初二下期末幾何壓軸題及解析匯報(bào)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔初二下期末幾何及解析1、以四邊形ABC兩邊AB AD為邊分別向外側(cè)作等邊三角形 ABF和ADE連接EB FD,交點(diǎn)為G.(1)當(dāng)四邊形ABCM正方形時(shí)(如圖1), EB和FD的數(shù)量關(guān)系是 ;(2)當(dāng)四邊形ABCM矩形時(shí)(如圖2), EB和FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系 ？請(qǐng)加以證明；(3)四邊形ABC時(shí)正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過(guò)程中，/EG比否發(fā)生變化？如果改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)?jiān)趫D 3中求出/ EGD勺度數(shù).Ml隊(duì)期文案大全難度一般：證全等即可(第三問(wèn)，圖 1中就能看出是45。)解（1） EB=FD 。 （2） EB=FD證：, AFB為等邊三角形，AF=AB / FA

2、B=60° ADE為等邊三角形，AD=AE / EAD=60 ,/ FAB+/ BAD= EAD叱 BAD即/ FAD4 BAE,.1.A FA陰 BAE,，EB=FD（3）解：, ADE為等邊三角形，/ AEDhEDA=60 FA陰 BAE 1 / AEB=/ ADF設(shè)/ AEB為x° ,貝U/ ADF也為x于是有/ BED為（60-x） ° , / EDF為（60+x） °/ EGD=180 - / BED-/ EDF=180° - (60-x) ° - (60+x) ° =60°2、已知：如圖，在 DABCD

3、中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)， 連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F ,連接BF.(1)求證：ABEFCE;(2)若AF=AD ,求證：四邊形 ABFC是矩形.簡(jiǎn)單題證明：(1)如圖1 .在4ABE 和4FCE 中，/ 1 = Z2, /3=/4, BE=CE, ABEA FCE.(2) /A ABEA FCE,，AB=FC.AB/ FC,二.四邊形 ABFC是平行四邊形.2 .四邊形 ABCD是平行四邊形，AD = BC.圖13 AF=AD, AF=BC,二.四邊形 ABFC 是矩形.3、已知： ABC是一張等腰直角三角形紙板，/B=90°, AB=BC=1.(1)要在這張紙板上剪出一個(gè)正方

4、形，使這個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在4ABC的邊上.小林設(shè)計(jì)出了一種剪法，如圖1所示.請(qǐng)你再設(shè)計(jì)出一種不同于圖1的剪法，并在圖2中畫(huà)出來(lái).1中的正方形面積進(jìn)行比較。(2)若按照小林設(shè)計(jì)的圖 1所示的剪法來(lái)進(jìn)行裁剪，記圖1為第一次裁剪，得到 1個(gè)正方形，將它的面積記為§ ,則S1=；余下的2個(gè)三角形中還按照小林設(shè)計(jì)的剪法進(jìn)行第二次裁剪(如圖 3),得到2個(gè)新的正方形，將此次所得 2個(gè)正方形的面積的和 記為S2 ,則S2=;在余下的4個(gè)三角形中再按照小林設(shè)計(jì)的的剪法進(jìn)行第三次裁剪(如圖4),得到4個(gè)新的正方形，將此次所得 4個(gè)正方形的面積的和記為S3；按照同樣的方法繼續(xù)操作下去，第 n次裁剪得

5、到 個(gè)新的正方形，它們的面積(題外題：把你剪出的正方形的面積與圖本題相當(dāng)于中考12題的簡(jiǎn)單題解：(1)如圖2;1分1，2n) 人6 分4、已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系 xOy中，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為4,它的頂點(diǎn)A在X軸的正半軸上運(yùn)動(dòng),頂點(diǎn)D在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn) A, D都不與原點(diǎn)重合) 相交于點(diǎn)P,連接OP.(1)當(dāng)OA=OD時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為,/ POA=:;(2)當(dāng)OA<OD時(shí)，求證：OP平分/ DOA;(3)設(shè)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d ,則在點(diǎn)A, D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，d的取值范圍是.頂點(diǎn)B, C都在第一象限，且對(duì)角線AC, BD(第二問(wèn)：如果點(diǎn) P到OP “所平分的角”的兩邊的距離相

6、等，即可。)(第二問(wèn)的題外題：當(dāng) OA>OD時(shí),求證：OP平分/ DOA;)解：（1） （0,2版）, 45;證明：（2）過(guò)點(diǎn)P作PM± X軸于點(diǎn)M, PN± y軸于點(diǎn)N.（如圖3）.四邊形 ABCD 是正方形， .-.PD=PA, / DPA=90° .PMX軸于點(diǎn) M, PNy軸于點(diǎn) N, ./ PMO = Z PNO=Z PND=90° . /NOM=90°, .四邊形 NOMP 中，/ NPM=90°. . . / DPA=/NPM. Z 1 = Z DPA-Z NPA, Z 2=Z NPM-Z NPA, / 1 = /

