天然腸衣 數(shù)學(xué)建模

1、摘要該題是以天然腸衣為背景，對(duì)其搭配問題進(jìn)行探討和研究，建立數(shù)學(xué)模型，利用lingo編程，得到符合實(shí)際問題的最優(yōu)方案。在給出了成品規(guī)格表和原料描述表等資料的基礎(chǔ)上，采用整數(shù)線性規(guī)劃，分別以最大捆數(shù)、最優(yōu)方案、降級(jí)利用、時(shí)間限制四個(gè)方面為目標(biāo)和約束條件建立最優(yōu)模型，利用lingo編程，制作一套科學(xué)編程程序，整理合理的數(shù)據(jù)以及便利的搭配方案，從而達(dá)到提供生產(chǎn)效率的目的。首先，通過(guò)分析題目中成品捆數(shù)越多越好的要求，建立最大捆數(shù)最優(yōu)模型。對(duì)給出的成品規(guī)格數(shù)據(jù)分類為A、B、C三類，對(duì)原料按長(zhǎng)度分檔，以0.5米為一檔，共46檔?？紤]到選擇最短長(zhǎng)度最長(zhǎng)的成品越多方案越好以及剩余材料可以降級(jí)利用，我們采用“倒

2、序（從大規(guī)格取到小規(guī)格）”方法。其次，在上述建立的最優(yōu)模型基礎(chǔ)上，根據(jù)總長(zhǎng)度允許有± 0.5米的誤差，總根數(shù)允許比標(biāo)準(zhǔn)少1根這一約束條件，對(duì)不同規(guī)格建立約束條件函數(shù)并建立模型。最后，綜合以上兩個(gè)模型，把得出的A規(guī)格余料降級(jí)至B規(guī)格中，再建立B規(guī)格模型，依次類推，利用lingo求解，最后得出如下結(jié)果：C規(guī)格最大捆數(shù)總捆數(shù)136，出11種分配方式，并且把剩余材料降級(jí)至13.5米檔使用。B規(guī)格最大捆數(shù)總捆數(shù)34，出3種分配方式，剩余根材料降級(jí)為6.5米檔使用。A規(guī)格最大捆數(shù)總捆數(shù)17，出2種分配方式。剩余材料為下表最后，得出最終捆數(shù)為17+34+136=187（捆），該lingo程序能在3

3、0分鐘內(nèi)產(chǎn)生。關(guān)鍵字：整數(shù)規(guī)劃 lingo編程 搭配方案 最優(yōu)模型一、問題重述天然腸衣（以下簡(jiǎn)稱腸衣）制作加工是我國(guó)的一個(gè)傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)，出口量占世界首位。腸衣經(jīng)過(guò)清洗整理后被分割成長(zhǎng)度不等的小段（原料），進(jìn)入組裝工序。傳統(tǒng)的生產(chǎn)方式依靠人工，邊丈量原料長(zhǎng)度邊心算，將原材料按指定根數(shù)和總長(zhǎng)度組裝出成品（捆）。原料按長(zhǎng)度分檔，通常以0.5米為一檔，如：3-3.4米按3米計(jì)算，3.5米-3.9米按3.5米計(jì)算，其余的依此類推。表1是幾種常見成品的規(guī)格，長(zhǎng)度單位為米，表示沒有上限，但實(shí)際長(zhǎng)度小于26米。表1 成品規(guī)格表最短長(zhǎng)度最大長(zhǎng)度根數(shù)總長(zhǎng)度36.52089713.588914589為了提高生產(chǎn)效率，公

4、司計(jì)劃改變組裝工藝，先丈量所有原料，建立一個(gè)原料表。表2為某批次原料描述。表2 原料描述表長(zhǎng)度3-3.44-4.45-5.46-6.4根數(shù)4359394127283421長(zhǎng)度7-7.48-8.49-9.410-10.4根數(shù)2424202521232118長(zhǎng)度11-11.412-12.413-13.414-14.4根數(shù)3123225918253529長(zhǎng)度15-15.416-16.417-17.418-18.4根數(shù)3042284245495064長(zhǎng)度19-19.420-20.421-21.422-22.4根數(shù)526349352716122長(zhǎng)度23-23.424-24.425-25.425.5-25

