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文檔簡介
1、第4講 代數(shù)綜合 一 一次函數(shù)1 正比例函數(shù)一定經(jīng)過_點2 一次函數(shù)的性質(zhì):(1) 當(dāng)時,其圖象定經(jīng)過_象限;時,其圖象定經(jīng)過_象限(2) 當(dāng)時,其圖象與軸交于_半軸;當(dāng)時,其圖象與軸交于_半軸3 一次函數(shù)與軸的交點為_,與軸的交點為_ 4 若兩直線與平行,則兩直線的一次項系數(shù)_二 二次函數(shù)1 二次函數(shù)的定義:一般地,形如_(,常數(shù),_)的函數(shù)稱為的二次函數(shù),其中為二次函數(shù)的_,二次函數(shù)的_,二次函數(shù)的_2 二次函數(shù)的解析式填表:一般式頂點式交點式解析式頂點坐標(biāo)對稱軸3 二次函數(shù)與軸的交點為_和_,軸的交點為_ 4 五點畫圖法:在對稱軸兩側(cè),左右對稱地描點畫圖一般我們選取的五點為:_;_;_;
2、_;_三 反比例函數(shù)1 反比例函數(shù)的性質(zhì):當(dāng)時,函數(shù)圖象的兩個分支分別位于_象限;當(dāng)時,函數(shù)圖象的兩個分支分別位于_象限2 如圖,反比例函數(shù)圖象上一點向兩坐標(biāo)軸作垂線,垂線與坐標(biāo)軸所圍成矩形的面積為_如圖,反比例函數(shù)圖象上一點向軸或軸作垂線,并連接原點,所圍成三角形的面積為_四 函數(shù)的平移:1 平移口訣“左加右減,上加下減” 2 填表:向左平移個單位向右平移個單位向上平移個單位向下平移個單位(了解)五 函數(shù)的對稱:1 對稱口訣“關(guān)于誰,誰不變,另外一個變相反,關(guān)于原點都要變” 2 填表:關(guān)于軸對稱關(guān)于軸對稱關(guān)于原點對稱(了解)3 關(guān)于特殊直線或的對稱的解題步驟:(1) 先用五點畫圖法畫出函數(shù)的
3、圖象,再根據(jù)題意進(jìn)行對稱;(2) 求出對稱后的頂點坐標(biāo);(3) 若關(guān)于對稱,的符號和值都不變;若關(guān)于對稱的符號改變,值不變;(4) 根據(jù)和對稱后的頂點坐標(biāo)利用頂點式寫出對稱后的解析式【練1】 (2014年中考)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過點,(1)求拋物線的表達(dá)式及對稱軸;(2)設(shè)點關(guān)于原點的對稱點為,點是拋物線對稱軸上一動點,記拋物線在,之間的部分為圖象(包含,兩點)若直線與圖象有公共點,結(jié)合函數(shù)圖象,求點縱坐標(biāo)的取值范圍【練2】 (2013年中考)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線()與軸交于點 ,其對稱軸與軸交于點 。(1)求點,標(biāo);(2)設(shè)直線與直線AB關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱,求直線的解析
4、式;(3)若該拋物線在這一段位于直線的上方,并且在這一段位于直線的下方,求該拋物線的解析式?!纠?】 (2013年東城一模)已知關(guān)于的一元二次方程(1)求證:無論取何值,原方程總有兩個不相等的實數(shù)根;(2)當(dāng)為何整數(shù)時,原方程的根也是整數(shù)【題型總結(jié)】整數(shù)根問題1 給出參數(shù)范圍:通過計算可得是的一次形式即的形式,然后通過已知條件可以求出參數(shù)的取值范圍,在取值范圍內(nèi)取值使方程的根為整數(shù)即可;2 分離常數(shù)法:通過計算可得是完全平方形式即的形式(假設(shè)是一元二次方程中的參數(shù)),然后利用求根公式表示出及,并分離常數(shù)化簡成分子不含參數(shù)的形式,例如表示為或,然后通過分母是分子的因數(shù)及負(fù)因數(shù)求解分母中的參數(shù);3
