高等數(shù)學(xué)下冊(cè)電子教案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第四章 常微分方程§41 基本概念和一階微分方程甲 內(nèi)容要點(diǎn) 一基本概念 1常微分方程 含有自變量、未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程，若未知函數(shù)是一元函數(shù)則稱為常微分方程，而未知函數(shù)是多元函數(shù)則稱為偏微分方程，我們只討論常微分方程，故簡(jiǎn)稱為微分方程，有時(shí)還簡(jiǎn)稱為方程。 2微分方程的階 微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為該微分方程的階 3微分方程的解、通解和特解 滿足微分方程的函數(shù)稱為微分方程的解； 通解就是含有獨(dú)立常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同的解； 通解有時(shí)也稱為一般解但不一定是全部解； 不含有任意常數(shù)或任意常數(shù)確定后的解稱為特解。 4

2、微分方程的初始條件 要求自變量取某定值時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)與各階導(dǎo)數(shù)取指定的值，這種條件稱為初始條件，滿足初始條件的解稱為滿足該初始條件的特解。 5積分曲線和積分曲線族 微分方程的特解在幾何上是一條曲線稱為該方程的一條積分曲線；而通解在幾何上是一族曲線就稱為該方程的積分曲線族。 6線性微分方程 如果未知函數(shù)和它的各階導(dǎo)數(shù)都是一次項(xiàng)，而且它們的系數(shù)只是自變量的函數(shù)或常數(shù)，則稱這種微分方程為線性微分方程。不含未知函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱為自由項(xiàng)，自由項(xiàng)為零的線性方程稱為線性齊次方程；自由項(xiàng)不為零的方程為線性非齊次方程。 二變量可分離方程及其推廣 1變量可分離的方程 （1）方程形式： 通解 （注：在微分方程求解

3、中，習(xí)慣地把不定積分只求出它的一個(gè)原函數(shù)，而任意常數(shù)另外再加） （2）方程形式： 通解 2變量可分離方程的推廣形式 （1）齊次方程 令， 則 （2） 令， 則 （3） 當(dāng)情形，先求出的解 令， 則屬于齊次方程情形 當(dāng)情形， 令 則 令， 則 屬于變量可分離方程情形。 三一階線性方程及其推廣 1一階線性齊次方程 它也是變量可分離方程，通解公式，（為任意常數(shù)） 2一階線性非齊次方程 用常數(shù)變易法可求出通解公式 令 代入方程求出 則得 3貝努利方程 令 把原方程化為 再按照一階線性非齊次方程求解。 4方程： 可化為 以為自變量，為未知函數(shù) 再按照一階線性非齊次方程求解。 四全微分方程及其推廣（數(shù)學(xué)一

4、） 1全微分方程 ，滿足 通解：， 其中滿足 求的常用方法。 第一種：湊全微分法 把常見(jiàn)的一些二元函數(shù)的全微分公式要倒背如流，就很有幫助。 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）； 第二種：特殊路徑積分法（因?yàn)榉e分與路徑無(wú)關(guān)） 第三種：不定積分法 由得 對(duì)求導(dǎo)， 得， 求出積分后求出 2全微分方程的推廣（約當(dāng)因子法） 設(shè)不是全微分方程。 不滿足 但是存在 使得為全微分方程， 也即滿足 則稱為約當(dāng)因子， 按全微分方程解法仍可求出 通解。 這種情形，求約當(dāng)因子是關(guān)鍵。

5、乙 典型例題友情提供下載 一變量可分離方程及其推廣 例1求下列微分方程的通解。 （1） （2） 例2求下列微分方程的通解。 （1） （2） （3） （4） 解：（1）令，則，原方程化為 ， （注：） （2）； 令，則 ， （3），令，則 ， （4）令，則， 例3求微分方程的通解。 例4求微分方程 例5求微分方程的通解。 例6求微分方程的通解。 例7求微分方程 例8求微分方程的通解 二一階線性方程及其推廣 例求下列微分方程的通解 （1） （2） （3） （4） 解：（1）直接用常數(shù)變易法 對(duì)應(yīng)的齊次線性方程為，通解 令非齊次線性方程的通解為 代入方程得 ， 故所求方程的通解為 （2）直接用通解公

6、式（先化標(biāo)準(zhǔn)形式） ， 通解 （3）此題不是一階線性方程，但把看作未知函數(shù)，看作自變量， 所得微分方程 即 是一階線性方程 ， （4）此題把看作未知函數(shù)，看作自變量所得微分方程為 ， §42 特殊的高階微分方程（數(shù)學(xué)四不要）甲 內(nèi)容要點(diǎn) 一可降階的高階微分方程方程類(lèi)型解法及解的表達(dá)式通解令，則，原方程一階方程，設(shè)其解為，即，則原方程的通解為。令，把看作的函數(shù)，則把，的表達(dá)式代入原方程，得一階方程，設(shè)其解為即，則原方程的通解為。 二線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu) 我們討論二階線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，其結(jié)論很容易地推廣到更高階的線性微分方程。 二階齊次線性方程 （1） 二階非齊次線性方程