7、2.在4DPN 和APM 中， Z PND =/PMA, /1 = /2, PD=PA, DPNA APM. PN=PM. . OP 平分/ DOA .（3） 2 <d< 2顯. - 5、已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系 xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)A, C的坐標(biāo)分別為(4,0), (0,3).將 OCA沿直線CA翻折，得到 DCA,且DA交CB于點(diǎn)E.(1)求證：EC=EA;(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)連接DB,請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形DCAB的周長(zhǎng)和面積.(第二問(wèn)，有坐標(biāo)，用代數(shù)法勾股定理可得CE=AE的長(zhǎng))(第三問(wèn)的證明：過(guò) D做DM ±AC于M ,過(guò)B做BNXCA于N,則由相似可

8、得， DM=BN=梯形的高(能 求出具體數(shù))，CM=AN (具體數(shù))還看得 DB=MN (具體數(shù))這樣即可求出周長(zhǎng)，有可求出面積。)證明：(1)如圖1. .OCA沿直線CA翻折得到 DCA,OCAA DCA.1 = /2. 四邊形OABC是矩形，OA/CB. / 1 = 7 3. .2=7 3.EC=EA.解：(2)設(shè) CE= AE=X . 點(diǎn) A, C 的坐標(biāo)分別為(4,0), (0,3),OA=4, OC=3.四邊形 OABC 是矩形，CB=OA=4, AB=OC=3, / B=90° .在 RtAEBA 中，EA2 =EB2 + BA2 ,.222 _25 25x =(4 x)

9、 +3 .斛得 x = . ，點(diǎn) E 的坐標(biāo)為(一,3).88、6219235256、已知： ABC的兩條高BD, CE交于點(diǎn)F,點(diǎn)M, N分別是AF, BC的中點(diǎn)，連接 ED , MN . (1)在圖1中證明MN垂直平分ED;(2)若/ EBD = /DCE=45° (如圖2),判斷以M, E, N, D為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論.ME=MD , NE=ND ,所以點(diǎn) M、,進(jìn)而得菱形，再證一直角得正方第一問(wèn)，連接EM , EN, DM, DN,利用三角形斜邊中線等于斜邊一半得，N都在線段ED的垂直平分線上。（有 ADFA BDC ,得 AF=BC ,（還得/ MDA=

10、Z NDB ,證直角時(shí)用） 形，）（1）證明：連接 EM, EN, DM , DN .（如圖 2） BD, CE 是4ABC 的高， BDXAC, CEXAB./ BDA = Z BDC = Z CEB = Z CEA =90° .,.在 RtAEF 中，M 是 AF 的中點(diǎn)，EM=1AF2同理，DM = 1AF, EN=1BC, DN=BC.222EM=DM , EN=DN.點(diǎn)M, N在ED的垂直平分線上. MN垂直平分ED.（2）判斷：四邊形 MEND是正方形.證明：連接 EM, EN, DM , DN .（如圖3）. Z EBD = Z DCE=45° ,而/ BDA

11、 = Z CDF =90° , ./ BAD = /ABD=45° , / DFC= / DCF =45° .，AD=BD, DF = DC.在 ADF和 BDC中，廣 AD=BD,W / ADF=/ BDC , （Rt/）J DF=DC,ADFA BDC. AF=BC, /1 = /2.由（1）知 DM=1aF=AM, DN=1 BC=BN, 22DM=DN , /1 = /3, /2=/4.，/3=/4.由（1）知 EM=DM , EN=DN, . . DM=DN = EM = EN.，四邊形MEND是菱形., / 3+/MDF = /ADF=90°

12、 , . . / 4+/MDF =/NDM =90° .，四邊形MEND是正方形.7、(6分)如圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片 ABCD ,點(diǎn)P為AD邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn) A、點(diǎn)D重合)，將正方形紙片折疊，使點(diǎn) B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H,折痕為EF,聯(lián)結(jié)BP、BH。(1)求證：/ APB =/ BPH;(2)求證：AP + HC = PH;(3)當(dāng)AP = 1時(shí)，求PH的長(zhǎng)。第一問(wèn)，設(shè)/ EPB=/EBP=m,則/ BPH=90 ° -m, / PBC=90 -m,所以/ BPH= Z PBC ,又因?yàn)? APB= /PBC,所以，/ APB=/BPH。第二