5、.9根數(shù)060001根據(jù)以上成品和原料描述，設(shè)計(jì)一個(gè)原料搭配方案，工人根據(jù)這個(gè)方案“照方抓藥”進(jìn)行生產(chǎn)。公司對(duì)搭配方案有以下具體要求：(1) 對(duì)于給定的一批原料，裝出的成品捆數(shù)越多越好；(2) 對(duì)于成品捆數(shù)相同的方案，最短長(zhǎng)度最長(zhǎng)的成品越多，方案越好；(3) 為提高原料使用率，總長(zhǎng)度允許有± 0.5米的誤差，總根數(shù)允許比標(biāo)準(zhǔn)少1根；(4) 某種規(guī)格對(duì)應(yīng)原料如果出現(xiàn)剩余，可以降級(jí)使用。如長(zhǎng)度為14米的原料可以和長(zhǎng)度介于7-13.5米的進(jìn)行捆扎，成品屬于7-13.5米的規(guī)格；(5) 為了食品保鮮,要求在30分鐘內(nèi)產(chǎn)生方案。請(qǐng)建立上述問題的數(shù)學(xué)模型，給出求解方法，并對(duì)表1、表2給出的實(shí)際數(shù)

6、據(jù)進(jìn)行求解，給出搭配方案。二、問題分析2.1 問題背景分析該題以腸衣制作加工為背景，由題意可知，目的為建立一種模型，通過(guò)計(jì)算，生成經(jīng)過(guò)優(yōu)化后滿足成品規(guī)模要求的搭配方法，然后按照成品規(guī)格表，再根據(jù)“照方抓藥”選擇最優(yōu)方案，以達(dá)到減少勞動(dòng)強(qiáng)度、提高生產(chǎn)效率的目的。2.2問題數(shù)據(jù)分析根據(jù)成品規(guī)格表，把成品規(guī)格分為三類，分別為A、B、C三類。原料按長(zhǎng)度分檔，通常以0.5米為一檔，如：3-3.4米按3米計(jì)算，3.5米-3.9米按3.5米計(jì)算，其余的依此類推，共46個(gè)小檔，在C類中只有20個(gè)可用數(shù)據(jù)。2.3問題要求分析題目要求裝出的成品捆數(shù)越多越好，建立f(x)的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即可以達(dá)到最優(yōu)解，以捆數(shù)最大為

7、目標(biāo)方案進(jìn)行優(yōu)化。綜合考慮到(2)(4)中的要求，所以先從大規(guī)格開始分析并且優(yōu)先選擇最長(zhǎng)腸衣充分搭配，使剩余原料長(zhǎng)度接近下一檔的最長(zhǎng)腸衣長(zhǎng)度。利用lingo軟件編程，求出最大捆數(shù)和每一規(guī)格在最大捆數(shù)下使用的具體根數(shù)。如果出現(xiàn)了剩余原料，則考慮降級(jí)使用，如長(zhǎng)度為14米的原料可以和長(zhǎng)度介于7-13.5米的進(jìn)行捆扎，成品屬于7-13.5米的規(guī)格。在優(yōu)化過(guò)程中考慮到提高原料利用率，約束條件為總長(zhǎng)度允許有± 0.5米的誤差，總根數(shù)允許比標(biāo)準(zhǔn)少1根。運(yùn)用線性規(guī)劃，以捆數(shù)最大為目標(biāo)方案進(jìn)行優(yōu)化。最后，在確定了最大捆數(shù)的具體根數(shù)情況下，就每規(guī)格的具體搭配建立通用搭配模型，分別就三種規(guī)格具體數(shù)據(jù)，利用