5、 枚舉法:通過計算可得是的二次形式,但不是完全平方,即的形式,那么設(shè),之后整理成,再利用平方差分解成,由題可得是整數(shù),所以把分解成兩個整數(shù)相乘的形式,可得,因為等號左右兩邊對應(yīng)相等,可將等號左右兩邊分別相加再相等及可求出的值.【例2】 (2013年海淀期末)拋物線與軸交于、兩點,且點在點的左側(cè),與軸交于點,(1) 求這條拋物線的解析式;(2) 若點與點在(1)中的拋物線上,且,. 求的值; 將拋物線在下方的部分沿翻折,拋物線的其它部分保持不變,得到一個新圖象.當(dāng)這個新圖象與軸恰好只有兩個公共點時,的取值范圍是_.【題型總結(jié)】代數(shù)式求值消元思想常見的代數(shù)式求值的題型為整體代入及降次,解題思想就是
6、用消元的方法減少未知數(shù)的個數(shù),并最終消除所有未知數(shù),得到答案1 整體代入:題中給出或能夠根據(jù)題意得出一個基本關(guān)系式,將此關(guān)系式直接代入或變形后代入題中要求的代數(shù)式即可2 降次:若題中題中的代數(shù)式出現(xiàn)較高的次冪,比如,可將變形為,再將由題中得到基本關(guān)系式變形為的形式,代入變形后的代數(shù)式即可【例3】 (2014年懷柔一模)在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過和兩點(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式(2)直接寫出當(dāng)時,的取值范圍(3)將一次函數(shù)的圖象向下平移個單位后,與二次函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)分別是和,其中,試求的取值范圍【題型總結(jié)】函數(shù)與不等式問題解題思路:找交點分區(qū)域比高低寫結(jié)論(注意等號的取舍)要求
7、畫圖要精準(zhǔn),用數(shù)形結(jié)合的方式來分析,尋找到臨界點,計算即可【例4】 (2013年豐臺一模)二次函數(shù),其頂點坐標(biāo)為(1)函數(shù)的解析式;(2)函數(shù)的圖象在軸下方的部分沿軸翻折,圖象的其余部分保持不變,得到一個新的圖象,請你結(jié)合新圖象回答:當(dāng)直線與這個新圖象有兩個公共點時,求的取值范圍【題型總結(jié)】一次函數(shù)與二次函數(shù)的公共點問題本題型經(jīng)常會涉及一次函數(shù)與二次函數(shù)相切的問題,相切時聯(lián)立兩函數(shù)得一元二次方程,利用二次方程的求出參數(shù)的值1 直線可平移:已知一次函數(shù)的值,可先畫出的圖像,然后向上及向下平移進(jìn)行分析2 直線繞某點旋轉(zhuǎn):已知一次函數(shù)的值或與之間存在一定的數(shù)量關(guān)系,先找出一次函數(shù)一定經(jīng)過的定點(或已
8、知一次函數(shù)經(jīng)過一個定點),比如,過定點畫直線,并繞著定點旋轉(zhuǎn)進(jìn)行分析3 二次函數(shù)關(guān)于水平線翻折:二次函數(shù)的一部分關(guān)于水平線翻折,其余部分保持不變,需要畫出變換后的圖象再進(jìn)行分析【例5】 (2014年石景山一模)已知關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根,且為非負(fù)整數(shù)(1)求的值;(2)將拋物線:向右平移個單位,再向上平移個單位得到拋物線,若拋物線過點和點,求拋物線的表達(dá)式;(3)將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)得到拋物線,若拋物線與直線有兩個交點且交點在其對稱軸兩側(cè),求的取值范圍 【題型總結(jié)】函數(shù)的幾何變換1 平移口訣“左加右減,上加下減” 2 對稱口訣“關(guān)于誰誰不變,關(guān)于原點都要變” 3 關(guān)于特殊直線或的對稱,只要求出對稱
9、后的頂點坐標(biāo)及判斷的符號是否發(fā)生改變,利用頂點式寫出解析式即可4 旋轉(zhuǎn):函數(shù)的旋轉(zhuǎn)一般只考旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中不變,因此求出旋轉(zhuǎn)后的頂點坐標(biāo)及判斷的符號是否發(fā)生改變,利用頂點式寫出解析式即可【例6】 (2014年密云一模)已知拋物線 (1)若,求該拋物線與軸的交點坐標(biāo);(2)若,證明拋物線與x軸有兩個交點;(3)若, 且拋物線在 區(qū)間上的最小值是,求的值.【題型總結(jié)】二次函數(shù)的最值含參數(shù)的二次函數(shù)求最值的問題主要是考查分類討論的思想,注意分類的情況要全面,解題思路都圍繞著對稱軸與自變量的取值范圍進(jìn)行分類討論 1 “動軸定區(qū)間”型的二次函數(shù)最值2 “動區(qū)間定軸”型的二次函數(shù)最值3 “動軸動區(qū)間”型
