2001年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解答

1、二一年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）本題共有6小題，每題均給出（A）、（B）、（C）、（D）四個結(jié)論，其中有且僅有一個是正確的請將正確答案的代表字母填在題后的括號內(nèi)每小題選對得6分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不論是否寫在括號內(nèi)），一律得0分1已知a為給定的實數(shù)，那么集合M=x| x2-3x-a2+2=0，xR的子集的個數(shù)為（A）1（B）2（C）4（D）不確定【答】（C）【解】方程x2-3x-a2+2=0的根的判別式=1+4a20，方程有兩個不相等的實數(shù)根由M有2個元素，得集合M有22=4個子集2 命題1 長方體中，必存在到各頂點距離

2、相等的點; 命題2 長方體中，必存在到各棱距離相等的點; 命題3 長方體中，必存在到各面距離相等的點. 以上三個命題中正確的有 （A） 0個 （B） 1個 （C） 2個 （D） 3個 【答】（B）【解】只有命題1對 3在四個函數(shù)y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以為周期、在(0，)上單調(diào)遞增的偶函數(shù)是（A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx|（D）y=lg|sinx|【答】（D）【解】y=sin|x|不是周期函數(shù)y=cos|x|=cosx以2為周期y=|ctgx|在（0，）上單調(diào)遞減只有y=lg|sinx|滿足全部條件4如果

3、滿足ABC=60，AC=12， BC=k的ABC恰有一個，那么k的取值范圍是（A） k= （B）0k12 （C） k12 （D） 0k12或k= 【答】（D） 【解】根據(jù)題設(shè)，ABC共有兩類如圖 易得k=或024,4x+5y24,4x+5y=b3y 也可以根據(jù)二元一次不等式所表示的區(qū)域來研究二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）本題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上7橢圓的短軸長等于【解】 故從而8若復數(shù)z1，z2滿足| z1|=2，| z2|=3，3z1-2z2=，則z1z2=【解】由3z1-2z2=可得本題也可設(shè)三角形式進行運算9正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，則直線A1C1

4、與BD1的距離是【解】作正方體的截面BB1D1D，則A1C1面BB1D1D設(shè)A1C1與B1D1交于點O，在面BB1D1D內(nèi)作OHBD1，H為垂足，則OH為A1C1與BD1的公垂線顯然OH等于直角三角形BB1D1斜邊上高的一半，即OH=10. 不等式的解集為【解】 等價于或 即或此時或或解為x 4或0x1 或 1x即解集為11函數(shù)的值域為【解】兩邊平方得，從而且由或任取，令，易知，于是且任取，同樣令，易知，于是且因此，所求函數(shù)的值域為12 在一個正六邊形的六個區(qū)域栽種觀賞植物（如圖），要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物現(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則有 732 種栽種方案【解】考慮A

5、、C、E種同一種植物，此時共有4333=108種方法考慮A、C、E種二種植物，此時共有343322=432種方法考慮A、C、E種三種植物，此時共有P43222=192種方法故總計有108+432+192=732種方法三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13設(shè)an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，且b1=a12，b2=a22，b3=a32（a1a2） ，又試求an的首項與公差【解】設(shè)所求公差為d，a10由此得a12(a1+2d)2=(a1+d)4化簡得2a12+4a1d+d2=0解得d=() a1.5分而0，故a10若d=() a1，則； 若d=()a1，則；10分但存在，故|q|1于是不可能從

6、而所以a1=，d=() a1=()()=20分14設(shè)曲線C1：（a為正常數(shù)）與C2：y2=2（x+m） 在x軸上方僅有一個公共點P 求實數(shù)m的取值范圍（用a表示）； O為原點，若C1與x軸的負半軸交于點A，當0a時，試求OAP的面積的最大值（用a表示）【解】 由消去y得，x2+2a2x+2a2m-a2=0 設(shè)f(x)= x2+2a2x+2a2m-a2，問題轉(zhuǎn)化為方程在x(-a，a)上有唯一解或等根只須討論以下三種情況：1 =0得 m=此時 xp= -a2，當且僅當-a-a2a，即0a1時適合；2 f(a)f(-a)0當且僅當ama；3 f(-a)=0得m=a此時 xp=a-2a2，當且僅當-a