7、 （2） 1若，為二階齊次線性方程的兩個(gè)特解，則它們的線性組合（，為任意常數(shù)）仍為同方程的解，特別地，當(dāng)（為常數(shù)），也即與線性無(wú)關(guān)時(shí)，則方程的通解為 2若，為二階非齊次線性方程的兩個(gè)特解，則為對(duì)應(yīng)的二階齊次線性方程的一個(gè)特解。 3若為二階非齊次線性方程的一個(gè)特解，而為對(duì)應(yīng)的二階齊次線性方程的任意特解，則為此二階非齊次線性方程的一個(gè)特解。 4若為二階非齊次線性方程的一個(gè)特解，而為對(duì)應(yīng)的二階齊次線性方程的通解（，為獨(dú)立的任意常數(shù)）則是此二階非齊次線性方程的通解。 5設(shè)與分別是與 的特解，則是 的特解。 三二階和某些高階常系數(shù)齊次線性方程 1二階常系數(shù)齊次線性方程 其中，為常數(shù)， 特征方程 特征方程

8、根的三種不同情形對(duì)應(yīng)方程通解的三種形式 （1）當(dāng)，特征方程有兩個(gè)不同的實(shí)根， 則方程的通解為 （2）當(dāng)，特征方程有二重根 則方程的通解為 （3）當(dāng)，特征方程有共軛復(fù)根， 則方程的通解為 2階常系數(shù)齊次線性方程 其中為常數(shù)。 相應(yīng)的特征方程 特征根與方程通解的關(guān)系同二階情形很類(lèi)似。 （1）若特征方程有個(gè)不同的實(shí)根 則方程通解 （2）若為特征方程的重實(shí)根 則方程通解中含有 （3）若為特征方程的重共軛復(fù)根 則方程通解中含有 由此可見(jiàn)，常系數(shù)齊次線性方程的通解完全被其特征方程的根所決定，但是三次及三次以上代數(shù)方程的根不一定容易求得，因此只能討論某些容易求特征方程的根所對(duì)應(yīng)的高階常系數(shù)齊次線性方程的通解

9、。 四二階常系數(shù)非齊次線性方程 方程： 其中為常數(shù) 通解： 其中為對(duì)應(yīng)二階常系數(shù)齊次線性方程的通解上面已經(jīng)討論。所以關(guān)鍵要討論二階常系數(shù)非齊次線性方程的一個(gè)特解如何求？ 我們根據(jù)的形式，先確定特解的形式，其中包含一些待定的系數(shù)，然后代入方程確定這些系數(shù)就得到特解，常見(jiàn)的的形式和相對(duì)應(yīng)地的形式如下： 1，其中為次多項(xiàng)式 （1）若不是特征根，則令 其中為待定系數(shù)。 （2）若是特征方程的單根，則令 （3）若是特征方程的重根，則令 2其中為次多項(xiàng)式，為實(shí)常數(shù) （1）若不是特征根，則令 （2）若是特征方程單根，則令 （3）若是特征方程的重根，則令 3 或 其中為次多項(xiàng)式，皆為實(shí)常數(shù) （1）若不是特征根，

10、則令 其中 為待定系數(shù) 為待定系數(shù) （2）若是特征根，則令 五歐拉方程（數(shù)學(xué)一） ，其中為常數(shù)稱為階歐拉方程。令代入方程，變?yōu)槭亲宰兞?，是未知函?shù)的微分方程，一定是常系數(shù)齊次線性微分方程。 注意下面變換公式： ， ， ， ， 。乙 典型例題 一可降階的高階微分方程 例1求下列微分方程的通解 （1） （2） 解：（1）令，則，原方程化為 屬于貝努里方程 再令 則有 通解： （2）令，則，原方程化為 屬于一階線性方程 例2求下列微分方程的通解 （1） （2） 二常系數(shù)齊次線性微分方程 例1求下列微分方程的通解。 （1） （2） （3） （4） 解：（1）特征方程 ，即 特征根 ， 微分方程通解 （

11、2）特征方程 ，即 特征根 二重根 微分方程通解 （3）特征方程 特征根 微分方程通解 （4） 特征方程 即 特征根 二重根， 微分方程通解 例2設(shè)方程，求滿足，的特解。 三二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 例1求微分方程的一個(gè)特解。 解：這是二階線性常系數(shù)非齊次方程，其自由項(xiàng)呈的形狀，其中，。而該微分方程的特征方程是： 特征根是，。由于不是特征根，故設(shè)特解為 為了確定和，把代入原方程，經(jīng)化簡(jiǎn)，可得 令此式兩端同次冪系數(shù)相等，有 由此解得，因此特解為 例2求微分方程的通解。 答案：最后得原方程通解為 例3求的通解。 答案：因此原方程的通解為 例4求方程的通解。 答案：原方程的通解為 例5求的通解。

