實驗二迭代法初始值與收斂性

1、實驗二：迭代法、初始值與收斂性一：實驗要求考慮一個簡單的代數(shù)方程針對上述方程，可以構(gòu)造多種迭代法，如等。在實軸上取初值，分別用以上迭代做實驗，記錄各算法的迭代過程。二：實驗要求及實驗結(jié)果（1） 取定某個初始值，按如上迭代格式進(jìn)行計算，它們的收斂性如何？重復(fù)選取不同放入初始值，反復(fù)實驗。請讀者自行設(shè)計一種比較形象的記錄方式（如何利用Matlab的圖形功能），分析三種迭代法的收斂性與初值的選取關(guān)系。（2） 對三個迭代法中的某一個，取不同的初值進(jìn)行迭代，結(jié)果如何？試分析對不同的初值是否有差異？實驗內(nèi)容：）對進(jìn)行迭代運(yùn)算，選取迭代次數(shù)n=20；分別選擇初值-0.6， 1.6進(jìn)行實驗，并畫出迭代結(jié)果的趨

2、勢圖。編寫MATLAB運(yùn)算程序如下：%迭代法求解 %令x=x2-1clearn=30; x=-0.5; x1=x2-1; for i=1:n x1=x12-1; xx(i)=x1;endm=linspace(0,29,n); plot(m,xx)title('x=-0.5')如上圖所示，選取初值分別為-0.6、1.6時，結(jié)果都是不收斂的。分析：，要想在某一鄰域上但是，所以不存在某個鄰域使得該迭代公式收斂。即迭代公式對任何初值都是發(fā)散的。）對進(jìn)行迭代運(yùn)算，選取迭代次數(shù)n=30；分別選擇初值=-0.7， 2.1進(jìn)行實驗，并畫出迭代結(jié)果的趨勢圖。編寫MATLAB運(yùn)算程序如下：%迭代法

3、求解 %令x=x2-1clearn=20; x=-0.5; x1=1+1./x; for i=1:n x1=1+1./x1; xx(i)=x1;endm=linspace(0,29,n); plot(m,xx,'b')title('x=-0.5')如上圖所示，選取初值分別為-0.7、2.1時，結(jié)果都是收斂。分析：設(shè) 在上有界，且則由迭代式對任意初始值產(chǎn)生的序列都收斂。同時由可以看到，在選取初值，在進(jìn)行n次迭代后，都會存在一個，此時相當(dāng)于是在范圍內(nèi)的初始值，迭代公式產(chǎn)生的序列收斂。所以初值的選取對數(shù)列的收斂性沒有影響。）對進(jìn)行迭代運(yùn)算，選取迭代次數(shù)n=20；分別選

4、擇初值=-0.6，2.1進(jìn)行實驗，并畫出迭代結(jié)果的趨勢圖。編寫MATLAB運(yùn)算程序如下：%迭代法求解 %令x=sqrt(1+x)clearn=20; x=-0.5; x1= sqrt(1.+x); for i=1:n x1= sqrt(1+x1); xx(i)=x1;endm=linspace(0,29,n); plot(m,xx,'b')title('x=-0.5')如上圖所示，選取初值分別為-0.6、2.1時，結(jié)果都是收斂。分析：設(shè) 在實數(shù)域上有界，且則由迭代式對任意初始值產(chǎn)生的序列都收斂。同時由可以看到，在選取初值，對迭代結(jié)果所產(chǎn)生的虛數(shù)的實部和虛部也是收

5、斂的。如初值選取x=-3，得到20次的迭代結(jié)果如下：實部收斂于1.618，虛部收斂于0， Columns 1 through 5 1.1688 + 0.6050i 1.4867 + 0.2035i 1.5782 + 0.0645i 1.6058 + 0.0201i 1.6143 + 0.0062i Columns 6 through 10 1.6169 + 0.0019i 1.6177 + 0.0006i 1.6179 + 0.0002i 1.6180 + 0.0001i 1.6180 + 0.0000i Columns 11 through 15 1.6180 + 0.0000i 1.618

6、0 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i Columns 16 through 20 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i上圖是初值選取為-3的迭代結(jié)果趨勢圖，可以看出，當(dāng)?shù)Y(jié)果為虛數(shù)時，迭代結(jié)果最終還是收斂的。在進(jìn)行n次迭代后，實部都會存在一個，此時相當(dāng)于是在范圍內(nèi)的初始值，迭代公式產(chǎn)生的序列收斂。所以初值的選取對數(shù)列的收斂性沒有影響。（3） 線性方程組迭代法的收斂性是不依賴初值的選取的。比較線性與非線性問題迭代的差異，有何結(jié)論和問題。）對線性方程，設(shè)，則。若線性方程的迭代是收斂的，則有對而言，在上，都有，所以，對任何初值，方程的迭代都是收斂的，不受初值的影響。若線性方程的迭代是發(fā)散的，則對任何初值都發(fā)散，方程迭代的收斂性也不受初值的影響。）對非線性方程的迭代，就復(fù)雜的