13、問(wèn)的題外題：將此題與北京141之東城22和平谷24放在一起，旋轉(zhuǎn)翻折共同學(xué)習(xí)； 此題中用旋轉(zhuǎn)把4ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90不能到達(dá)目的，于是延 BP翻折，翻折后的剩余部分 BQH與 BCH也可全等，即可到達(dá)目的，還有意外收獲：證得/ PBH=45 o第三問(wèn)，代數(shù)方法的勾股定理。（1）證明： PE=BE,EPB=/EBP,又. / EPH = Z EBC=90° , ./ EPH-Z EPB=Z EBC-Z EBP。即/ BPH = / PBC。又.四邊形 ABCD為正方形，AD/BC, ./APB = / PBC。 ./ APB = / BPH。（2 分）（2）證明：過(guò) B作BQXP

14、H,垂足為 Q,由（1）知，/ APB =Z BPH,又. / A = / BQP=90° , BP=BP,ABP = AQBP, AP = QP, BA = BQ。又 AB = BC, .1. BC=BQ。又. / C = / BQH =90° , BH = BH,BCH ABQH , CH= QH,，AP + HC = PH。（4 分）（3）由（2）知，AP = PQ=1, PD=3o設(shè) QH = HC=x,貝 U DH=4X。222在 RtPDH 中，PD +DH =PH ,即（x +12 =32 +（4 -x 2 ,解得 x = 2.4 ,PH= 3.4 （6分）8

15、、（6分）如圖，在 ABC中，AC >AB , D點(diǎn)在 AC上，AB =CD, E、F分別是 BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié) EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) G,若/ EFC = 60° ,聯(lián)結(jié)GD ,判斷 AGD的形狀并證明。（也可問(wèn)/ ADG的度數(shù)。）判斷： AGD是直角三角形。證明：如圖聯(lián)結(jié)BD ,取BD的中點(diǎn)BECH,聯(lián)結(jié) HF、HE,1 一 F 是 AD 的中點(diǎn)，二 HF / AB, HF = AB ,，/ 1 = / 3。2一一 _1同理，HE/CD , HE=CD,2=/ EFC。2 . AB =CD,.1. HF= HE,/ 1 = /2,，/3=/EFC。 . /E

16、FC=60° , .3=Z EFC=Z AFG = 60° , AGF是等邊三角形。AF = FG,. AF = FD,.1.GF=FD, . . / FGD = / FDG = 30° ,丁./ AGD =90° ,即 AGD是（特殊）直角三角形。27.如圖，正方形AECD中，HD是對(duì)角線* E, F點(diǎn)分別在EC, C口邊上,且八EF增 等邊三角形.(1)求證ABE9AADF；(2過(guò)點(diǎn)D作DG_LBD交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,在DB上截取DH =DA,連結(jié)HG. 請(qǐng)你參考下面方框中的方法指導(dǎo)，證明:GH = GE.A證明(1)方法指導(dǎo)在一些證明線段向數(shù)量關(guān)

17、系的問(wèn)題中.有時(shí)可以運(yùn)用代數(shù) 計(jì)算的方法進(jìn)行證明.例如:要證明可設(shè)制"AE=b在 R&BE 和 RtAJDF 中，BE2=AE' AE*=冰一/DF2=AF2 - A 口'=卡一拼.工DF =BE.這就是圖形證明中代數(shù)方 法的應(yīng)用.運(yùn)用代數(shù)方法證明幾 何問(wèn)題時(shí)，線段通常用單個(gè)小寫(xiě) 字母表示.(GE=BG-BE , GH是直角三角形的斜邊，這樣證全等。)10、閱讀下列材料：小明遇到一個(gè)問(wèn)題： AD是 ABC的中線， 點(diǎn)M為BC邊上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn) D重合)，過(guò)點(diǎn)M作一直線，使 其等公' ABC的面積.他的做法是：如圖1,連結(jié)AM過(guò)點(diǎn)D作DN/AM交AC于

18、點(diǎn)N,作直線MN直線MN為所求直線.請(qǐng)你參考小明的做法，解決下列問(wèn)題:(1)如圖2,在四邊形ABCN, AE平分ABCDW面積，M為CD邊上一點(diǎn)，過(guò) M作一直線MN使其等分四邊形ABCD勺面積(要求：在圖 2中畫(huà)出直線MN并保留作圖痕跡)；(2)如圖3,求作過(guò)點(diǎn)A的直線AE,使其等分四邊形 ABCD勺面積(要求：在圖 3中畫(huà)出直線AE,并保留作圖痕跡).圖3圖2(第二問(wèn)，把 ABC的面積接到DC的延長(zhǎng)線上。)11、 已知：四邊形 ABCD正方形，點(diǎn) E在CD邊上，點(diǎn)F在ADi上，且 AF= DE.(1)如圖1,判斷AE與BF有怎樣的位置關(guān)系？寫(xiě)出你的結(jié)果，并加以證明；(2)如圖2,對(duì)角線 AC