12、 答案：原方程的通解為 例6求方程的通解。 答案：原方程的通解為 例7求微分方程的通解。 答案：原方程的通解為：。第五章 向量代數(shù)與空間解析幾何（數(shù)學(xué)一）§51 向量代數(shù)甲 內(nèi)容要點(diǎn) 一空間直角坐標(biāo)系 從空間某定點(diǎn)作三條互相垂直的數(shù)軸，都以為原點(diǎn)，有相同的長(zhǎng)度單位，分別稱為軸，軸，軸，符合右手法則，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系，稱為坐標(biāo)原點(diǎn)。 1兩點(diǎn)間距離 設(shè)點(diǎn)，為空間兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)間的距離可以表示為 2中點(diǎn)公式 設(shè)為，聯(lián)線的中點(diǎn)，則 二向量的概念 1向量 既有大小又有方向的量稱為向量。方向是一個(gè)幾何性質(zhì)，它反映在兩點(diǎn)之間從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的順序關(guān)系，而兩點(diǎn)間又有一個(gè)距離。常用有向線段表示

13、向量。點(diǎn)叫起點(diǎn)，點(diǎn)叫終點(diǎn)，向量的長(zhǎng)度叫做模，記為。 模為的向量稱為單位向量。 2向量的坐標(biāo)表示 若將向量的始點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)，記其終點(diǎn)，且點(diǎn)在給定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為。記以三個(gè)坐標(biāo)軸正向?yàn)榉较虻膯挝幌蛄恳来斡洖椋瑒t向量可以表示為 稱之為向量的坐標(biāo)表達(dá)式，也可以表示為 稱分別為向量在軸，軸，軸上的分量。稱分別為向量在軸，軸，軸上的投影。 記與軸、軸、軸正向的夾角分別為，則 方向余弦間滿足關(guān)系 描述了向量的方向，常稱它們?yōu)橄蛄康姆较蚪恰５哪？梢员硎緸?與向量同方向的單位向量可以表示為。與向量平行的單位向量可以表示為。 向量同方向上的單位向量常記為。 三向量的運(yùn)算 1加法。 減法。 2數(shù)乘。（是常數(shù)） 向

14、量的加、減和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。 3數(shù)量積。 其中為向量間夾角 為數(shù)量也稱點(diǎn)乘。 表示向量在向量上的投影，即 4向量積也稱為叉乘。 的方向按右手法則垂直于所在平面，且 是向量，。等于以為鄰邊的平行四邊形的面積。 5混合積：定義，坐標(biāo)公式 幾何意義表示以為棱的平行大面體的體積。 四兩向量間的關(guān)系 設(shè) 關(guān)系向量表示向量坐標(biāo)表示間夾角與垂直與平行乙 典型例題 例設(shè)為兩個(gè)非零向量，為非零常數(shù)，若向量垂直于向量，則等于（ ）。 （A） （B） （C） （D） 分析：所給向量為抽象向量，宜用向量運(yùn)算公式。如果垂直于向量，因此應(yīng)有 即 由于為非零向量，因而應(yīng)有，故應(yīng)選（B）。§52 平面與直線甲

15、 內(nèi)容要點(diǎn) 一空間解析幾何 1空間解析幾何研究的基本問(wèn)題 （1）已知曲面（線）作為點(diǎn)的幾何軌跡，建立這曲面（線）的方程。 （2）已知坐標(biāo)和間的一個(gè)方程（組），研究這方程（組）所表示的曲面（線）。 2距離公式 空間兩點(diǎn)與間的距離為 3定比分點(diǎn)公式 是的分點(diǎn)：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則 當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)， 二平面及其方程 1法（線）向量，法（線）方向數(shù)。 與平面垂直的非零向量，稱為平面的法向量，通常記成。法向量的坐標(biāo)稱為法（線）方向數(shù)。對(duì)于給定的平面，它的法向量有無(wú)窮多個(gè)，但它所指的方向只有兩個(gè)。 2點(diǎn)法式方程 已知平面過(guò)點(diǎn)，其法向量，則平面的方程為 或 其中 3一般式方程 其中不全為零。前的系數(shù)表示的法線方向數(shù)

