實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法-3-插值法_

1、計(jì)計(jì) 算算 方方 法法授課老師：聶德明 仰儀北樓606計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院Numerical Method3 插值方法插值方法問題的提出問題的提出拉格朗日插值多項(xiàng)式拉格朗日插值多項(xiàng)式分段線性插值分段線性插值約瑟夫約瑟夫路易斯路易斯拉格朗日，拉格朗日，(Joseph-Louis Lagrange，1736年年1月月25日日1813年年4月月10日日)，是是法國法國籍籍意大利意大利裔裔數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家和和天文學(xué)家天文學(xué)家。拉格朗日一生才華橫溢，在拉格朗日一生才華橫溢，在數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)、物理物理和和天文天文等領(lǐng)域做出了很多重大的等領(lǐng)域做出了很多重大的貢獻(xiàn)。他的成就包括著名的貢獻(xiàn)。他的成就包括著名的

2、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，創(chuàng)立了創(chuàng)立了拉格朗日力學(xué)拉格朗日力學(xué)等等。等等。xyxixi+1xmyi = f(xi)p(x) f(x)yi+1yiy = p(x)y = f(x)3.1 代數(shù)插值問題代數(shù)插值問題 012012nnxxxxxyyyyyy = f (x) y=P(x)y=P(x)已知某個(gè)函數(shù)關(guān)系已知某個(gè)函數(shù)關(guān)系y = f (x)在某些離散點(diǎn)上的函數(shù)值：在某些離散點(diǎn)上的函數(shù)值： y yk k=P(x=P(xk k),),k=0,1,nk=0,1,n 插值函數(shù)插值函數(shù)插值條件插值條件常用的方法：常用的方法：P(x)為多項(xiàng)式為多項(xiàng)式Pn(x) 2012( )nnnP xaa xa

3、xa xPn(x) n次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式（1）n=1 : P1 (x) = a0 + a1x （2）n=2 : P2 (x) = a0 + a1x + a2x2 線性插值線性插值拋物插值拋物插值定理定理3.1(3.1(插值多項(xiàng)式存在的唯一性插值多項(xiàng)式存在的唯一性) )滿足條件滿足條件Pn(xj ) = yj (j=0,1n)的的n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式是存在而且唯一的。是存在而且唯一的。2012( )nnnP xaa xa xa x插值條件插值條件()0,1,njjP xyjn0010001 11101111nnnnnnnnnax ax ayax ax ayax ax ay 方程組的系數(shù)行列式

4、為方程組的系數(shù)行列式為 200021110211()01nnijj i nnnnnxxxxxxDxxxxx Pn(x)由由a0 , a1 , an 唯一確定唯一確定 一、線性插值一、線性插值 (x0, y0)(x1 , y1)x0 x1y=f(x)P1(x) =a0 + a1x P1(x)a0 + a1x0 = y0 a0 + a1x1 = y1 100110011010 x yx yyyaaxxxx011010110( )xxxxP xyyxxxx3.2 拉格朗日插值多項(xiàng)式拉格朗日插值多項(xiàng)式 011010110( )xxxxP xyyxxxx一、線性插值一、線性插值 01010110( )(

5、 )xxxxl xl xxxxx10011( )( )( )P xl x yl x y0001()1()0lxlx1011()0( )1l xl x基本插值多項(xiàng)式基本插值多項(xiàng)式例：求例：求115 （ 10.723805）011010110( )xxxxP xyyxxxx一、線性插值一、線性插值 22012( )P xaa xa xx0 x2x1y=f(x)P2(x)2( ),0,1, 2iiP xyi10011( )( )( )P xl x yl x y2001122( )( )( )( )P xl x yl x yl x y000102101112202122()1()0()0()0()1(

6、)0()0()0()1lxlxlxl xl xl xlxlxlx1200102()()( )()()xxxxl xxxxx0211012()()( )()()xxxxl xxxxx0122021()()( )()()xxxxl xxxxx二、拋物插值二、拋物插值 2001122( )( )( )( )P xl x yl x yl x y1200102()()( )()()xxxxl xxxxx0211012()()( )()()xxxxl xxxxx0122021()()( )()()xxxxl xxxxx二、拋物線插值二、拋物線插值 例：求例：求115 （x* = 10.723805）2(1

7、15 121)(115 144)115(115)10(100 121)(100 144)(115 100)(115 144)11(121 100)(121 144)(115 100)(115 121)12(144 100)(144 121)10.7228P二、拋物線插值二、拋物線插值 三、三、 n次拉格朗日插值多項(xiàng)式次拉格朗日插值多項(xiàng)式 012012nnxxxxxyyyyy2012( )nnnP xaa xa xa x( ),0,1, 2.niiP xyin1( )0kikilxki0( )( )nnk kkP xy lx011101110()()()()()( )()()()()()kknk

8、kkkkkkknnjjkjj kxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxxxxx000( )( )nnnjnkkkkkjkjj kxxP xlx yyxx 000( )( )nnnjkkkkkjjj knkxxlx yyxxL x 012( ), ( ), ( ),.,( )nlx l x lxlx插值基函數(shù)01010110( )( )xxxxl xl xxxxx1200102()()( )()()xxxxl xxxxx0211012()()( )()()xxxxl xxxxx0122021()()( )()()xxxxl xxxxx例子（二次、三次）例子（二次、三次） 0101xxxyyy012012xxxxyyyy四、拉格朗日插值多項(xiàng)式插值余項(xiàng)四、拉格朗日插值多項(xiàng)式插值余項(xiàng)( )( )( )nnR xf xL x定理定理3.2設(shè)設(shè)f(n)(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上連續(xù)，上連續(xù)，f(n+1)(x)在在a, b上存在，上存在，x0, x1, xn是是a, b上互異的數(shù)，上互異的數(shù)，Ln(x)是滿足插值條件是滿足插值條件Ln(xj )=yj (j=0,1,n)的的n次插值多項(xiàng)式，則對(duì)任意次插值多項(xiàng)式，則對(duì)任意x a,b，插值余項(xiàng)，插值余