19、與BD交于點(diǎn)O. BD、AC分別與 AE BF交于點(diǎn)G,點(diǎn)H.求證：OG= OH圖1連接OP若AP= 4, OP=應(yīng)，求AB的長(zhǎng).【第二問(wèn)，證4 AOe ABHO第二問(wèn)，(在 OB上截取 BQ=AP 則 AP® ABQ(O 彳導(dǎo) OP=OQ AP=BQ 也可得/ OPG= OQP 又 / EPB=90 , 最終彳OPQ等腰直角三角形，可得PQ=2從而求得PB=6,在RtAPB中由勾股定理得的值。2倍根號(hào)13.)】12、已知：如圖，梯形 ABCD 中，AD/BC, Z B=90 °, AD=a , BC=b, dc= a +b,且b >a ,點(diǎn)m是ab邊的中點(diǎn).(1)求

20、證：CM ± DM ;(2)求點(diǎn)M到CD邊的距離.(用含a , b的式子表示)(我認(rèn)為答案的思路不是最好。本題還有這樣的思路：過(guò) M做BC的平行線，交 DC于Q,則可證 MQ=DQ=CQ , MD平分/ ADC , MC平分 / BCD ,及/ DMC=90 乘以 BC=ab ,）,;M到CD的距離也就是RtADMC斜邊的高M(jìn)N ,MN的平方=DN乘以NC=AD證明：（1）延長(zhǎng)DM, CB交于點(diǎn)E.（如圖3）.梯形 ABCD 中，AD / BC, ./ ADM=Z BEM . 點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)， . AM = BM.在 ADM 與4BEM中，（/ADM=/BEM,j/AMD=/BM

21、E,I AM=BM,ADMABEM .，AD=BE=a, DM = EM. . . CE=CB+BE= b + a .CD=a+b, CE=CD. CMXDM .解：（2）分另|J作 MN ± DC , DFXBC,垂足分別為點(diǎn) N, F.（如圖4） CE=CD , DM =EM ,. CM 平分/ ECD . /ABC= 90° ,即 MBXBC, . MN=MB . AD/BC, /ABC=90° , . . / A=90° . Z DFB =90° , 四邊形 ABFD為矩形.BF= AD=a , AB= DF . . FC= BC-BF

22、 =b-a . RtA DFC 中，/ DFC =90° ,22222_DF =DC -FC =（a+b） （ba） =4ab.DF= 2/Ob .-.MN=MB =1AB=1 DF=VOb .22即點(diǎn)M到CD邊的距離為jOb .13、已知：如圖1,平面直角坐標(biāo)系 xOy中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A, C的坐標(biāo)分別為(6, 0) , (0, 2).點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)B, C不重合)，過(guò)點(diǎn)D作直線y =- -x+ b交折線O AB于點(diǎn)E.2(1)在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若 ODE的面積為S,求S與b的函數(shù)關(guān)系式， 并寫(xiě)出自變量的取值范圍；(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上

23、時(shí)，矩形OABC關(guān)于直線DE對(duì)稱的圖形為矩形 O A B； C" B'分別交CB, OA于點(diǎn)D, M, O'A分別交CB, OA于點(diǎn)N, E.探究四邊形 DMEN各邊之間的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)你的結(jié)論加 以證明；(3)問(wèn)題(2) 中的四邊形 DMEN中，ME的長(zhǎng)為.本題難度對(duì)于初二學(xué)生相當(dāng)于 25題。【好好學(xué)習(xí)第一問(wèn)的解題方法，第二問(wèn)由兩組平行可得平行四邊形，/ OED= /O1ED （對(duì)稱性質(zhì)），得菱形。第三問(wèn)，E在OA上時(shí)，DE的長(zhǎng)度不變，為2倍根號(hào)5,（延x軸平移 DME使D與C重合，設(shè)DM=EM=x , 代數(shù)法用勾股定理可求得 ME的值。解：（1）.矩形OABC中，