16、，是的法向量。 特別情形： ，表示通過(guò)原點(diǎn)的平面。 ，平行于軸的平面。 ，平行平面的平面。 表示平面。 4三點(diǎn)式方程 設(shè)，三點(diǎn)不在一條直線上，則通過(guò)的平面方程為 5平面束 設(shè)直線的一般式方程為，則通過(guò)的所有平面方程為，其中。 6有關(guān)平面的問(wèn)題 兩平面為 與間夾角垂直條件平行條件重合條件 設(shè)平面的方程為，而點(diǎn)為平面外的一點(diǎn)，則到平面的距離： 三直線及其方程 1方向向量、方向數(shù) 與直線平行的非零向量，稱為直線的方向向量，方向向量的坐標(biāo)稱為方向數(shù)。 2直線的標(biāo)準(zhǔn)方程（對(duì)稱式方程）。 其中為直線上的點(diǎn)，為直線的方向數(shù)。 3參數(shù)式方程 為參變量。 4兩點(diǎn)式 設(shè)，為不同的兩點(diǎn)，則通過(guò)和的直線方程為 5一般

17、式方程（作為兩平面的交線）： ，方向向量 6有關(guān)直線的問(wèn)題 兩直線為 與間夾角垂直條件平行條件 四平面與直線相互關(guān)系 平面的方程為： 直線的方程為：與間夾角（）與垂直條件與平行條件與重合條件上有一點(diǎn)在上乙 典型例題友情提供下載 例1已知直線，若平面過(guò)點(diǎn)且與垂直，求平面的方程。 分析：由題意可知，直線的方向向量必定平行于所求平面的法線向量，因此可取 利用平面的點(diǎn)法式方程可知 即 為所求平面方程。 或?qū)憺橐话闶椒匠獭?例2設(shè)平面過(guò)點(diǎn)且與平面平行，則平面的方程為_(kāi)。 例3通過(guò)點(diǎn)且與直線：， 垂直的平面方程為_(kāi)。 例4求點(diǎn)到平面的距離。 例5試確定過(guò)，及三點(diǎn)的平面方程。 例6求通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且垂直于直線

18、的平面方程。 例7求通過(guò)點(diǎn)且垂直于兩平面：和的平面方程。 §53 曲面與空間曲線甲 內(nèi)容要點(diǎn) 一曲面方程 1一般方程 2參數(shù)方程 （平面區(qū)域） 二空間曲線方程 1一般方程 2參數(shù)方程 三常見(jiàn)的曲面方程 1球面方程 設(shè)是球心，是半徑，是球面上任意一點(diǎn)，則，即 2旋轉(zhuǎn)曲面的方程 （1）設(shè)是平面上一條曲線，其方程是繞軸旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)曲面，設(shè)是旋轉(zhuǎn)面上任一點(diǎn)，由點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而來(lái)（點(diǎn)是圓心）。 由得旋轉(zhuǎn)面方程是 或 由參數(shù)方程，得旋轉(zhuǎn)面的參數(shù)方程 ， （2）求空間曲線繞軸一周得旋轉(zhuǎn)曲面的方程 第一步：從上面聯(lián)立方程解出， 第二步：旋轉(zhuǎn)曲面方程為 繞軸一周或繞軸一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程類(lèi)似地處理。 5二次曲面

19、曲面名稱方程曲面名稱方程橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面橢圓拋物面雙曲拋物面單葉雙曲面雙葉雙曲面二次錐面橢圓柱面雙曲柱面拋物柱面 四空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影 1曲線的方程 曲線在平面上的投影 先從曲線的方程中消去得到，它表示曲線為準(zhǔn)線，母線平行于軸的柱面方程，那么 就是在平面上的投影曲線方程。 曲線在平面上投影或在平面上投影類(lèi)似地處理 2曲線的方程 則曲線在平面上的投影曲線方程為 曲線在平面上投影曲線方程為 曲線在平面上投影曲線方程為第六章 多元函數(shù)微分學(xué)§61 多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性甲 內(nèi)容要點(diǎn) 一多元函數(shù)的概念 1二元函數(shù)的定義及其幾何意義 設(shè)是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)每個(gè)點(diǎn)，按照某一對(duì)

20、應(yīng)規(guī)則，變量都有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，則稱是變量，的二元函數(shù)，記以，稱為定義域。 二元函數(shù)的圖形為空間一卦曲面，它在平面上的投影區(qū)域就是定義域。 例如 ， 二元函數(shù)的圖形為以原點(diǎn)為球心，半徑為的上半球面，其定義域就是平面上以原點(diǎn)為圓心，半徑為的閉圓。 2三元函數(shù)與元函數(shù) 空間一個(gè)點(diǎn)集稱為三元函數(shù) 稱為元函數(shù) 它們的幾何意義不再討論，在偏導(dǎo)數(shù)和全微分中會(huì)用到三元函數(shù)。條件極值中，可能會(huì)遇到超過(guò)三個(gè)自變量的多元函數(shù)。 二二元函數(shù)的極限 設(shè)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)任意，存在，只要，就有 則記以或 稱當(dāng)趨于時(shí)，的極限存在，極限值為，否則，稱為極限不存在。 值得注意：這里趨于是在平面范圍內(nèi)，可以按任何方式沿