10、的二次函數(shù)最值【例7】 (2015年海淀期末)在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點,(1)求代數(shù)式的值;(2)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點,求代數(shù)式的值;(3)若反比例函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象只有一個交點,且該交點在直線的下方,結(jié)合函數(shù)圖象,求的取值范圍【題型總結(jié)】反比例函數(shù)問題1 反比例函數(shù)與一次函數(shù)或二次函數(shù)交點的問題2 反比例函數(shù)的幾何意義的問題 【練1】 (2014年朝陽一模)已知關(guān)于的一元二次方程(1) 如果該方程有兩個不相等的實數(shù)根,求的取值范圍(2) 在(1)的條件下,關(guān)于的二次函數(shù)的圖像與軸交點的橫坐標(biāo)都是整數(shù),且時,求的整數(shù)值【練2】 (2013年西城一模)已知關(guān)于的一元二
11、次方程(1)求證:無論為任何實數(shù),此方程總有兩個不相等的實數(shù)根;(2)拋物線與軸的一個交點的橫坐標(biāo)為,其中,將拋物線向右平移個單位,再向上平移個單位,得到拋物線求拋物線的解析式;(3)點和都在(2)中拋物線上,且、兩點不重合,求代數(shù)式的值【練3】 (2013年海淀一模)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于、兩點,點的坐標(biāo)為(1)求點坐標(biāo);(2)直線經(jīng)過點 求直線和拋物線的解析式; 點在拋物線上,過點作軸的垂線,垂足為將拋物線在直線上方的部分沿直線翻折,圖象的其余部分保持不變,得到一個新圖象請結(jié)合圖象回答:當(dāng)圖象與直線只有兩個公共點時,的取值范圍是_【練4】 (2011年中考)在平面直角坐標(biāo)系中,
12、二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(點在點左側(cè)),與軸交于點(1)求點的坐標(biāo);(2)當(dāng)時,求的值;(3)已知一次函數(shù),點是軸上的一個動點,在(2)的條件下,過點垂直于軸的直線交這個一次函數(shù)的圖象于點,交二次函數(shù)的圖象于點若只有當(dāng)時,點位于點的上方,求這個一次函數(shù)的解析式【練5】 (2013年平谷一模)已知關(guān)于的一元二次方程=0.(1)判定方程根的情況;(2)設(shè)為整數(shù),方程的兩個根都大于且小于,當(dāng)方程的兩個根均為有理數(shù)時,求的值【練6】 (2014年昌平一模)如圖,已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點,點(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)若反比例函數(shù)()的圖象與二次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于點,落在兩個相鄰的正整數(shù)之間,請你直接寫出這兩個相鄰的正整數(shù);(3)若反比例函數(shù)(,)的圖象與二次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于點,且,試求實數(shù)的取值范圍1 常見的整數(shù)根問題分為給出參數(shù)范圍,分離常數(shù)法,枚舉法;2 代數(shù)式求值的思想是消元,常見題型是整體代入及
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