24、點(diǎn)A, C的坐標(biāo)分別為（6,0） , （0,2）,1 一，一若直線y =_x +b經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0, 2）,則b = 2;21若直線y = x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6,0）,則b = 3;2一八1若直線y =_x +b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（6, 2）,則b = 5.2當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，即2<bW3時(shí)，（如圖6） 1.,.,點(diǎn)E在直線y = -x +b上， 2當(dāng) y=0 時(shí)，x=2b,點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（2b,0） . . S =1 2b 2 =2b . 2當(dāng)點(diǎn)E在線段BA上時(shí)，即3<b<5時(shí)，（如圖7）. 1丁點(diǎn)D, E在直線y=x+b上，2.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6, 2）.當(dāng) y = 2時(shí)，x = 2

25、b - 4;當(dāng) x=6 時(shí)，y=b3,.點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2b -4,2），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6,b 3）. S = Sg形 OABC - S.COD - S.OAE - SDBE111=6 2(2b-4) 2 (b -3) 66 -(2b -4)2 -(b -3)2222=-b + 5b .綜上可得：S=(2 ：二 b <3),9+5b (3<b<5).(2) DM=ME=EN=ND.證明：如圖8. 四邊形OABC和四邊形O' A' B是C!形， .CB/OA, CB7/ OA',即 DN/ME, DM /NE. 四邊形 DMEN是平行四邊形，且/ NDE

26、= /DEM.矩形OABC關(guān)于直線DE對(duì)稱的圖形為矩形 O A' B； C' ./ DEM=/DEN . .NDE = /DEN . .ND=NE.二.四邊形 DMEN是菱形.DM=ME = EN=ND .-(3)答：?jiǎn)栴}(2)中的四邊形 DMEN中，ME的長(zhǎng)為 2. 5如圖1,三角形ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AEXBC, BFXAC,垂足分別為點(diǎn) E, F, AE,連接DE,DF.若DE=kDF,貝Uk的值為14、探究問(wèn)題1已知: BF交于點(diǎn)M,拓展圖2問(wèn)題2 已知：如圖且/ MAC = Z MBC ,過(guò)點(diǎn)求證：DE=DF.推廣2,三角形M分別作ABC中，CB=CA,點(diǎn)D

27、是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn) M在三角形 ABC的內(nèi)部, MEXBC, MFXAC,垂足分別為點(diǎn) E, F,連接 DE, DF.問(wèn)題3如圖3,若將上面問(wèn)題2中的條件 CB=CA”變?yōu)镃B4A”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證.明你的結(jié)論E圖9（第三問(wèn)，取 BM和AM的中點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，）122某區(qū)的模擬題與此高度相似, 問(wèn)題1 k的值為 1問(wèn)題2 證明：如圖9.-.CB=CA, ./ CAB=/CBA. / MAC = /MBC, / CAB- / MAC= / CBA- / MBC ,即/ MAB = /MBA.MA = MB.MEXBC, MFXAC,垂足分別為點(diǎn) E, F,

28、 ./ AFM=Z BEM=90°在4AFM 與4BEM中，/AFM = / BEM,/ MAF =/ MBE, MA=MB, AFM BEM . AF=BE. 點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，BD = AD.在 BDE與 ADF中，B BD = AD,j / DBE =/ DAF ,I BE = AF, . BDEA ADF . DE=DF .問(wèn)題3解：DE=DF .證明：分別取 AM , BM的中點(diǎn)G, H,連接DG, FG, DH, EH.（如圖10）點(diǎn)D, G, H分別是AB, AM, BM的中點(diǎn), .DG/BM, DH /AM,且 DG=1BM , DH = 1AM 22，四邊形 DH

29、MG是平行四邊形.DHM =/DGM,MEXBC, MFXAC,垂足分別為點(diǎn) E, F, ./ AFM=Z BEM=90° .FG= DH , DG= EH ,FG=1 AM= AG, EH=1BM= BH . 22Z GAF =/GFA, / HBE =/HEB./ FGM =2/ FAM , / EHM =2 / EBM . . / FAM = /EBM , ./ FGM =/EHM. ./ DGM+/ FGM =/ DHM +/EHM ,即/ DGF = Z DHE .在EHD 與4DGF 中，EH = DG , / EHD =/DGF , HD = GF, . EHDA DG

30、F . DE=DF . 6、 如圖，四邊形 ABCD是正方形，點(diǎn) G是BC上任意一點(diǎn)，DELAG于點(diǎn)E, BFLAG于點(diǎn)F。(1)求證：DE BF=EF;(2)若點(diǎn)G為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其余條件不變.請(qǐng)你在圖中畫(huà)出圖形，寫(xiě)出此時(shí)DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系(不需要證明)；(3)若AB=2a，點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)時(shí)，試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系，并通過(guò)計(jì)算來(lái)驗(yàn)證你的結(jié)論。1:2,所以可得第一問(wèn)，證全等即可得AE=BF , AF=DE。第三問(wèn)，各三角形相似，兩直角邊的比是AE=BF=EF=2FG 。圖圖解：(1)證明: .四邊形 ABCD是正方形，BFXAG , DEXAGDA=AB , /