21、任意曲線趨于，所以二元函數(shù)的極限比一元函數(shù)的極限復(fù)雜；但考試大綱只要求知道基本概念和簡(jiǎn)單的討論極限存在性和計(jì)算極限值，不像一元函數(shù)求極限要求掌握各種方法和技巧。 三二元函數(shù)的連續(xù)性 1二元函數(shù)連續(xù)的概念 若 則稱在點(diǎn)處連續(xù)。 若在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)皆連續(xù)，則稱在內(nèi)連續(xù)。 2閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理1（有界性定理）設(shè)在閉區(qū)域上連續(xù)，則在上一定有界. 定理2（最大值最小值定理）設(shè)在閉區(qū)域上連續(xù)，則在上一定有最大值和最小值 （最大值），（最小值） 定理3（介值定理）設(shè)在閉區(qū)域上連續(xù)，為最大值，為最小值。若，則存在，使得乙 典型例題 一求二元函數(shù)的定義域 例1求函數(shù)的定義域 解：要求 即； 又要求 即

22、或 綜合上述要求得定義域 或 例2求函數(shù)的定義域 二有關(guān)二元復(fù)合函數(shù) 例1設(shè)，求 解：設(shè)，解出， 代入所給函數(shù)化簡(jiǎn) 故 例2設(shè)，求 例3設(shè)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)和 例4設(shè)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)和。 三有關(guān)二元函數(shù)的極限 例1討論 （常數(shù)） 解：原式 而 又 原式 例2討論 例3討論 例4討論 §62 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分甲 內(nèi)容要點(diǎn) 一偏導(dǎo)數(shù) 1定義 設(shè)二元函數(shù) 若存在，則記以，或 或稱為在點(diǎn)處關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)。 同理，若存在，則記以，或 或稱為在點(diǎn)處關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)。 類(lèi)似地，設(shè) 即 即 即 2二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 表示曲面與平面的截線在點(diǎn)處的切線關(guān)于軸的斜率；表示曲面與平面的截線在點(diǎn)處的切線關(guān)于

23、軸的斜率 3高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè)的偏導(dǎo)數(shù)和仍是二元函數(shù)，那么它們的偏導(dǎo)數(shù)就稱為的二階偏導(dǎo)數(shù)，共有四種。 當(dāng)，在處為連續(xù)則 也就是說(shuō)在這種情況下混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)的次序無(wú)關(guān)。 類(lèi)似地可以討論二元函數(shù)的三階及階偏導(dǎo)數(shù)。 也可以討論元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)。 二全微分 1二元函數(shù)的可微性與全微分的定義 設(shè)在點(diǎn)處有全增量 若 其中不依賴于只與有關(guān)， 則稱在處可微，而稱為在處的全微分，記以或 2二元函數(shù)的全微分公式 當(dāng)在處可微時(shí) 則 這里規(guī)定自變量微分， 一般地 3二元函數(shù)全微分的幾何意義 二元函數(shù)在點(diǎn)處的全微分在幾何上表示曲面在點(diǎn)處切平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量。 4元函數(shù)的全微分公式 類(lèi)似地可以討論三元函數(shù)和元函數(shù)的

24、可微和全微分概念，在可微情況下 三偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的可微性，偏導(dǎo)數(shù)的存在性與函數(shù)的連續(xù)性之間的關(guān)系友情提供下載 設(shè)，則連續(xù)存在 四方向?qū)?shù)與梯度（數(shù)學(xué)一） 1平面情形 在平面上過(guò)點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù) 在點(diǎn)處的梯度為 而方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系為 由此可見(jiàn)，當(dāng)?shù)姆较蚺c的方向一致時(shí)，為最大，這時(shí)等于又方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為 這相當(dāng)用兩向量的點(diǎn)乘的坐標(biāo)公式 2空間情形（略）§63 多元函數(shù)微分法甲 內(nèi)容要點(diǎn)一復(fù)合函數(shù)微分法鎖鏈公式 模型 1， ； 模型2， 模型3， 模型4， 還有其它模型可以類(lèi)似處理二隱函數(shù)微分法 設(shè) （1）確定則； （2）確定則； （3）確定則；乙 典型例題 例1設(shè)有連

25、續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又函數(shù)及分別由下列兩式確定 和，求 答案： 例2設(shè)，是由和所確定的函數(shù)，其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 答案：§64 多元函數(shù)的極值和最值甲 內(nèi)容要點(diǎn) 一求的極值 第一步 求出駐點(diǎn) 第二步 令 若 則不是極值 若 則不能確定（需從極值定義出發(fā)討論） 若 則是極值 進(jìn)一步 若 則為極小值 若 則為極大值 二求多元函數(shù)條件極值的拉格朗日乘子法 求的極值 約束條件 作 求出是有可能的條件極值點(diǎn)，一般再由實(shí)際問(wèn)題的含義確定其充分性。這種方法的關(guān)鍵是解方程組的有關(guān)技巧。 三多元函數(shù)的最值問(wèn)題乙 曲型例題 一普通極值問(wèn)題 例1求函數(shù)的極值 解：， 要求，得 故知，由