7、 a-2a2a，即0a1時適合f(a)=0得m=-a，此時 xp=-a-2a2，由于-a-2a2-a，從而m-a綜上可知，當0a1時，m=或-ama； 當a1時，-ama.10分【解】 OAP的面積S=ayp0a，故-a0，從而取值最大，此時yp=2，S=a當m=時，xp=-a2，yp=，此時S=a下面比較a與a的大小：令a=a，得a=.故當0a時 , 此時Smax= 當aa2a3a4a5a6) 的電阻組裝成一個如圖的組件，在組裝中應(yīng)如何選取電阻，才能使該組件總電阻值最小？證明你的結(jié)論 【解】 設(shè)6個電阻的組件（如圖3）的總電阻為RFG當Ri=ai ，i=3，4，5，6，R1，R2是a1，a2

8、的任意排列時，RFG最小5分證明如下1設(shè)當兩個電阻R1，R2并聯(lián)時，所得組件阻值為R：則故交換二電阻的位置，不改變R值，且當R1或R2變小時，R也減小，因此不妨取R1R2R1R3R22設(shè)3個電阻的組件(如圖1)的總電阻為RAB：R3R4R1R2顯然R1+R2越大，RAB越小，所以為使RAB最小必須取R3為所取三個電阻中阻值最小的一個3設(shè)4個電阻的組件(如圖2)的總電阻為RCD：若記，則S1、S2為定值于是只有當R3R4最小，R1R2R3最大時，RCD最小，故應(yīng)取R4R3，R3R2，R3R1，即得總電阻的阻值最小15分4對于圖3，把由R1、R2、R3組成的組件用等效電阻RAB代替要使RFG最小，

9、由3必需使R6R5；且由1，應(yīng)使RCE最小由2知要使RCE最小，必需使R5 R4，且應(yīng)使RCD最小E而由3，要使RCD最小，應(yīng)使R4 R3 R2且R4 R3 R1G這就說明，要證結(jié)論成立20分圖3R1AR2R4R6R3R5BCDFGE二一年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽加試參考答案及評分標準說明：1評閱試卷時，請嚴格按照本評分標準規(guī)定的評分檔次給分2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時請參照本評分標準適當劃分檔次評分，可以10分為一個檔次，不要再增加其它中間檔次一如圖，ABC中，O為外心，三條高AD、BE、CF交于點H，直線ED和AB交于點M， FD和AC交于點N求證：（1）

10、OBDF，OCDE（2）OHMN【證明】（1）A，C，D，F(xiàn)四點共圓，BDF=BAC又OBC=(180-BOC)=90-BAC，OBDF同理OCDE10分（2） CFMA，MC 2-MH 2=AC 2-AH 2BENA，NB 2-NH 2=AB 2-AH 2DABC，BD 2-CD 2=BA 2-AC 2OBDF，BN 2-BD 2=ON 2-OD 2OCDE，CM 2-CD 2=OM 2-OD 230分-+-，得NH 2-MH 2=ON 2-OM 2MO 2-MH 2=NO 2-NH 2所以O(shè)HMN50分二設(shè)（i=1，2，n），且，求的最大值與最小值【解】先求最小值，因為1，等號成立當且僅當

11、存在i使得 xi =1，xj =0，ji的最小值為110分再求最大值，令，設(shè)M =令則30分令an+1=0，則M=由柯西不等式得M等號成立（k=1，2，n）由于，從而，即所求最大值為50分三將邊長為正整數(shù)m，n的矩形劃分成若干邊長均為正整數(shù)的正方形每個正方形的邊均平行于矩形的相應(yīng)邊試求這些正方形邊長之和的最小值【解】記所求最小值為f（m，n），可以證明f（m，n）=m+n-(m，n) (*)其中(m，n)表示m和n的最大公約數(shù)10分事實上，不妨設(shè)mn(1)關(guān)于m歸納，可以證明存在一種合乎題意的分法，使所得正方形邊長之和恰為m+n-(m，n)當m=1時,命題顯然成立 假設(shè)當mk時，結(jié)論成立（k1

12、）當m=k+1時，若n= k+1，則命題顯然成立若n k+1，從矩形ABCD中切去正方形AA1D1D（如圖），由歸納假設(shè)矩形A1BCD1有一種分法使得所得正方形邊長之和恰為m-n+n-(m-n，n)= m-(m，n).于是原矩形ABCD有一種分法使得所得正方形邊長之和為m+n- (m，n)20分(2)關(guān)于m歸納可以證明(*)成立當m=1時,由于n=1，顯然f (m，n)=1= m+n- (m，n)假設(shè)當mk時，對任意1nm有f (m，n)= m+n- (m，n)若m=k+1，當n= k+1時顯然f（m，n）= k+1= m+n- (m，n)當1nk時，設(shè)矩形ABCD按要求分成了p個正方形，其邊長分別為a1，a