31、BAF+ / DAE= / DAE+ / ADE=90，/BAF=/ADE ,.-.AABFADAEBF=AE , AF=DE ;. DE-BF=AF-AE=EF(2)如圖，DE+BF=EF(3) EF=2FG過(guò)程：AB=2a,點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)，BG=a由勾股定理可求AG =-j；5a又,ABBC, BFAC,由等積法可求 BF = a5._ 、54.5由勾股定理可求FG=25a, AF=4、5a552 52.5TAE =BF =a,，EF =a , EF=2FG 。 5517、如圖，在線段 AE的同側(cè)作正方形 ABCD和正方形 BEFG (BE<AB ),連接EG并延長(zhǎng)交 DC于點(diǎn)M,

32、 作MN XAB ,垂足為點(diǎn) N, MN交BD于點(diǎn)P,設(shè)正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為1。py cANrE(1)證明：四邊形 MPBG是平行四邊形；(2)設(shè)BE=x,四邊形MNBG的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量 x的取值范圍;(3)如果按題設(shè)作出的四邊形MPBG是菱形，求BE的長(zhǎng)。(圖中的三角形多是等腰直角三角形，)證明：(1) .ABCD、BEFG是正方形/ CBA= / FEB=90 , / ABD= / BEG=45 ,. DB / ME。.MN LAB, CBAB ,MN /CB。四邊形 MPBG 是平行四邊形；(2) .正方形 BEFG , BG=BE=x。 -/ CMG

33、= / BEG=45 , CG=CM=BN=1 x。y= (GB+MN ) BN= ( 1+x) 11 一 x) = 一 一 一 x?, (0<x<1 );2222(3)由四邊形 BGMP是菱形，則有 BG=MG ,即 x= 42 (1 x)。解得 x=2 五，.二 BE=2 M2。18、將一張直角三角形紙片 ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，這時(shí)DE為折痕， 4CBE為等腰三角形；再繼 續(xù)將紙片沿 CBE的對(duì)稱軸EF折疊，這時(shí)得到了兩個(gè)完全重合的矩形(其中一個(gè)是原直角三角形的內(nèi)接矩 形，另一個(gè)是拼合成的無(wú)縫隙、無(wú)重疊的矩形)，我們稱這樣兩個(gè)矩形為“疊加矩形”.請(qǐng)完成下列問(wèn)題：(1)如

34、圖，正方形網(wǎng)格中的 ABC能折疊成“疊加矩形”嗎？如果能，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出折痕；(2)如圖，在正方形網(wǎng)格中，以給定的BC為一邊，畫(huà)出一個(gè)斜 ABC,使其頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上，且4 ABC折成的“疊加矩形”為正方形；(3)如果一個(gè)三角形所折成的“疊加矩形”為正方形,那么它必須滿足的條件是 .解：(1)B(說(shuō)明：只需畫(huà)出滿足條件的一個(gè)三角形；答案不惟一，所畫(huà)三角形的一邊長(zhǎng)與該邊上的高相等即可.(3)三角形的一邊長(zhǎng)與該邊上的高相等19、考考你的推理與論證 (本題6分)如圖，在 4ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于F ,且AF = BD ,連結(jié)BF .(1)求證：

35、D是BC的中點(diǎn)；(2)如果AB = AC ,試判斷四邊形 AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論.難度一般 解(1)證明：AF/BC, ./ AFE= / DCE.E 是 AD 的中點(diǎn)，AE=DE . / AEF= / DEC , AAEFA DEC . . . AF=DC. AF=BD , .1. BD=CD. , . D 是 BC 的中點(diǎn).(2)四邊形AFBD是矩形， , AB=AC , D是BC的中點(diǎn)，AD ±BC ,即/ ADB=90 AF=BD , AF / BC,二.四邊形 AFBD 是矩形.如、拓廣與探索(本題7分)如圖(1), RtAABC中，/ ACB=90 ,中線BE、C

36、D相交于點(diǎn)。，點(diǎn)F、G分別是OB、OC的中點(diǎn).(1)求證：四邊形 DFGE是平行四邊形；(2)如果把 RtAABC變?yōu)槿我釧BC,如圖(2),通過(guò)你的觀察，第(1)問(wèn)的結(jié)論是否仍然成立？(不 用證明)；(3)在圖(2)中，試想：如果拖動(dòng)點(diǎn) A,通過(guò)你的觀察和探究，在什么條件下？四邊形 DFGE是矩形，并 給出證明；(4)在第(3)問(wèn)中，試想：如果拖動(dòng)點(diǎn) A,是否存在四邊形 DFGE是正方形或菱形？如果存在，畫(huà)出相應(yīng) 的圖形(不用證明).夕-卜/X? - G （圖1）(第三問(wèn)，AB=AC時(shí)。第四問(wèn)，AB=AC ,且底邊上的高是 BC的3/2倍時(shí)是正方形。保持這種高與邊的比， 但是，ABWAC時(shí)是