26、此解得三個(gè)駐點(diǎn) ， 又， 在點(diǎn)處 ， 又， 是極小值點(diǎn) 極小值 在點(diǎn)處 ，。 ，也是極小值點(diǎn) 極小值 在點(diǎn)處 ，。 不能判定。 這時(shí)取，（其中為充分小的正數(shù)）則而取時(shí)，由此可見(jiàn)不是極值點(diǎn)。 例2求函數(shù)的極值 二條件極值問(wèn)題（在強(qiáng)化班再討論）第七章 多元函數(shù)積分學(xué)§71 二重積分甲 內(nèi)容要點(diǎn)一二重積分的概念與性質(zhì) 1定義 設(shè)是定義在有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，如果對(duì)任意分割為個(gè)小區(qū)域?qū)π^(qū)域上任意取一點(diǎn)都有 存在，（其中又表示為小區(qū)域的面積，為小區(qū)域的直徑，而） 則稱這個(gè)極限值為在區(qū)域上的二重積分 記以，這時(shí)就稱在上可積。 如果在上是有限片上的連續(xù)函數(shù)，則在上是可積的。 2幾何意義 當(dāng)為閉

27、區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，且，則二重積分表示以曲面為頂，側(cè)面以的邊界曲線為準(zhǔn)線，母線平行于軸的曲頂柱體的體積。 當(dāng)封閉曲面它在平面上的投影區(qū)域?yàn)?，上半曲面方程為，下半曲面方程為，則封閉曲面圍成空間區(qū)域的體積為 3基本性質(zhì) （1）（為常數(shù)） （2） （3） 其中，除公共邊界外，與不重疊。 （4）若，則 （5）若，則 其中為區(qū)域的面積。 （6） （7）積分中值定理 設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，為的面積，則存在，使得 我們也把稱為在上的積分平均值。 4對(duì)稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì) 定理1設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關(guān)于軸對(duì)稱，則 其中為在軸的上半平面部分。 定理2設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關(guān)于軸對(duì)稱，則 其中為在軸的右

28、半平面部分。 定理3設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則 其中為的上半平面或右半平面。 定理4設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關(guān)于直線對(duì)稱，則 若，分別為在的上方與下方部分，則 二在直角坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分以及交換積分順序問(wèn)題 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中，在上連續(xù)，在上連續(xù)。 則 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中，在上連續(xù)，在上連續(xù)。 則 關(guān)于二重積分的計(jì)算主要根據(jù)模型或模型把二重積分化為累次積分從而進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于比較復(fù)雜的區(qū)域，如果既不符合模型中關(guān)于的要求，又不符合模型中關(guān)于的要求，那么就需要把分解成一些小區(qū)域，使得每一個(gè)小區(qū)域能夠符合模型或模型中關(guān)于區(qū)域的要求，利用二重積分性質(zhì)，把大區(qū)域上二重積

29、分等于這些小區(qū)域上二重積分之和，而每個(gè)小區(qū)域上的二重積分則可以化為累次積分進(jìn)行計(jì)算。 在直角坐標(biāo)系中，兩種不同順序的累次積分的互相轉(zhuǎn)化是一種很重要的手段，具體做法是先把給定的累次積分反過(guò)來(lái)化為二重積分，求出它的積分區(qū)域，然后根據(jù)再把二重積分化為另外一種順序的累次積分。三在極坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分 在極坐標(biāo)系中一般只考慮一種順序的累次積分，也即先固定對(duì)進(jìn)行積分，然后再對(duì)進(jìn)行積分，由于區(qū)域的不同類(lèi)型，也有幾種常用的模型。 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中，在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在

30、上連續(xù)，在上連續(xù)，則 四二重積分在幾何上的應(yīng)用 1空間物體的體積 其中為閉曲面在平面上投影區(qū)域?yàn)樯习肭?，為下半曲面?2空間曲面的面積 其中為曲面在平面上投影，曲面的方程乙 典型例題一直角坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算 例1計(jì)算，其中是由曲線，所圍區(qū)域。 解： 例2計(jì)算其中是以，和為邊的平行四邊形區(qū)域。 例3計(jì)算其中是由擺線，的第一拱和軸所圍區(qū)域。 例4計(jì)算 例5計(jì)算 例6計(jì)算，其中由，和軸所圍區(qū)域。 例7計(jì)算其中由和所圍區(qū)域。二極坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算 例1計(jì)算其中由與軸圍成上半圓區(qū)域。 解：在極坐標(biāo)系里， 三交換積分順序 例1交換的積分順序 解：原式 其中由，和所圍的區(qū)域。 按另一積分順序把二重