8、lingo軟件編程，求出三種規(guī)格成品各個(gè)搭配方案。三、模型假設(shè)(1) 假設(shè)在整理分配天然腸衣過(guò)程中不出現(xiàn)損壞情況。(2) 假設(shè)組裝整理任何時(shí)候機(jī)器和工人都正常并且不間斷工作(3) 假設(shè)不考慮時(shí)間、溫度、濕度等外界因素對(duì)腸衣質(zhì)量的影響(4) 假設(shè)接口處長(zhǎng)度忽略不計(jì)(5) 降級(jí)使用的原料不出現(xiàn)分割錯(cuò)誤等問題該模型建立在一起理想化條件上，忽略外界因素對(duì)模型的影響四、符號(hào)說(shuō)明為某種搭配方式對(duì)應(yīng)生產(chǎn)的腸衣捆數(shù)；為第幾種搭配方式；表示第幾種搭配方式，i=1,2,3,N；表示第幾號(hào)材料,j=1,2,3,24；表示第i種搭配方式中，第j號(hào)材料的長(zhǎng)度；表示j號(hào)種材料的長(zhǎng)度；表示表示j號(hào)材料的總根數(shù)。如S1=35

9、，表示14米檔的材料根數(shù)為35；五、模型建立 原料以33.4算為3米檔，3.53.9算為3.5米檔，依此類推。長(zhǎng)度33.5424.52525.5根數(shù)435939001根據(jù)公司對(duì)搭配方案的要求，將不同長(zhǎng)度的腸衣分為三個(gè)規(guī)格，3-6.5米為規(guī)格A；7-13.5米為規(guī)格B；14-25.5米為規(guī)格C。某種規(guī)格對(duì)應(yīng)原料如果出現(xiàn)剩余，可以降級(jí)使用。因此先從大規(guī)格開始分析求解。例如：大規(guī)格C的材料有剩余，應(yīng)降級(jí)算入規(guī)格B中，對(duì)材料降檔處理。5.1規(guī)格C：規(guī)格C類的材料為14-25.5米,所取根數(shù)范圍為4,5，并且所取總長(zhǎng)度范圍88.5，89.5，將材料進(jìn)行編號(hào)：編號(hào)123456789101112檔類1414

10、.51515.51616.51717.51818.51919.5數(shù)量352930422842454950645263編號(hào)131415161718192021222324檔類2020.52121.52222.52323.52424.52525.5數(shù)量493527161220600011、根據(jù)條件1對(duì)于給定的一批原料，裝出的成品捆數(shù)越多越好，可建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)： （i=1,2,3,4,N）Xi為某種搭配方式對(duì)應(yīng)生產(chǎn)的腸衣捆數(shù)，i為第幾種搭配方式；2、根據(jù)條件3：為提高原料使用率，總長(zhǎng)度允許有± 0.5米的誤差，總根數(shù)允許比標(biāo)準(zhǔn)少1根，建立相應(yīng)的約束條件：式表示i種搭配方式中，各檔材料的

11、根數(shù)小于該材料的總根數(shù)；式表示i種搭配方式中，各檔材料的根數(shù)之和為4或5根；式表示i種搭配方式中，各檔材料的長(zhǎng)度和的范圍是88.5，89.5；式表示以i種搭配方式生產(chǎn)X捆成品，所需的各檔材料數(shù)小于該材料的總數(shù)；用LINGGO軟件進(jìn)行優(yōu)化求解（附錄1），求得局部最優(yōu)解，得到結(jié)果：總捆數(shù)136捆。11種分配方式，其分配方案如下：1414.51515.51616.51717.51818.51919.52020.52121.52222.523.525.5捆數(shù)111111422111113531121274111285239612167111148111112911111110111111112111剩

12、余材料表如下，并把剩余材料降級(jí)至13.5米使用：規(guī)格C的余料20米檔1根21.5米檔2根22.5米檔1根5.2規(guī)格B：規(guī)格B類的材料為713.5米，所取根數(shù)范圍為7,8，所取總長(zhǎng)度范圍88.5，89.5，并考慮降級(jí)使用的材料，將材料進(jìn)行歸于13.5檔。對(duì)材料進(jìn)行編號(hào)并制成下表：編號(hào)1234567891011121314檔類77.588.599.51010.51111.51212.51313.5數(shù)量2424202521232118312322591835+4=391、根據(jù)條件1對(duì)于給定的一批原料，裝出的成品捆數(shù)越多越好，可建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)： （i=1,2,3,4,N）Xi為某種搭配方式對(duì)應(yīng)生產(chǎn)

