 4，則p5. .第2121頁共 1818 頁若k 2，即12 p 4，則p 1. .若k3，即12p 4，則p 1. .所以p5或p1或p 1（2 2）證明方法一：Stta1t(t衛(wèi)d 0，所以2a1(1 t) d2假設存在 k k 使得數(shù)列an的前 k k 項和與剩下項的和相

25、等，即SkS4tSk，所以2SkS4t. .2ka1k(k1) d4ta12 t(4t1) d，k(1t) dk(k1)d2t(1 t)d2t(4t 1)d，即k(k t)d6t2dd . .當 d d0 0 時,an0，對任意k k*N ,k4t都有Sk0，S4t0，即SkS4tSk，所以此匕時 a,a,n是等和數(shù)列”；當d0時，k(k2 2t) 6t，k2kt6t20，此時k3t或k2（舍去） 即存在k 3t N*且k 4t，使得SkS4tSk成立，所以此時an是等和數(shù)列 由上得：an是等和數(shù)列”證明方法二：設an公差為 d d.St七 j，S2tStat!at 2a2t，同理：S3t$專

26、t，S4tS3.寧t，于是S2tStSat 1a2ta1at.2tdtt2d，同理t22S3tStS2tStt d，S4tS3t2S3tS2tt d，即St，S2tSt，S3tS2t，S4t 成等差數(shù)列,所以S.SltStS2tSStS?t，因為St0，所以S4tS3tS3.，即存在k3t，使得SkS4tSk，所以an是等和數(shù)列”（3 3）bn不是等和數(shù)列”證明方法一：設Bn為bn的前 n n 項和第2222頁共 1818 頁反證法：假設結(jié)論不成立，即bn是等和數(shù)列”,則存在k N且k m，使得BkBmBk成立，即2BkB是qk bL丄工成立，即2qk1 qm1 q1 qq 2時，2qk1 2

27、qkqk 1,m k，即m k 1，所以q即bn不是等和數(shù)列”【點睛】力，屬于中檔題 2121 .定義：如果存在實常數(shù)a a 和 b b,使得函數(shù)f x總滿足f(x) f (2a x) x b, 我們稱這樣的函數(shù)f所以2qk1 qm，與2qk1 qm產(chǎn)生矛盾. .所以假設不成立,bn不是等和數(shù)列”證明方法二：反證法：假設結(jié)論不成立，即bn是等和數(shù)列則存在k N且k m，使得BkBmBk成立，即2BkBm. .曰2b 1 qk是-1 q即2qk1 qm得到21這里2qm k 1得qm k2產(chǎn)生矛盾所以假設不成立，即bn不是等和數(shù)列”證明方法三:先證該數(shù)列滿足：設Bn為bn前 n n 項和，則對任

28、意n N都有Bn成立 證明：bn1Bnbqnb qn1q 1b qn(q 2) 1因為q 2，所以q 1qn(q2)1 o，bio，所以u qn(q2)1所以Bnbn 1恒成立 由此得：對任意k Nm，Bkbn，即BkBmBk，所以不存在k N且km，使得BkBmBk成立，本題利用數(shù)列中的新定義考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和, ,考查計算能力和推理能第2323頁共 1818 頁x是“a,b型函數(shù)”請解答以下問題:_x(J已知函數(shù)f (x) Ig p 1 (p 0, p 1)是“0,b型函數(shù)”求p和b的值;2 2 2(2) 已知函數(shù)f(x) (x 1)5(x (x 5)5kx是“a,m型函數(shù)”

29、求一組滿 足條件的 k k、m m 和 a a 的值，并說明理由. .(3) 已知函數(shù)y f x是一個“0,0型函數(shù)”且f 00,y f x是增函數(shù)，若M x,y是f x在區(qū)間2,2上的圖像上的點，求點M M 隨著f x變化可能到達的區(qū)域的面積的大小，并證明你的結(jié)論. .p 101【答案】(1)( 2 2)k -，m 3，a 3，理由見解析(3 3)M M 點在不等b 02式y(tǒng)(y x) 0(x 0時等號不成立)所表示的區(qū)域內(nèi)，面積為4 4，證明見解析【解析】由函數(shù)f (x) lg p 1 ( p 0, p 1)是0, b型函數(shù)”則有f (x) f( x) x b，將函數(shù)表達式代入可求出p,b的值. .(2)(2)先證明y f x的圖像是關于x 3對稱的，然后根據(jù)fX是“a,m型函