31、積分化累次積分 原式 例2交換的積分順序 例3交換的積分順序 例4交換的積分順序 例5交換的積分順序 四二重積分在幾何上的應(yīng)用 1求空間物體的體積 例1求兩個(gè)底半徑為的正交圓柱面所圍立體的體積 答案： 例2求球面和圓柱面所圍（包含原點(diǎn)那一部分）的體積 解：根據(jù)對(duì)稱性可知 其中為平面上與軸所圍平面區(qū)域用極坐標(biāo)系進(jìn)行計(jì)算 例3求曲面，所圍立體的體積。 §72 三重積分（數(shù)學(xué)一）甲 內(nèi)容要點(diǎn)一三重積分的概念與性質(zhì) 1定義 設(shè)是定義在空間有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，如果對(duì)任意分割為個(gè)小區(qū)域且對(duì)小區(qū)域上任意取一點(diǎn)都有存在（其中又表示為小區(qū)域的體積，為小區(qū)域的直徑，而）則稱這個(gè)極限值為在空間區(qū)域上的

32、三重積分，記以。這時(shí)就稱函數(shù)在上是可積的。 上的連續(xù)函數(shù)一定是可積的。 2基本性質(zhì) （1）（為常數(shù)） （2） （3） 其中，除公共邊界外，與不重疊 （4）若，則 （5）若，則 其中V為區(qū)域的體積 （6） （7）積分中值定理 設(shè)在空間有界閉區(qū)域上連續(xù)，為的體積，則存在，使得 我們也把稱為在上的積分平均值。 3對(duì)稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì) 定理：設(shè)在空間有界閉區(qū)域上連續(xù)，而關(guān)于平面對(duì)稱，則 其中是在平面上方的那一部分區(qū)域。 至于關(guān)于平面對(duì)稱，或關(guān)于平面對(duì)稱有類(lèi)似的結(jié)果。二三重積分的計(jì)算方法 1直角坐標(biāo)系中三重積分化為累次積分 （1）設(shè)是空間的有界閉區(qū)域， 其中是平面上的有界閉區(qū)域，在上連續(xù)，函數(shù)在

33、上連續(xù)，則 （2）設(shè) 其中為豎坐標(biāo)為的平面上的有界閉區(qū)域，則 2柱坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算 相當(dāng)于把化為極坐標(biāo)而保持不變。 3球坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算 然后再根據(jù)把三重積分化為關(guān)于的累次積分。 乙 典型例題（強(qiáng)化班時(shí)再討論）友情提供下載§73 曲線積分（數(shù)學(xué)一）甲 內(nèi)容要點(diǎn)一第一類(lèi)曲線積分（對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分） 1定義 平面情形：設(shè)平面上逐段光滑曲線上定義函數(shù)把曲線任意分割為段，在上任取一點(diǎn)，如果對(duì)任意分割，任意取點(diǎn)，下列極限皆存在并且相等。 （這里又表示第段曲線的弧長(zhǎng)，） 則稱此極限值為在曲線上的第一類(lèi)曲線積分也稱為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，記以 如果曲線是封閉曲線，則記以 空間情形：空間一條

34、逐段光滑曲線上定義函數(shù)，把曲線任意分割為段，在上任取一 點(diǎn)，如果對(duì)任意分割，任意取點(diǎn)，下列極限皆存在并且相等。 （這里又表示第段曲線的弧長(zhǎng)，） 則稱此極限值為在曲線上的第一類(lèi)曲線積分，也稱為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，記以 如果曲線是封閉曲線，也記以 2參數(shù)計(jì)算公式 我們只討論空間情形（平面情形類(lèi)似） 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程， 則 （假設(shè)和，皆連續(xù)）這樣把曲線積分化為定積分來(lái)進(jìn)行計(jì)算。二第二類(lèi)曲線積分（對(duì)坐標(biāo)的曲線積分） 1定義 平面情形：設(shè)平面一條逐段光滑有定向的曲線，函數(shù)和皆在上有定義，把任意分成段，在上起點(diǎn)坐標(biāo)為，終點(diǎn)坐標(biāo)為（按的定向決定起點(diǎn)和終點(diǎn)）令， ，再在上任取一點(diǎn)，考慮極限 其中仍然是段弧長(zhǎng)

35、中的最大值，如果對(duì)任意分割，任意取點(diǎn)，上述極限皆存在并且相等，則稱此極限值為和對(duì)曲線的第二類(lèi)曲線積分，也稱對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，記以 第二類(lèi)曲線積分有時(shí)也用向量形式表示，這時(shí)向量 ，用向量點(diǎn)乘概念 另外，平面曲線是封閉曲線時(shí)，它的定向用逆時(shí)針?lè)较蚧蝽槙r(shí)針?lè)较蚣右灾该鳌?空間情形：設(shè)空間一條逐段光滑有定向的曲線，函數(shù)，在上皆有定義，把任意分成段，在上起點(diǎn)坐標(biāo)為，終點(diǎn)坐標(biāo)（按的定向決定起點(diǎn)和終點(diǎn)）令，再在上任意一點(diǎn)考慮極限 其中仍是段弧長(zhǎng)中最大值，如果對(duì)任意分割，任意取點(diǎn)，上述極限皆存在并且相等，則稱此極限值為，和對(duì)空間曲線的第二類(lèi)曲線積分，也稱對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，記以 它的向量形式為 其中 如果是空間

