圓周卷積的積分算法

1、2 圓周卷積原理2.1 圓周卷積定義有兩個(gè)有限長(zhǎng)序列和。設(shè)和的長(zhǎng)度分別為N1和N2，N=maxN1, N2。若、的離散付里葉變換分別為、，且有 =則 =IDFT =上式即為序列與的圓周卷積，習(xí)慣表示為 =?？梢钥闯?，圓周卷積和周期卷積過程一樣，只不過這里要取結(jié)果的主值序列。公式中的只在m=0到N-1范圍內(nèi)取值，因而它就是圓周移位，所以這一卷積和稱為圓周卷積。圓周卷積與周期卷積之間的關(guān)系，就是有限長(zhǎng)序列圓周卷積結(jié)果的周期延拓，等于它們周期延拓后的周期卷積。換句話說，周期卷積的主值序列，是各周期序列主值序列的圓周卷積。周期卷積得到是周期序列，圓周卷積得到的是有限長(zhǎng)序列，而且長(zhǎng)度等于參加卷積的序列的

2、長(zhǎng)度。2.2 圓周卷積計(jì)算過程具體步驟如下：（1） 在二元坐標(biāo)上做出與；（2） 把沿著縱坐標(biāo)翻轉(zhuǎn)，得到；（3） 對(duì)做圓周移位，得到;（4） 與對(duì)應(yīng)相同的m的值進(jìn)行相乘，并把結(jié)果相加，得到對(duì)應(yīng)于自變量n的一個(gè);（5） 換另一個(gè)n,重復(fù)以上兩步，直到n取遍0到N-1所有的值，得到完整的。3 重疊相加法原理實(shí)際應(yīng)用中通常參加卷積的兩個(gè)序列的長(zhǎng)度相差較大，這樣長(zhǎng)度較小的就需要補(bǔ)很多0，就需要較大的存儲(chǔ)空間，運(yùn)算時(shí)間也會(huì)變長(zhǎng)，常用的辦法有重疊相加法和重疊保留法。本次設(shè)計(jì)采用重疊相加法。設(shè)x(n)為無限長(zhǎng)序列，并假定xi(n)表示第i段x（n）序列： 則輸入序列可表為： =i=-xin于是輸出可分解為：

3、=*=i=-xin*hn=i=-yin其中=* 由此表明，只要將x（n）的每一段分別與h（n）卷積，然后再將這些卷積結(jié)果相加起來就可得到輸出序列，這樣，每一段的卷積都可用上面討論的快速卷積來計(jì)算。先對(duì)h（n）及xi（n）補(bǔ)零，補(bǔ)到具有N點(diǎn)長(zhǎng)度，N=N1+N2-1。 一般選擇N=2M，然后用基2 FFT算法通過正反變換計(jì)算 yi（n）=xi（n）*h（n） 由于yi（n）的長(zhǎng)度為N，而xi（n）的長(zhǎng)度為N2，因此相鄰兩yi（n）序列必然有N-N2=N1-1點(diǎn)發(fā)生重疊，這個(gè)重疊部分應(yīng)該相加起來才能構(gòu)成最后的輸出序列。 計(jì)算步驟： a. 事先準(zhǔn)備好濾波器參數(shù)H（k）=DFTh（n），N點(diǎn) b.用N點(diǎn)

4、FFT計(jì)算Xi（k）=DFTxi(n) c.Yi(k)=Xi(k)H(k) d.用N點(diǎn)IFFT求 yi（n）=IDFTYi(k) e.將重疊部分相加 圖3.1重疊相加法的分段示意圖L點(diǎn)循環(huán)卷積M-1點(diǎn)緩存 x1（n） 后M-1點(diǎn) y(n) 前N點(diǎn) L=N+M-1 h(n)圖3.2 重疊相加法算法示意圖4 MATLAB程序設(shè)計(jì)基于以上對(duì)原理的分析，這里采用FFT算法實(shí)現(xiàn)重疊相加法的圓周卷積計(jì)算。程序主要由計(jì)算圓周卷積的函數(shù)以及重疊相加函數(shù)和主程序三部分組成。4.1 程序設(shè)計(jì)思路函數(shù)conv (x1,x2,L)設(shè)計(jì)（1） x1(n)進(jìn)行N點(diǎn)快速傅里葉變換得X1k（2） x2(n)進(jìn)行N點(diǎn)快速傅里葉

5、變換得X2k（3） 進(jìn)行頻域相乘Yk=X1k*X2k（4） 對(duì)Yk進(jìn)行反變換得到時(shí)域卷積結(jié)果y(n)函數(shù)overlap_add(x,h,N)設(shè)計(jì)（1）首先取圓周卷積的周期L（即進(jìn)行L點(diǎn)的快速傅里葉變換）（2）計(jì)算每一分段的大小N（3）填充序列使得循環(huán)中對(duì)序列的索引不會(huì)超出范圍（4）計(jì)算分段數(shù)K（5）對(duì)序列進(jìn)行分段調(diào)用conv ()函數(shù)計(jì)算圓周卷積（6）各段重疊相加（7）取出實(shí)際的輸出序列4.2 圓周卷積部分計(jì)算圓周卷積函數(shù)的流程圖：對(duì)進(jìn)行FFT運(yùn)算對(duì)進(jìn)行FFT運(yùn)算求和 的頻域之積 對(duì)求反變換得到時(shí)域值y(n)開始結(jié)束程序：function y = circular_conv( x1,x2,L