13、的腸衣捆數(shù)，i為第幾種搭配方式；2、根據(jù)條件3：為提高原料使用率，總長(zhǎng)度允許有± 0.5米的誤差，總根數(shù)允許比標(biāo)準(zhǔn)少1根，建立相應(yīng)的約束條件：用LINGGO求解得（附錄）：總捆數(shù)34捆。3種分配方式，其分配方案如下：77.588.599.51010.51111.51212.51313.5捆數(shù)1111112122211211293121223剩余材料表如下，并把剩余材料降級(jí)至6.5米使用：規(guī)格B及規(guī)格C降級(jí)使用的余料7米檔29.5米檔237.5米檔2410米檔98米檔1111.5米檔19米檔1513.5米檔15.3規(guī)格A：規(guī)格A類的材料為3-6.5米，所取根數(shù)范圍為19,20，所取總長(zhǎng)

14、度范圍88.5，89.5，并考慮降級(jí)使用的材料，將材料進(jìn)行歸于6.5檔，考慮降級(jí)使用的材料，對(duì)材料進(jìn)行編號(hào)并制成下表。：編號(hào)12345678檔類33.544.555.566.5數(shù)量435939412728341071、根據(jù)條件1對(duì)于給定的一批原料，裝出的成品捆數(shù)越多越好，可建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)： （i=1,2,3,4,N）Xi為某種搭配方式對(duì)應(yīng)生產(chǎn)的腸衣捆數(shù)，i為第幾種搭配方式；2、根據(jù)條件3：為提高原料使用率，總長(zhǎng)度允許有± 0.5米的誤差，總根數(shù)允許比標(biāo)準(zhǔn)少1根，建立相應(yīng)的約束條件：使用LINGGO軟件求解得：總捆數(shù)17捆。2種分配方式，其分配方案如下：33.544.555.566

15、.5捆數(shù)134211224142013930213最終剩余材料：最終剩余材料：3米檔1根4米檔2根5米檔4根6.5米檔48根綜上，整理最終得出總捆數(shù)為17+34+136=187六、模型優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：（1）該方案，形式簡(jiǎn)單，通俗易懂易，所有的數(shù)據(jù)已表格形式呈現(xiàn)，易于操作和查看。（2）方案數(shù)直觀顯示各種配方的類型和所需數(shù)目，完全達(dá)到了“照方抓藥”的目的，也可以準(zhǔn)確得出剩余數(shù)目，方便工人對(duì)所需要加工的腸衣種類做好準(zhǔn)備。（3）提高了生產(chǎn)的速度，降低成本。缺點(diǎn)：（1）忽略原料損壞而使整個(gè)生產(chǎn)方案失效的情況。（2）對(duì)軟件掌握不熟練，導(dǎo)致無(wú)法得出正確答案七、模型推廣該模型不僅應(yīng)用于原料優(yōu)化搭配，而且還在其他的

16、優(yōu)化系統(tǒng)中有著很廣泛的應(yīng)用，由于線性規(guī)劃的問題涉及的因素很多，因此我們建立約束條件來(lái)滿足所有的因素。因此 我們?cè)诮獯鹁€性規(guī)劃的優(yōu)化問題時(shí)，首先建立目標(biāo)函數(shù)，其次依據(jù)所有的因素建立目標(biāo) 函數(shù)的約束條件，最后借助數(shù)學(xué)軟件來(lái)求解，得到我們滿意的方案。因此，對(duì)于生活中的實(shí)際問題，我們依據(jù)模型中的方法，我們可以為決策者提供一定經(jīng)驗(yàn)，讓決策者采用 更合理的方案。對(duì)決策者有一定的指導(dǎo)意義。模型的推廣：模型還可運(yùn)用到項(xiàng)目投資，證券交易等。附錄：LINGGO程序：規(guī)格C：model:sets:liao/1.20/:l,c,s;pai/1/:y;pei(pai,liao):x;endsetsdata:l=35 29 30 42 28 42 45 49 50 64 52 63 49 35 27 16 12 2 6 1;c=14 14.5 15 15.5 16 16.5 17 17.5 18 18.5 19 19.5 20 20.5 21 21.5 22 22.5 23.5 25.5;enddatamax=sum(pai:y);for(liao(j):sum(pai(i):y(i)*x(i,j)<=l(j