北郵概率論和數理統(tǒng)計離散型隨機變量及其分布律2.2

1、-1-/82.2離散型隨機變量及其分布律用隨機變量描述隨機現象，通過對隨機變量的概率分布的研究達到對隨機現象的統(tǒng)計規(guī)律性的全面把握.對于一個隨機變量X及任一個實數集A，所有的事件X A的概率P X A構成了X的概率分布.顯然這種方式描述概率分布是不方便的,為此我們需要尋找描述概率分布的數學工具對于離散型隨機變量X,如果知道了它取各個可能值的概率，那么我們可求出任一事件X A的概率PX A.因此離散型隨機變量,其概率分布可通過它取各個可能值的概率來描述，這便是下面介紹的離散型隨機變量的分布律.一般的隨機變量的概率分布的描述及連續(xù)型隨機變量的概率分布的描述將在后面兩節(jié)中介紹2.1.1 離散型隨機變

2、量的分布律定義 2.2.1 設X是離散型隨機變量，其所有可能的取值為X, x2,xi,，X取各個可能值的概率為PX Xi Pi,i 1,2,(2.2.1)稱(2.2.1)式為X的分布律.分布律常用如下的表格表示:XX1X2xiPP1P2Pi由概率的定義，易得分布律 pi具有如下基本性質(1)非負性pi0，i 1,2,.規(guī)范性pi1.i 1以上兩條基本性質是分布律必須具有的性質，也是判斷某個有限或無窮數列pi是否能成為分布律的充要條件.例 1 擲兩顆骰子，X表示兩顆骰子的點數之和，(1 )求X的分布律；(2)求點數之和至少為 8 的概率.解：(1)X所有可能取的值為2,3,4,5,6,7,8,9

3、,10,11,12，并且PX2 36，PX3_2PX 43PX54363636365654PX636，PX736，PX 836，PX936- 2 - / 8321px 36，PX 1136，PX 1236- 3 - / 8即得X的分布律X 23456789101112P123456543213636363636363636363636k k n kPX k Cnp q,k 0,1, ,n，q 1 p.容易驗證nk k n knCnp q (p q) 1.k 0由于上述分布中每個概率c：pk(1 p)n k正好是(p q)n的二項展開式的一項，因此把這個分布稱為二項分布于是有下面定義定義若隨機變

4、量X的分布律為PX k Cnkpkqn k,k 0,1, ,n,其中p (0,1),q 1 p,則稱X服從參數為(n, p)的二項分布，記為XB(n, p).二項分布是非常重要的離散型分布之一，這個分布的背景就是多重伯努利試驗.對于具體的隨機現象，若能歸于多重伯努利試驗模型，那么表示某種結果發(fā)生次數的隨機變量就服從 二項分布.比如11將一骰子擲n次，點數 6 出現的次數X服從參數為(n,)的二項分布，即XB(n,).66N件產品中有M件次品，從中有放回地抽檢n件，那么取出的次品件數X服從參數為P X 8PX8PX9PX 10 PX 11PX12363636363612例 2 將 2 個球隨機地

5、放入 3 個盒子中，X表示某指定的盒子中球的個數，求解：X所有可能取的值為 0,1,2,并且X的分布律。4PX 0 9，PX 1416，PX 29，常用的離散型分布紹幾種常用的離散型分布二項分布n重伯努利試驗中，設每次試驗成功的概率為,則X的分布律為p,如果記X為PX k c：pk(1 p)nk,k 0,1,n,其中p (0,1).若記q1 p,則上面分布律改寫為即得X的分布律- 4 - / 8(n,M)的二項分布，XB(n,M).NN假設某種藥的治愈率為p，今有n個病人服用該藥，治愈人數X服從二項分布B(n,p).連續(xù)發(fā)送n個碼字，誤碼率為p，那么誤碼數X服從二項分布B(n, p).k kn

6、 k二項分布中，各個概率Cnp (1 p)隨k變化而變化，一般的規(guī)律是先隨k增大而增大，然后隨k增大而變小，有最大值.那么k為何值時，這個概率最大？這個問題留給同學 去解決。在二項分布中一種最簡單的二項分布便是二點分布.n 1時的二項分布B(1, p)稱為兩點分布.兩點分布也叫做(0-1)分布，其分布律為k1 kPX k p (1 p) ,k 0,1.或用表格表示為X01P1 pp當一個試驗只有兩種可能結果時就可用二點分布來描述.比如，一粒種子是否發(fā)芽，一次射擊是否命中目標，抽檢的一件產品是否為合格品等等.二點分布是二項分布的特例，但反過來二項分布B(n，p)也可由n個具有相同參數p的二點分布

