對稱三支座懸臂梁均布荷載下任意一點位移方程

1、對稱三支座懸臂梁均布荷載下任意一點位移方程摘要：本文經過嚴密的邏輯推理，給出了對稱三支座懸臂梁力學計算的通用公式，這些通用公式在橋梁蓋梁無支架抱箍工字鋼施工等力學驗算中將得到應用。關鍵詞：三支座；懸臂梁；工字鋼對稱三支座懸臂梁，由于其力學體系為一次超靜定結構，因此其抗彎強度、抗剪強度及其撓度的計算很復雜，必須經過嚴密的邏輯推理，求出其力學計算的通用公式，這些通用公式在橋梁蓋梁無支架抱箍施工中工字鋼做為橫擔梁等力學驗算中將得到應用。一、 已知參數懸臂梁上承擔均布荷載q，懸臂梁長le，兩支座間距ale,則懸臂梁長為（0.5-a）le,其基本受力體系如下：ale（0.5-a）lealele（0.5-

2、a）leX1q二、受力計算本受力組合為一次超靜定結構，結構簡圖如下：alealele（0.5-a）le（0.5-a）le對稱三支座懸臂梁計算簡圖alealeX1根據一次超靜定結構的力法基本方程：11X1+1P=0進行求解，為了計算，分別繪出基本結構在X1=1作用下的彎矩圖圖及荷載q和作用下的彎矩圖M圖，求得：圖由于中軸兩側對稱，因此可取單側計算后再乘以2，因此有：11=2 =2 = alealeM圖而對于1P：1P =2 =2 = 根據：X1- =0從而得：X1=根據下圖，可知：ale（0.5-a）lealele（0.5-a）leX1qX2X3X2=X3； X1+X2+X3=qle從而求得：X

3、2=X3=對于截取的隔離體做順時針旋轉的剪力為正，做逆時針旋轉的剪力為負，則剪力圖如下：alealeQ圖（kN）當x從左側向支座X2增加時：當x從X2向支座X1增加時：對上述函數進行求導，得：可知當：時：則彎矩圖如下：alealeM圖（kNm） 抗彎強度計算根據彎矩圖，可計算懸臂梁的最大彎矩，并可知最大正應力在接近跨中位置：=Mmax/Wx = / Wx 抗剪強度計算k由于剪力產生的剪應力沿截面分布不均勻而引用的修正系數，其值與截面形狀有關，A為截面面積，則最大剪應力：= 撓度計算對于對稱的三支座一次超靜定懸臂梁結構，最大撓度會在兩個位置形成，一是懸臂梁兩邊最邊緣位置，一是中間支座與邊緣支座之

4、間某一位置，撓度最大值即是這兩位置中的最大值。ale（0.5-a）lealele（0.5-a）leX1P為求得最大位移，先求在荷載P作用下的彎矩圖圖，以支座X2為坐標原點，設P的作用點距離支座X2的距離為y，y取值范圍為：-（0.5-a）le，ale：alealeX1根據一次超靜定結構的力法基本方程：11X1+1P=0進行求解，為了計算，分別繪出基本結構在X1=1作用下的彎矩圖圖及荷載q和作用下的彎矩圖M圖，求得：圖在X1=1作用下的彎矩M有：當0xale時：當alex2ale時：由于中軸兩側對稱，因此可取單側計算后再乘以2，因此有：11=2 =2 = 而對于1P：alealeP=1當-（0.

5、5-a）lexy時：當yx+（0.5+a）le時：1P = 則有：解得：以X2支座為坐標原點，根據M=0，可知：解得：根據Q=0，可知：X1+X2+X3=Pale（0.5-a）lealele（0.5-a）leX1PX3X2從而求得超靜定梁距X2支座x的截面上的彎矩M（x）：當0xy時：當yxale時：當alex2ale時：當P=1時的彎矩圖如下：alealeX1P=1X3X2而對于1P，在均布荷載q作用下，當x從左側向支座X2增加時：當x從X2向支座X1增加時：而當x從支座X1增加到X3時，其直接推理的計算公式很復雜，但如果計算x從X3向支座X1增大時的彎矩，則簡單很多，而此段的單位位移彎矩為

6、：當0xale時：而其均布荷載彎矩公式依然是：則：1P = 對上述公式進行求導，得：設其值為等于0，用漸近法求解，則可求得y，從而求得最大撓度。同理，單位力P=1位于端點時：為求得伸臂梁兩端的撓度，須先求單位力P=1位于端點時的彎矩，如想先求得P=1位于伸臂梁端時的彎矩圖，則需知道各支座反力，各支座反力的求法如下：alealeX1圖在X1=1作用下的彎矩M有：當0xale時：當alex2ale時：由于中軸兩側對稱，因此可取單側計算后再乘以2，因此有：11=2 =2 = 而對于1P：alealeP=1當x從端點變化到支座X2時：當x從支座X2變化到支座X1時：1P=根據11X1+1P=0，得：從而求得：alealeP=1在P=1作用下各段彎矩表達式：當x在-（0.5-a）le至X2之間時：當x在X2至X1之間時：當x在X3至X1之間時，并由X3向X1增大時：而對于1P，在均布荷載q作用下，當x從左側向支座X2增加時：當x從X2向支座X1增加時：而當x從支座X1增加到X3時，其直接推理的計算公式很復雜，但如果計算x從X3向支座X1增大時的彎矩，則簡單很多，而此段的單位位移彎矩為：而其均布荷載彎矩公式依然是：則：1P = 三、結束語根據受力計算公式，可求最大正應力，最大剪應力，及懸臂梁兩邊及跨中的最大撓度。當這些計算結果都符合規(guī)范要求時，其力學驗算通過，才能使