37、菱形。)21、如圖，點(diǎn)A (0, 4),點(diǎn)B(3, 0),點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作 PM _L y軸于點(diǎn)M,作PN _L x軸于點(diǎn)N,連接MN,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， MN的值最??？最小值是多少？求出此時(shí)PN的長(zhǎng).(MN=OP ,所以 OPLAB 時(shí)，MN 也就是 OP 最小，OP=12/5.)初三相似形 22、如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC, AB=AD=DC= 4, /C = 60°, AE _L BD 于點(diǎn) E, F是CD的中點(diǎn)，連接EF.(1)求證：四邊形 AEFD是平行四邊形；(2)點(diǎn)G是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) G在什么位置時(shí)，四邊形 DEGF是矩形？并求

38、出這個(gè)矩形的周長(zhǎng)；(3)在BC邊上能否找到另外一點(diǎn) G',使四邊形 DEG'F的周長(zhǎng)與(2)中矩形DEGF的周長(zhǎng)相等？請(qǐng)簡(jiǎn) 述你的理由.（第二問(wèn)，點(diǎn) G為BC中點(diǎn)時(shí)，也是 AE的延長(zhǎng)線與BC的交點(diǎn)。第三問(wèn)，能找到。以 EF為一邊在EF的 下方彳G1E GiEFA GFE , Gi在BC上，但是不與 G重合，）23、（9 分）在梯形 ABCD 中，AB / CD , /BCD =90° ,且 AB=1, BC = 2, CD = 2AB。對(duì)角線 AC 和BD相交于點(diǎn)O ,等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)落在梯形的頂點(diǎn)C上，使三角板繞點(diǎn) C旋轉(zhuǎn)。（1）如圖9-1,當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)

39、 E落在BC邊上時(shí)，線段 DE與BF的位置關(guān)系是 ,數(shù)量關(guān)系（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，旋轉(zhuǎn)角為 口，請(qǐng)你在圖9-2中畫(huà)出圖形，并判斷（1）中結(jié)論還成立嗎？如果成立請(qǐng)加以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；I#1】（3）如圖9-3,當(dāng)三角板的一邊 CF與梯形對(duì)角線 AC重合時(shí)，EF與CD相交于點(diǎn)P,若OF ='勺，6求PE的長(zhǎng)。（第三問(wèn)，證明兩次相似，推導(dǎo)比例關(guān)系。）多看看解：（1）垂直，相等；（2）畫(huà)圖如圖（答案不唯一）D（1）中結(jié)論仍成立。證明如下：過(guò) A作 AM _LDC 于 M,則四邊形 ABCM 為矩形。，AM = BC=2, MC=AB=1。. CD =2AB，.- DM=1。 DC=

40、BC。2TiCEF是等腰直角三角形，/ECF =90°, CE=CF.丁/BCD =/ECF =90°,二/DCE=/BCFDC = BCDCE = BCFCE =CF二 AD C E二 AB C F,DE=BF,N1=/2。又'：/3=/4,.N5 = NBCD=90©二DE _L BF , 線段DE和BF相等并且互相垂直。(3) : AB / CD,. AAOB s ACOD ,ABCDOAOCOBOD'AB =1,CD =2,OAOCOB在 Rt. ：ABC 中，AC /AB2 BC2 = .V4 =、,5.OA = o同理可求得OB =3一

41、 v5、5 AC.OF , AF =OA+OF =。622CE =CF =-5。2B BC =CD,NBCD =90°, JOBC =45°。由(2)知 ADCE =ABCF ,/1=/2。又= N3=NOBC=45°,.CPEsACOB。PEOBCEBC生 J5。PE* 2.226初三相似形 24、(9分)將一矩形紙片 OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O(0,0), A(6,0) , C(0,3)。動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)白速度沿 OC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以相等的速度沿3AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)。當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)點(diǎn)P