7、的和得到.我們可通過二點分布B(1, p)和二項分布B(1, p)的經驗背景得到此結論.考慮n重伯努利試驗模型.X表示n重伯努利試驗成功的次數.X1表示試驗第一次成功 的次數，X2表示第二次試驗成功的次數，Xn表示第n次試驗成功的次數.那么X X1XXn，并且X1，X2， ，Xn均服從參數為p的二點分布，XB(n，p).這里要注意的是，由于各次試驗相互獨立，因而隨機變量X1，X2， ，Xn也相互獨立(隨機變 量的獨立性概念將在下一章討論).準確地說是：服從參數為(n，p)的二項分布的隨機變量可表示為n個獨立同分布的二點分布的隨機變量之和例 1 按規(guī)定，某種型號電子元件的使用壽命超過1500 小

8、時的為一級品.已知某一大批產品的一級品率為 0.2,現從中隨機地抽查 20 只求 20 只元件中一級品只數X的分布律. 解：我們將檢查一只元件是否為一級品看成是一次試驗，檢查 20 只元件相當于做 20 重伯努利試驗.從而知XB(20,0.2)，即X的分布律為PX k C2k00.2k(0.8)20 k，k 0,1，20.將計算結果列表如下- 5 - / 8為了對本題的結果有一個直觀了解，我們作出上表的圖形（見 P35）.例 2 設有 80 臺同類型設備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺設備的故障能由一個人處理考慮兩種配備維修工人的方法，其一是由 4 人維護，每人負責

9、20臺.其二是由 3 人共同維護 80 臺.試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率 的大小. （P36）二.泊松分布由微積分的知識可得kek 0k!k這樣只要0，e便構成一個分布律，這種分布律稱為泊松分布k!定義若隨機變量X的分布律為keP（X k），k 0,1,，k!其中0,則稱X服從參數為的泊松分布，記為X（）.（Poisson）首次提出的.它是一種常用的離散型分布，但它與二項有聯系，這種聯系由下面定理刻畫.對于任意固定的k N，有kk kn kelimCnPn(1Pn)nk!證明略（留給同學完成）.上述定理中，把條件pn改為npnn該定理的一個應用便是可以近似計算二項分布的概

10、率kk kn kenPn(1 Pn)k!由于Pn-,則當n很大時，pn很小.故在計算二項分布B（n, p）的概率值時，當n很大,np很小，且np大小適中時，可以用參數為np的泊松分布的概率值近似，即kk kn keC從而k 0kek!1,泊松分布是1837年由法國數學家泊松 這種分布的實際背景沒有二項分布明顯定理（泊松定理）在n重伯努利試驗中,事件A發(fā)生的概率為Pn（與試驗次數有關）,n，結論亦成立.由定理可以看出當n很大時，有- 6 - / 8CnP （1 P）,（其中 叩）.k!例 1 某人獨立地射擊，假設每次射擊命中的概率為0.02,射擊 400 次,求他至少命中兩次的概率.解 設命中的

11、次數記為X,則XB(400,0.02),所求概率為PX 21 PX 0 PX 11 0.98400400 0.02 0.98直接計算上式很麻煩由于這里的n 400很大,而p 0.02很小，我們可用泊松分布近似計算上面的概率.PX 21 e88e-80.997.由泊松定理可以得到適合于用泊松分布來描述其統(tǒng)計規(guī)律性的隨機現象所具備的背景條 件.看下面例子.例 2放射性物質在規(guī)定的一段時間內放射的粒子數X是一隨機變量。羅瑟福(Rutherford )和蓋克(Geiger)觀察和分析了放射性物質放射出的粒子個數情況.他們做了 2608 次觀察(每次時間為 7.5 秒),整理如下表粒子數k觀察的頻數頻率

12、按3.87的泊松分布計算的概率0570.0220.02112030.0780.08123830.1470.15635250.2010.20145320.2040.19554080.1560.15162730.1050.09771390.0530.0548450.0170.0269270.0100.0119160.0060.007合計26080.9991.000這里3.87是用總的放射粒子數除以總的觀察次數算出來的.它的實際意義是：平均每次放射出的粒子數.由以上的觀察與分析可以看出頻率與用泊松分布計算出的概率非常接近.因此可認為放射的粒子數X服從泊松分布.我們也可以從理論上解釋這個結果.首先設想