6、)%利用循環(huán)卷積計(jì)算線性卷積%循環(huán)卷積采用頻域計(jì)算方法，以FFT代替DFT，降低運(yùn)算量x1k= fft(x1,L);%x1做L點(diǎn)FFTx2k= fft(x2,L);%x2做L點(diǎn)FFTyk = x1k.*x2k;%頻域相乘y = ifft(yk);%FFT反變換得循環(huán)卷積結(jié)果end4.3 重疊相加部分重疊相加法程序流程圖： 計(jì)算x1(n)和x2(n)的序列長(zhǎng)度，分段數(shù)并得到臨時(shí)序列將x1(n)每段分別與x2(n)求圓周卷積將重疊部分相加輸出序列y(n)開始結(jié)束程序：function y = overlap_add(x1,x2,N)%重疊相加法實(shí)現(xiàn)%將高點(diǎn)數(shù)DFT轉(zhuǎn)化為低點(diǎn)數(shù)DFTM = leng

7、th(x2);%獲得x2(n)的長(zhǎng)度if NM N = M+1;endL = M+N-1;Lx = length(x1);T = ceil(Lx/N);%確定分段數(shù)t = zeros(1,M-1);%生成1行M-1列的全零矩陣x1 = x1,zeros(1,(T+1)*N-Lx);%不足部分補(bǔ)0y = zeros(1,(T+1)*N);%定義輸出序列，初始化為全0for i=0:1:T xi = i*N+1; x_seg = x1(xi:xi+N-1); y_seg = circular_conv(x_seg,x2,L);%計(jì)算每段的圓周卷積 y_seg(1:M-1) = y_seg(1:M-

8、1)+t(1:M-1);%重疊相加 t(1:M-1) = y_seg(N+1:L); y(xi:xi+N-1) = y_seg(1:N);endy=y(1:Lx+M-1);end4.4 主程序x1=1:1:13;x2=-2,1,3;L=15;m=overlap_add(x1,x2,L);%重疊相加法得到的結(jié)果n=circular_conv(x1,x2,L);%線性卷積直接得到的結(jié)果subplot(4,1,1);a = 1:13;stem(a,x1)title(x1序列)subplot(4,1,2);b = 1:3;stem(b,x2)title(x2序列)subplot(4,1,3);c =

9、1:15;stem(c,m)title(基于重疊相加法的圓周卷積結(jié)果)5 MATLAB實(shí)現(xiàn) 圖5.1 圓周卷積m文件 圖5.2 重疊相加法m文件圖5.3 主程序m文件圖5.4 程序運(yùn)行結(jié)果圖5.5 基于重疊相加法的圓周卷積結(jié)果表格心得體會(huì)數(shù)字信號(hào)處理是我們電信專業(yè)非常重要的一門課程，學(xué)好它對(duì)以后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)或者工作都有至關(guān)重要的作用，經(jīng)過了一個(gè)學(xué)期的理論課程的學(xué)習(xí)，我感覺自己還停留在做題目上，而對(duì)理論知識(shí)的應(yīng)用卻知之甚少，因此，這次課程設(shè)計(jì)對(duì)我來說是一個(gè)非常好的機(jī)會(huì)來進(jìn)一步認(rèn)識(shí)理論知識(shí)的具體意義，懷著這種心態(tài)，我從對(duì)理論知識(shí)的回顧到設(shè)計(jì)仿真，每一步都非常認(rèn)真的對(duì)待，我從中也學(xué)到了不少。這次課程

10、設(shè)計(jì)主要用到了matlab軟件，這款軟件在對(duì)數(shù)字信號(hào)處理的建模、編程、分析、實(shí)現(xiàn)等方面功能非常強(qiáng)大，由于之前在實(shí)驗(yàn)課中我們?cè)?jīng)接觸過matlab，因此這次做起來相對(duì)輕松一些。我選做的題目是基于重疊相加法的圓周卷積，在開始進(jìn)行程序設(shè)計(jì)之前，我先對(duì)理論知識(shí)進(jìn)行了回顧，在熟悉了圓周卷積以及重疊相加法的原理以及matlab的應(yīng)用環(huán)境后，我開始了軟件的設(shè)計(jì)，雖說之前對(duì)matlab有所了解，但對(duì)軟件里面的程序包并不了解，所以編程的過程中也遇到過很多問題，比如找不到需要用的函數(shù)，但通過查看軟件自帶的幫助信息我很快能夠找到自己想要的東西，在熟悉了原理后，程序設(shè)計(jì)并不復(fù)雜，但程序的調(diào)試卻花了很長(zhǎng)時(shí)間，其中也遇到

11、了一些莫名其妙的問題，調(diào)試成功后第二次再打開就不行了，經(jīng)過了長(zhǎng)時(shí)間的調(diào)試，并且在老師和同學(xué)的幫助下，我換了個(gè)軟件終于解決了。雖然調(diào)試的過程并不順利，但成功后的喜悅是無窮的。我從中學(xué)到了很多東西，這些都是書本上很難遇到的，當(dāng)然最終能夠獲得成功也離不開老師的幫助，所以在此感謝老師對(duì)我的幫助致謝在這次課程設(shè)計(jì)過程中，我得到了許多人的幫助。首先我要感謝吳巍老師在課程設(shè)計(jì)上給予我的指導(dǎo)、提供給我的支持和幫助，這是我能順利完成這次報(bào)告的主要原因，更重要的是老師幫我解決了許多技術(shù)上的難題，讓我能做得更加完善。在此期間，我不僅學(xué)到了許多新的知識(shí)，而且也開闊了視野，提高了自己的設(shè)計(jì)能力。其次，我要感謝幫助過我的同學(xué)，同時(shí)也感謝學(xué)院為我提供良好的做課程設(shè)計(jì)的環(huán)境。最后再一次感謝所有在設(shè)計(jì)中曾經(jīng)幫助過我的良師益友和同學(xué)！參考文獻(xiàn)