42、的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t (秒)。(1)用含t的代數(shù)式表示OP, OQ ；(2)當(dāng)t=1時(shí)，如圖10-1,將4OPQ沿PQ翻折，點(diǎn)O恰好落在CB邊上的點(diǎn)D處，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)連結(jié)AC ,將OPO沿PQ翻折，得到4EPQ ,如圖10-2。問(wèn)：PQ與AC能否平行？ PE與AC能 否垂直？若能，求出相應(yīng)的 t值；若不能，說(shuō)明理由。2解： op=6t, OQ=t+。3(2)當(dāng)t=1時(shí)，過(guò)D點(diǎn)作DDi _LOA,交OA于D1，如圖1, 3分QFACQF. EF =QF -QE =QF -OQ又'/RtAEPF RtAOCA,PEEFOCOA，6-t 3(5-1)12-6() t 3.t 之 3.45。

43、則 DQ=QO=5，QC =4 ,二 CD =1 ,二 D(1,3)。 33(3)PQ能與AC平行。若 PQ / AC ,如圖 2,則 0P =OA ,即=6 ,OQ 0C . 2-3t314 H714，t =一，而 0 & t 0 ,力=一。939PE不能與AC垂直。若PE_L AC ,延長(zhǎng)QE交0A于F ,如圖3,t -OQ QF t 3OC 3、5 一 3 =75k+Z it+2=(751)t+2(751)。333，7.而0 w t w 7 , . t不存在。325、銳角 ABC 中，AB=AC,點(diǎn) D 在 AC 邊上，DE LAB 于 E, 延長(zhǎng)ED交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F.(1

44、)當(dāng)/A=40°時(shí)，求/ F的度數(shù)；(2)設(shè)/F為x度,/FDC為y度，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式第二問(wèn)，/ B+x=90 , x+y=/B,所以 y=90 -2x。解(1)AB=AC,/B=NACB.- / A=40° , BB =70， DEXAB , ； NBEF=90。. /F =20?(2) BB=CC ,NA=180。一2/B.FDC，ADE =90, -/A=90 -(180 -2. B) = -902. B.在 BEF中， /BEF=90*, ZB=90°-ZF .FDC =-90 180 -2 F =90 -2 F.y = -2x 90 .26

45、、如圖1,正方形 ABCD的邊CD在正方形 DEFG的邊DE上，連接AE、GC.(1)試猜想AE與GC有怎樣的數(shù)量關(guān)系；(2)將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在BC邊上，如圖2,連接AE和GC.你認(rèn)為(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在(2)的條件下，求證： AEXGC.(友情提示：旋轉(zhuǎn)后的幾何圖形與原圖形全等)延長(zhǎng)相交可證得垂直，解：(1)猜想：AE=GC(2)答：AE=CG 成立.證明：: 四邊形ABCD與DEFG都是正方形，AD=DC, DE=DG , /ADC= =/EDG=90+Z1+ Z3= Z2+Z3=90 .Z1 = Z2

46、.,AADE 幺 CDG .,AE=CG .(3)延長(zhǎng)AE, GC相交于H,由(2)可知N5=/4.又 /5+N6=90 : /4 +/7=180 電*DCE=90 °,.6=. 7.又 Z6+ZAEB=90 s,ZAEB=ZCEH . CEH . 7=90 .ZEHC=90°,AE_LGC .27、如圖所示，在直角梯形ABCD43, AD/BC, / A= 90° , AB= 12, BC= 21, AD=16 動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā),沿射線BC的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，在線段 AD上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的 速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一

47、個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t (秒)。(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形 PQDC的面積是梯形 ABCD的面積的一半;(2)四邊形PQDC能為平行四邊形嗎？如果能， 求出t的值；如果不能, 請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)四邊形PQDC能為等腰梯形嗎？如果能，求出 t的值；如果不能， 請(qǐng)說(shuō)明理由.(第一問(wèn)，t=37/6 ,第二問(wèn)，t=5,第三問(wèn)，不能，/ QPC大于延DA、CB方向移動(dòng)，則可以出現(xiàn)等腰梯形。)28、(12分)如圖，等腰梯形 ABC用,AD/ BQ M N分別是AR BC的中點(diǎn)，E、F分別是BM CM的中點(diǎn).(1)在不添加線段的前提下，圖中有哪幾對(duì)全等三角形？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論；(2)判斷并證明四邊形 MEN屋何種特殊的四邊形？(3)當(dāng)?shù)妊菪?ABCD勺高h(yuǎn)與底邊BC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)？四邊形 MEN尾正方形(直接寫(xiě)出結(jié)論，不需要證明)兩對(duì)；菱形；一半。39、E是正方形 ABCM對(duì)角線 BD上一點(diǎn)，EF± BC, EG! CD,垂足分別是F、G.求證：AE = FG .簡(jiǎn)單題：連接 CE,則CE=FG ,再證全等即可。證明：連接