對稱三支座懸臂梁均布荷載下任意一點(diǎn)位移方程

1、對稱三支座懸臂梁均布荷載下任意一點(diǎn)位移方程摘要：本文經(jīng)過嚴(yán)密的邏輯推理，給出了對稱三支座懸臂梁力學(xué)計(jì)算的通用公式，這些通用公式在橋梁蓋梁無支架抱箍工字鋼施工等力學(xué)驗(yàn)算中將得到應(yīng)用。關(guān)鍵詞：三支座；懸臂梁；工字鋼對稱三支座懸臂梁，由于其力學(xué)體系為一次超靜定結(jié)構(gòu)，因此其抗彎強(qiáng)度、抗剪強(qiáng)度及其撓度的計(jì)算很復(fù)雜，必須經(jīng)過嚴(yán)密的邏輯推理，求出其力學(xué)計(jì)算的通用公式，這些通用公式在橋梁蓋梁無支架抱箍施工中工字鋼做為橫擔(dān)梁等力學(xué)驗(yàn)算中將得到應(yīng)用。一、 已知參數(shù)懸臂梁上承擔(dān)均布荷載q，懸臂梁長le，兩支座間距ale,則懸臂梁長為（0.5-a）le,其基本受力體系如下：ale（0.5-a）lealele（0.5-

2、a）leX1q二、受力計(jì)算本受力組合為一次超靜定結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)簡圖如下：alealele（0.5-a）le（0.5-a）le對稱三支座懸臂梁計(jì)算簡圖alealeX1根據(jù)一次超靜定結(jié)構(gòu)的力法基本方程：11X1+1P=0進(jìn)行求解，為了計(jì)算，分別繪出基本結(jié)構(gòu)在X1=1作用下的彎矩圖圖及荷載q和作用下的彎矩圖M圖，求得：圖由于中軸兩側(cè)對稱，因此可取單側(cè)計(jì)算后再乘以2，因此有：11=2 =2 = alealeM圖而對于1P：1P =2 =2 = 根據(jù)：X1- =0從而得：X1=根據(jù)下圖，可知：ale（0.5-a）lealele（0.5-a）leX1qX2X3X2=X3； X1+X2+X3=qle從而求得：X

3、2=X3=對于截取的隔離體做順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的剪力為正，做逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的剪力為負(fù)，則剪力圖如下：alealeQ圖（kN）當(dāng)x從左側(cè)向支座X2增加時(shí)：當(dāng)x從X2向支座X1增加時(shí)：對上述函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得：可知當(dāng)：時(shí)：則彎矩圖如下：alealeM圖（kNm） 抗彎強(qiáng)度計(jì)算根據(jù)彎矩圖，可計(jì)算懸臂梁的最大彎矩，并可知最大正應(yīng)力在接近跨中位置：=Mmax/Wx = / Wx 抗剪強(qiáng)度計(jì)算k由于剪力產(chǎn)生的剪應(yīng)力沿截面分布不均勻而引用的修正系數(shù)，其值與截面形狀有關(guān)，A為截面面積，則最大剪應(yīng)力：= 撓度計(jì)算對于對稱的三支座一次超靜定懸臂梁結(jié)構(gòu)，最大撓度會(huì)在兩個(gè)位置形成，一是懸臂梁兩邊最邊緣位置，一是中間支座與邊緣支座之

4、間某一位置，撓度最大值即是這兩位置中的最大值。ale（0.5-a）lealele（0.5-a）leX1P為求得最大位移，先求在荷載P作用下的彎矩圖圖，以支座X2為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)P的作用點(diǎn)距離支座X2的距離為y，y取值范圍為：-（0.5-a）le，ale：alealeX1根據(jù)一次超靜定結(jié)構(gòu)的力法基本方程：11X1+1P=0進(jìn)行求解，為了計(jì)算，分別繪出基本結(jié)構(gòu)在X1=1作用下的彎矩圖圖及荷載q和作用下的彎矩圖M圖，求得：圖在X1=1作用下的彎矩M有：當(dāng)0xale時(shí)：當(dāng)alex2ale時(shí)：由于中軸兩側(cè)對稱，因此可取單側(cè)計(jì)算后再乘以2，因此有：11=2 =2 = 而對于1P：alealeP=1當(dāng)-（0.

5、5-a）lexy時(shí)：當(dāng)yx+（0.5+a）le時(shí)：1P = 則有：解得：以X2支座為坐標(biāo)原點(diǎn)，根據(jù)M=0，可知：解得：根據(jù)Q=0，可知：X1+X2+X3=Pale（0.5-a）lealele（0.5-a）leX1PX3X2從而求得超靜定梁距X2支座x的截面上的彎矩M（x）：當(dāng)0xy時(shí)：當(dāng)yxale時(shí)：當(dāng)alex2ale時(shí)：當(dāng)P=1時(shí)的彎矩圖如下：alealeX1P=1X3X2而對于1P，在均布荷載q作用下，當(dāng)x從左側(cè)向支座X2增加時(shí)：當(dāng)x從X2向支座X1增加時(shí)：而當(dāng)x從支座X1增加到X3時(shí)，其直接推理的計(jì)算公式很復(fù)雜，但如果計(jì)算x從X3向支座X1增大時(shí)的彎矩，則簡單很多，而此段的單位位移彎矩為

6、：當(dāng)0xale時(shí)：而其均布荷載彎矩公式依然是：則：1P = 對上述公式進(jìn)行求導(dǎo)，得：設(shè)其值為等于0，用漸近法求解，則可求得y，從而求得最大撓度。同理，單位力P=1位于端點(diǎn)時(shí)：為求得伸臂梁兩端的撓度，須先求單位力P=1位于端點(diǎn)時(shí)的彎矩，如想先求得P=1位于伸臂梁端時(shí)的彎矩圖，則需知道各支座反力，各支座反力的求法如下：alealeX1圖在X1=1作用下的彎矩M有：當(dāng)0xale時(shí)：當(dāng)alex2ale時(shí)：由于中軸兩側(cè)對稱，因此可取單側(cè)計(jì)算后再乘以2，因此有：11=2 =2 = 而對于1P：alealeP=1當(dāng)x從端點(diǎn)變化到支座X2時(shí)：當(dāng)x從支座X2變化到支座X1時(shí)：1P=根據(jù)11X1+1P=0，得：從而求得：alealeP=1在P=1作用下各段彎矩表達(dá)式：當(dāng)x在-（0.5-a）le至X2之間時(shí)：當(dāng)x在X2至X1之間時(shí)：當(dāng)x在X3至X1之間時(shí)，并由X3向X1增大時(shí)：而對于1P，在均布荷載q作用下，當(dāng)x從左側(cè)向支座X2增加時(shí)：當(dāng)x從X2向支座X1增加時(shí)：而當(dāng)x從支座X1增加到X3時(shí)，其直接推理的計(jì)算公式很復(fù)雜，但如果計(jì)算x從X3向支座X1增大時(shí)的彎矩，則簡單很多，而此段的單位位移彎矩為：而其均布荷載彎矩公式依然是：則：1P = 三、結(jié)束語根據(jù)受力計(jì)算公式，可求最大正應(yīng)力，最大剪應(yīng)力，及懸臂梁兩邊及跨中的最大撓度。當(dāng)這些計(jì)算結(jié)果都符合規(guī)范要求時(shí)，其力學(xué)驗(yàn)算通過，才能使