36、封閉曲線也要說(shuō)明的定向，在空間不能簡(jiǎn)單地說(shuō)逆時(shí)針?lè)较蚧蝽槙r(shí)針?lè)结?，必須用其他方式加以說(shuō)明。 2參數(shù)計(jì)算公式 我們只討論空間情形（平面情形類(lèi)似） 設(shè)空間有向曲線的參數(shù)方程，起點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為，終點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為（注意：現(xiàn)在和的大小不一定）如果，皆連續(xù)，又，也都連續(xù)，則 這樣把曲線積分化為定積分來(lái)計(jì)算。值得注意：如果曲線積分的定向相反，則第二類(lèi)曲線積分的值差一個(gè)負(fù)號(hào)，而第一類(lèi)曲線積分的值與定向無(wú)關(guān)，故曲線不考慮定向。三兩類(lèi)曲線積分之間的關(guān)系 1平面情形 設(shè)平面上一個(gè)逐段光滑有定向的曲線，在上連續(xù)，則 其中，為曲線弧在點(diǎn)處沿定向到方向的切線的方向余弦。 2空間情形 設(shè)為空間一條逐段光滑有定向的曲線，在上連續(xù)

37、，則 其中，為曲線弧上點(diǎn)處沿定向到方向的切線的方向余弦。四格林公式 關(guān)于平面區(qū)域上的二重積分和它的邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系有一個(gè)十分重要的定理，它的結(jié)論就是格林公式。 定理1（單連通區(qū)域情形） 設(shè)平面上有界閉區(qū)域由一條逐段光滑閉曲線所圍成的單連通區(qū)域。當(dāng)沿正定向移動(dòng)時(shí)區(qū)域在的左邊，函數(shù)，在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有 定理2（多連通區(qū)域情形） 設(shè)平面上有界閉區(qū)域是連通區(qū)域（也即有個(gè)“洞”），它的邊界，其中的定向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?，定向皆為順時(shí)針?lè)较?，仍符合沿的正定向移?dòng)時(shí)區(qū)域在它的左邊這個(gè)原則。 函數(shù)，在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則 五平面上第二類(lèi)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的幾個(gè)等價(jià)條件 設(shè)的分量，在單連通

38、區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下面幾條彼此等價(jià)。 1對(duì)內(nèi)任意一條逐段光滑閉曲線，都有 2任意在內(nèi)，則只依賴于起點(diǎn)和終點(diǎn)，與曲線的取法無(wú)關(guān)，稱為曲線積分與路徑無(wú)關(guān)。 3成立。 4內(nèi)處處有成立。 5向量場(chǎng)是有勢(shì)場(chǎng)，即存在二元函數(shù)，具有，稱為勢(shì)函數(shù)，具有，。 乙 典型例題（強(qiáng)化班再討論）§74 曲面積分（數(shù)學(xué)一）甲 內(nèi)容要點(diǎn)一第一類(lèi)曲面積分（對(duì)面積的曲面積分） 1定義 設(shè)為分塊光滑曲面，在上有定義，把曲面任意分成塊小曲面，在上任取一點(diǎn)，把小曲面的面積也記以，而表示各小塊曲面直徑的最大值。如果對(duì)任意分割和任意取點(diǎn)，下列極限皆存在且相等 則稱這極限值為在曲面上的第一類(lèi)曲面積分，也稱對(duì)面積的曲面積分

39、，記以 2基本計(jì)算公式 設(shè)曲面的方程，在上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。 在上連續(xù)，則 這樣把第一類(lèi)曲面積分化為二重積分進(jìn)行計(jì)算。二第二類(lèi)曲面積分（對(duì)坐標(biāo)的曲面積分） 1定義 設(shè)為分塊光滑有向曲面（已指定一側(cè)為定向)，皆在上有定義，把曲面任意分成個(gè)小曲面，而在平面上投影的面積記以，在平面上投影的面積記以，在平面上投影的面積記以，又在上任取一點(diǎn)，令是各小塊曲面直徑的最大值，考慮極限 如果對(duì)任意分割，任意取點(diǎn)，極限值都存在并且相等，則這個(gè)極限限稱為，在有向曲面上的第二類(lèi)曲面積分，也稱為對(duì)面積的曲面積分，記以 如果令， 則向量形式為 2基本計(jì)算公式 如果曲面的方程， 在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 若曲面指定一側(cè)的法向量與軸正向成銳角取正號(hào)，成鈍角取負(fù)號(hào)。這樣把這部分曲面積分化為平面上的二重積分。