數(shù)學(xué)建模習(xí)題——線性規(guī)劃

1、某銀行經(jīng)理計(jì)劃用一筆資金進(jìn)行有價(jià)證券的投資，可供購進(jìn)的證券以及其信用等級(jí)、到期年限、收益如下表所示.按照規(guī)定，市政證券的收益可以免稅，其他證券的收益需按 50%勺稅率納稅.此外還有 以下限制：1)政府及代辦機(jī)構(gòu)的證券總共至少要購進(jìn) 400萬元；2)所購證券的平均信用等級(jí)不超過1.4(信用等級(jí)數(shù)字越小，信用程度越高)；3)所購證券的平均到期年限不超過5年.證券名稱證券不性信用等級(jí)到期年限到期稅前收益(%)A市政294.3B代辦機(jī)構(gòu)2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5表四問：(1)若該經(jīng)理有1000萬元資金，應(yīng)如何投資？(2)如果能夠以2.75%的利率借到不超過100萬元資

2、金，該經(jīng) 理應(yīng)如何操作？(3)在1000萬元資金情況下，若證券A的稅前收益增加為4.5%, 投資應(yīng)否改變？若證券 C的稅前收益減少為4.8%,投資應(yīng)否改變？解：設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為M(x)，投資A、B、C D E五種類型的證券資金分別為X1，X2，X3，X4，X5萬元，則由題設(shè)條件可知0.045x55M (x) 0.043x1 0.027x2 0.025x3 0.022x4-3；XiX22x19x1x2 x3 x4 x5 1000x3 x4 4002x2 x3 x4 5x5 1.4(x1 x2 x3 x415x2 4x3 3x4 2x5 5(x1 x2 x3 x4x5 )x5 )XpXzEXs0利用M

3、ATLA求解最優(yōu)解，代碼如下:c=-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045;A=1 1 1 1 1;0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2b=1000;-400;0;0;Aeq=；beq電vlb=0;0;0;0;0;vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)運(yùn)行結(jié)果如下:218.18180.0000736, 36360.000043、4545-29. 834即 x1 218.1818,x2 0,x3 736.3636,x4 0,x5 45.4545因止匕，應(yīng)投資A證券218

4、.1818萬元，B證券0萬元，C證券736.3636萬元，D證券45.4545萬元，最大利潤(rùn)為29.8364萬元。(2)設(shè)借到資金y萬元,則由題設(shè)條件可知:0.025x3 0.022x40.045x5 0.0275yx5)乂5)M (x) 0.043x1 0.027x2 x1 x2 x3 x4 x5 1000 x2 x3 x4 4002x1 2x2 x3 x4 5x5 1.4(x1 x2 x3 x49x1 15x2 4x3 3x4 2x55(x1 x2 x3 x4x1,x2, 乂3,4,00 y 100利用MATLA求最優(yōu)解，代碼如下c=-0.043 -0.027 -0.025 -0.022

5、-0.045 0.0275;A=1 1 1 1 1 -1;0 -1 -1 -1 0 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6 0;410 -1 -2 -3 0;0 0 0 0 0 1;b=1000;-400;0;0;100;Aeq=;beq=;vlb=0;0;0;0;0;0;vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)運(yùn)行結(jié)果如下：240, 0000iQ. 000081Q. 0000句O. 000030. 0000100. DOOOfval -30. 0700即 Xi 240, X2 0,X3 810, X4 0,X5 50, y 100所以經(jīng)理應(yīng)借出100萬元用于投資，應(yīng)投資 A證券240萬元，B 證券0萬元，C證券810萬元，D證券50萬元，最大利潤(rùn)為30.07萬 元。(3)在1000萬元資金的條件下：(I)若證券A的稅前收益增加為4.5%,根據(jù)MATLAB!行結(jié)果 (運(yùn)行結(jié)果與第(1)問的運(yùn)行結(jié)果相同)可知所投資的各種證券值不 變，所以投資不用改變。(II)若證券C的稅前收益減少為4.8%, MATLAB!行結(jié)果如下：X =336, 0