13、把體積為V的某塊放射性物質分割成體積相同的n小塊,這樣每小塊的體積同為VV,并且n足夠大，并假定：n(1) 對每小塊而言，在 7.5 秒內放射出一個粒子的概率都為- 7 - / 8PnV其中0是常數(與n無關，也不因小塊的不同而不同),在 7.5 秒內放射出二個或二個以上- 8 - / 8V粒子的概率為 0（準確說是：當n很大時，這個概率很小很小，是V的高階無窮?。?n（2）各小塊是否放射出粒子是相互獨立的在此假定下，事件“在 7.5 秒內恰好放射出k個粒子”等同于事件“在n重伯努利試驗中恰好成功k次”，于是PX k C：p：（1 Pn）n k上式右端與n有關，它實際上是PX k的近似值.容易

14、理解，把物質無限細分，就能得到P X k的精確值，也即P X k的精確值是上式右端的極限，PX knimC：p：（1 pn）n k由泊松定理可得其中npnV.從上面例子可以總結出，對于隨機現象中用以記錄某種事件發(fā)生次數的隨機變量X,其服從泊松分布的背景條件：（1）事件的發(fā)生（如粒子的放射）的基本速率在空間或時間上 是常數； （2）事件的發(fā)生在不同空間或時間區(qū)間上相互獨立；（3）事件不能同時發(fā)生。在生物學、醫(yī)學、保險業(yè)、排隊論等領域中，泊松分布是一種常用的分布例如，容器內的細菌數，鑄件的疵點數，交通路口的事故數，電話呼叫次數等等得最大值?（三）.超幾何分布在上一章中，我們討論了不放回抽樣模型：設

15、有N件產品，其中有M件不合格，從中不放回地取n件，則其中不合格品件數X的分布律為k n kkMQNM，k 0,1,CN這種分布稱為超幾何分布，記為Xh（n, N, M ）若把“不放回地取n件”改為“放回地取n件”，則X服從二項分布B（n，）但當n遠N小于N時，兩個分布差別不大P(X k)kek!思考題：泊松分布中的各個概率P（X k）ke隨k變化而變化的規(guī)律如何？何時取PX- 9 - / 8思考題：超幾何分布中的各個概率時取得最大值?（四）.幾何分布、負二項分布P(Xk)k n k MCNMCN隨k變化而變化的規(guī)律如何- 10 - / 8記q 1 p,由上面展開式可得考慮獨立重復試驗序列，若每

16、次試驗成功的概率為的試驗次數X是一個隨機變量，它的分布律為P(X k) (1 p)k1p，k 1,2,p，一直進行到試驗成功為止，所需這種分布稱為幾何分布,記為XGe( p)容易驗證(1 p)k 1pk 1例如，連續(xù)擲一骰子，直至點數6 為止，則所需的拋擲次數X是一個隨機變量，且XGe(1)-幾何分布具有一個特別的性質：設想連續(xù)進行試驗，一直到第無記憶性m次試驗都未成功，從此時算起為了等到試驗成功所需的試驗次數Y還是服從幾何分布,參數還是原來的參數p，與m無關.這就是所謂的無記憶性用數學的語言刻畫幾何分布的無記憶性就是:設XGe( p)，則對任意正整數m,n，有PX n m|X m P X n

17、,n 1P X n m | X m pq上面等式的證明并不難，請同學們完成.有趣的是，在取正整數值的離散分布中，只有幾何分布具有無記憶性。還是考慮獨立重復試驗序列， 若每次試驗成功的概率為p,一直進行到試驗成功r次為止, 所需的試驗次數X是一個隨機變量，它的分布律為PX k Ck 1(1 p)k rpr,k r,r 1,這種分布稱為負二項分布或帕斯卡分布,記為XNb(r, p)。易見r 1時的負二項分布就是幾何分布負二項式(1 x)r有泰勒展開式(1 X)(r)( r 1)( r i 1)(ii 0i!Crr1 ii 1X- 11 - / 8Ckr11qk rprprCrri11qipr(1 q)r1kr i 0若令Y表示r次成功之前失敗的次數，那么Y X r,且Y的分布律為PY i Cirr11(1 p)ipr，i 0,1,rr可見Y的分布中各個概率正是負二項式(1 q)r(q 1 p)的展開式中的各項再乘pr. 這也是負二項分