夾半角的模型

1、3夾半角知識(shí)目標(biāo)目標(biāo)一：掌握夾半角的常見(jiàn)輔助線和常見(jiàn)結(jié)論；目標(biāo)二：掌握夾半角模型的構(gòu)造及應(yīng)用模塊一 夾半角的模型知識(shí)導(dǎo)航 夾半角模型是初二全等幾何另一個(gè)非常重要的模型，其證明過(guò)程值巧妙，圖形變化之豐富，還能與很多知識(shí)點(diǎn)（如角平分線定理，勾股定理）相結(jié)合，是很多區(qū)、校大型考試壓軸題中的?？?。其輔助線的思路有兩種：一是截長(zhǎng)補(bǔ)短，二是旋轉(zhuǎn)。學(xué)會(huì)截長(zhǎng)補(bǔ)短可以解決基本問(wèn)題，而理解旋轉(zhuǎn)才能真正理解這種模型夾半角模型分類(lèi)：（1）90度夾45度；（2）120度夾60度；（3）2夾題型一 90度夾45度【例1】 如圖，在四邊形ABCD中，BAD=B=C=D=90°，AB=BC=CD=AD，E在BC上，

2、F在CD上，且EAF=45°，求證：（1）BE+DF=EF（2）AEB=AEF【練】在例1的條件下，若E在CB延長(zhǎng)線上，F(xiàn)在DC延長(zhǎng)線上，其余條件不變，證明：（1）DF-BE=EF；（2）AEB+AEF=180°【例2】已知ABC為等腰三角形，ACB=90°，M、N是AB上的點(diǎn)，MCN=45°，求證：AM2+BN2=MN2【練】在例2中，若M在BA延長(zhǎng)線上，N在AB上，其余條件不變，試探究AM、BN、NM之間的關(guān)系【知識(shí)擴(kuò)充】勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方夾邊角和勾股定理結(jié)合會(huì)產(chǎn)生很多有趣的結(jié)論，比如：【變式1】如圖，在四邊形ABCD

3、中，BAD=B=C=D=90°，AB=BC=CD=ADF為CD中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且EAF=45°，求證：點(diǎn)E為線段BC靠近B的三等分點(diǎn)【變式2】如圖，在四邊形ABCD中，BAD=B=C=D=90°，AB=BC=CD=ADF為CD中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)E為線段BC靠近B的三等分點(diǎn)，求證：EAF=45°【變式3】已知ABC為等腰直角三角形，ACB=90°，CDAB于D，M是AD的中點(diǎn)，在CM的右側(cè)作MCN=45°交BD于點(diǎn)N，求證：N是線段BD靠近D的三等分點(diǎn)【變式4】已知ABC為等腰直角三角形，ACB=90°，CDAB于D，

4、M是AD的中點(diǎn)，N是線段BD靠近D的三等分點(diǎn)，求證：MCN=45°題型二 120度夾60度【例3】已知如圖，ABC為等邊三角形，BDC=120°，DB=DC，M、N分別是AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且MDN=60°，求證：MB+CN=MN【練】如圖，四邊形ABCD中，A=BCD=90°，ADC=60°，AB=BC，E、F分別在AD、DC延長(zhǎng)線上，且EBF=60°，求證：AE=EF+CF【拓】（漢陽(yáng)12期中）在等邊ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、ND為ABC外一點(diǎn)，且MDN=60°，BDC=120°，BD=DC

5、探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系以及AMN的周長(zhǎng)Q與等邊ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系（1）當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是_；此時(shí)=_；（不必證明）（2） 當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（1）問(wèn)的兩個(gè)接劉海成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明；（3） 當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=2，則Q=_（用含有L的式子表示）題型三 2夾【例4】如圖，在四邊形ABDC中，M、N分別為AB、AC上的點(diǎn)，若BAC+BDC=180°，BD=DC，MDN=BDC，求證：BM+CN=MN【練】如圖，

6、在例4的條件下，若M、N分別為BA延長(zhǎng)線、AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，BAC+BDC=180°，BD=DC，MDN=BDC，探究：線段BM、CN、MN的數(shù)量關(guān)系模塊二 夾半角模型的構(gòu)造備注：以下題目可能會(huì)使用到勾股定理【例5】（2012年武珞路八上期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），且、滿(mǎn)足，若D（0，4），EBOB于B，且滿(mǎn)足EAD=45°，試求線段EB的長(zhǎng)度【例6】（2014年糧道街八上期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，），點(diǎn)B（，0），點(diǎn)D（，0），且、滿(mǎn)足，DE軸且BED=ABD，BE交軸于點(diǎn)C，AE交軸于點(diǎn)F（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)

7、D的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）如圖，過(guò)P（0，-1）作軸的平行線，在該平行線上有一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè)）使QEM=45°，QE交軸于點(diǎn)N，ME交軸的正半軸于點(diǎn)M，確定的值【例7】點(diǎn)A（，0）、B（0，）分別在軸、軸上，且（1）求，的值（2）如圖1，若線段AB的長(zhǎng)為，點(diǎn)C為軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且射線CA平分AOB的外角BA，求點(diǎn)C的坐標(biāo)（3）如圖2，取點(diǎn)D（0,2）并連接AD，將AOD煙直線AD折疊得到ADE，過(guò)點(diǎn)B作軸的垂線BF交射線DE的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，連接AF，求BF的長(zhǎng)第3講 【課后作業(yè)】 夾半角1（2015年洪山區(qū)八中期中）如圖，E是正方形ABCD中CD邊上的任意一點(diǎn)，以點(diǎn)A為中心，把ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AB，EA的平分線交BC邊于點(diǎn)F，求證：CFE的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的周長(zhǎng)的一半2如圖ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，BDC是頂角BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的角，角的兩邊分別交AB、AC于M、N，連接MN，則AMN的周長(zhǎng)為_(kāi)3已知如圖，五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°求證：（1）AD平分CDE； （2）BAE=2CAD4如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知A（，4）、B（，0），且滿(mǎn)足（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（2）若點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，且A