定積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、第五章 定積分利用定積分的換元積分法與分部積分法計(jì)算定積分例8 計(jì)算下列定積分：； ； .解 該積分含有根號(hào)，作三角代換，可去掉根號(hào)，化為三角有理式的積分，并利用積分恒等式求解。注意在去掉被積函數(shù)的根號(hào)時(shí)，應(yīng)先寫成絕對(duì)值形式，再根據(jù)積分區(qū)間確定其正負(fù)。令，則 ，由 ，有 ，所以，即.注 這里若不使用恒等式，則需進(jìn)行萬(wàn)能代換，計(jì)算較繁瑣。被積函數(shù)是的一次多項(xiàng)式開平方，需做換元去掉根式，注意到兩個(gè)被開方式不同，為同時(shí)去掉根號(hào)，設(shè)，則，于是 .本題易想到取，用分部積分法求解。但由于不易積分，所以不便使用分部積分法。注意到，故利用正弦與余弦互余的關(guān)系及換元積分公式求解。= =，令，則 ，所以 .例9

2、解下列各題：設(shè)，求；已知，求.解 被積函數(shù)為變上限積分，且由已知有，用分部積分公式，則 .這里被積函數(shù)為抽象函數(shù)，并含有的二階導(dǎo)數(shù)，故用分部積分法可求解，注意到是復(fù)合函數(shù)形式，故令，先用換元積分法再用分部積分法求解。 .4.利用積分恒等式計(jì)算定積分例10 求下列定積分：； ； .分析 定積分的計(jì)算方法和計(jì)算技巧與不定積分相比有許多相似之處，但也有不同，主要體現(xiàn)在利用對(duì)稱性、周期性、幾何意義以及區(qū)間變換、拆分區(qū)間或合并區(qū)間及積分恒等式簡(jiǎn)化計(jì)算。解 這是對(duì)稱區(qū)間的積分，若被積函數(shù)具有奇偶性，則可利用定積分的“偶倍奇零”性質(zhì)求解。為此先對(duì)分母有理化，將被積函數(shù)化成兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和，再討論其奇偶性。.

3、積分區(qū)間為對(duì)稱區(qū)間，但被積函數(shù)不具有奇偶性。利用積分等式 有 所求積分為形式，由積分恒等式可簡(jiǎn)化計(jì)算，也可用代換計(jì)算。方法1 .這是三角有理式的積分，令可化為有理函數(shù)的積分，但有理函數(shù)分母次數(shù)較高，使積分困難。注意到可將正切函數(shù)化為余切函數(shù)，于是可利用正切和余切的關(guān)系求解。若將原積分化為，且利用，則積分形如，故也可利用公式計(jì)算。方法1 令，則 ， 所以5.分段函數(shù)的定積分例11 解下列各題：求； 求；設(shè)，求.分析 當(dāng)被積函數(shù)是分段函數(shù)時(shí)，利用定積分對(duì)區(qū)間的可加性計(jì)算定積分。注意到絕對(duì)值函數(shù)與最大（?。┲岛瘮?shù)，本質(zhì)上都是分段函數(shù)，故先化為分段函數(shù)再求解。解 被積函數(shù)含有絕對(duì)值符號(hào)，一般令絕對(duì)值之

4、內(nèi)的式子為零，求出積分區(qū)間的零點(diǎn)，把被積函數(shù)化為分段函數(shù)。對(duì)本題令，得，則 于是 .被積函數(shù)為最大值函數(shù)，將其化為分段函數(shù)。 于是.被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，故先用換元法將化為，再用分段函數(shù)的積分方法計(jì)算。令，則 . 7.廣義積分的計(jì)算例15 求下列廣義積分：； ； .解題思路 對(duì)積分，應(yīng)先判別它是否為廣義積分，且為哪種類型的廣義積分（特別是無(wú)界函數(shù)的廣義積分），然后將其分解為只有一個(gè)積分限為無(wú)窮大或瑕點(diǎn)（奇點(diǎn)）的廣義積分和，用定義判別各廣義積分收斂性或求其值。如果其中有一個(gè)積分發(fā)散，則原廣義積分發(fā)散；若所有的廣義積分都收斂，則原廣義積分收斂，且其值為各部分值的代數(shù)和。解 這是無(wú)窮區(qū)間的廣義積分，上

5、、下限均是無(wú)窮大，在區(qū)間中插入分點(diǎn)0，則 ，因?yàn)?，所以 .被積函數(shù)在時(shí)無(wú)界，故為瑕點(diǎn)，區(qū)間被瑕點(diǎn)進(jìn)行了分割，于是 .因?yàn)椋允氰c(diǎn)，這是混合型的廣義積分，故 .令，則 . 例18 設(shè)連續(xù)，求.錯(cuò)解 因?yàn)?，所?分析 被積函數(shù)中含有積分上限變量，不能直接利用原函數(shù)存在定理求導(dǎo)數(shù)。正解 因?yàn)?，所以 ， .例3 求由與軸圍成圖形的面積。分析 曲線與軸交于點(diǎn)，故軸的兩側(cè)均有圖形，被積函數(shù)應(yīng)取絕對(duì)值，由定積分的幾何意義可求面積。解 曲線與軸的三個(gè)交點(diǎn)為，則 例5 求擺線的一拱與所圍平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周而成旋轉(zhuǎn)體的體積。分析 所求體積為兩個(gè)體積之差，被減數(shù)為矩形繞旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。解 擺線的一拱與所圍圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周而成旋轉(zhuǎn)體的體積， ， ，所以.例12 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)大于零，并滿足（為常數(shù)），又曲線與直線所圍的圖形的面積為2.求函數(shù)；為何值時(shí)，圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積最小。分析 由已知等式（為常數(shù)）可得 ，故由在的連續(xù)性，對(duì)關(guān)系式兩邊求不定積分，可確定的含有任意常數(shù)的表達(dá)式，再由已給的面積關(guān)系確定，從而可以討論旋轉(zhuǎn)體的體積。解 由已知條件可得 .對(duì)上式求不定積分，由在的連續(xù)性得