3訓(xùn)練題三解答

1、訓(xùn) 練 題（三）解答（陶平生供題）一、求所有函數(shù)，使得滿足：、，均有；、，；、解：據(jù)得， 易為，則成為 由此， ，由、知， 故給出；所以由，；再由，；在中令，得；在中令，得 歸納得，對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，均有 當(dāng)為負(fù)整數(shù)，則為正整數(shù)，在中易為，為，則，所以因此對(duì)于一切整數(shù)，都有 ，設(shè)，又由，所以，于是 二、給定凸多邊形，若對(duì)于它的任一頂點(diǎn)，總有周界上的某點(diǎn)，使得線段平分多邊形的面積，且的長(zhǎng)度不超過(guò)證明：多邊形的面積小于證：稱(chēng)上述線段為多邊形的一條等分線，規(guī)定多邊形方向，沿順時(shí)針?lè)较驗(yàn)椤跋蛴摇?，沿反時(shí)針?lè)较驗(yàn)椤跋蜃蟆?，今作出多邊形的所有等分線，據(jù)等分線的意義知，它們必兩兩相交于多邊形內(nèi)；從等分線的端點(diǎn)

2、沿多邊形周界向左前進(jìn)，如果等分線的一端點(diǎn)是左邊最近的等分線端點(diǎn)，則必是左邊最近的等分線端點(diǎn)；（否則，如果之間還有另一等分線端點(diǎn)，為等分線，則與都相交，故點(diǎn)在左側(cè)，而在右側(cè)，即在之間，這與是左邊最近的等分線端點(diǎn)的假設(shè)矛盾?。┯捎谙路降膮^(qū)域面積 下方的區(qū)域面積（為多邊形面積），所以，稱(chēng)所夾區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)“角形域”，記的夾角為，則（此處用到，故，則與必一正一負(fù)，其乘積）；由，得到；由等分線端點(diǎn)再向左移到端點(diǎn)，等分線端點(diǎn)再向左移到端點(diǎn)，直至最后移到端點(diǎn)，我們依次得到由相鄰等分線組成的角形，它們的面積之和小于相應(yīng)的夾角之和，即為，（夾角和為的事實(shí)，只須注意，如把它們都平移到同一點(diǎn)便知）最后還要說(shuō)明，這些角形

3、域覆蓋了多邊形中的任一點(diǎn)；為此設(shè)是形內(nèi)任一點(diǎn)，設(shè)它在射線左側(cè)，即在右側(cè)，當(dāng)由等分線端點(diǎn)左移至的過(guò)程中，射線必有一次越過(guò)點(diǎn)，因此點(diǎn)必在某兩條相鄰等分線之間，即在某個(gè)角形內(nèi)于是多邊形的面積不大于諸角形的面積之和，即三、設(shè)集合 互質(zhì)，求和：解：一般化，將換成任一不小于的整數(shù)為此取 互質(zhì)，并記 ，分析的變化趨勢(shì)，易知，進(jìn)而猜想，對(duì)于每個(gè)都有. 轉(zhuǎn)而考慮證明，對(duì)每個(gè)都有.其中 ，.先分解求和區(qū)間（和式展布集）：互質(zhì)，,互質(zhì)，.于是 （右端最后一個(gè)和式的求和范圍是由于 則 ）.由于當(dāng) 時(shí)，則.且由 以及 知， 不會(huì)被取到.從而式右端可合并為 .據(jù),即有 .于是 ，因此 .四、對(duì)于給定的正整數(shù)，試求所有正整數(shù)，使?jié)M足等式： 解：若，則由得；若，則有分解式：，諸為互異質(zhì)數(shù)，設(shè)滿足方程，由，則可表為：先證明，對(duì)于每個(gè)，都有；反證法，設(shè)其中有某個(gè)，則，考慮等式中的指數(shù)，其右端的指數(shù)為，而左端的指數(shù)為，因此有，則，所以，得，因此，于是，矛盾！從而每個(gè)；由得， 故對(duì)所有；由于，且不能整除，所以，從而，據(jù)此及式知，記，得，（為正整數(shù)，）注意到對(duì)于正整數(shù)，有（僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，則）因此 （在除了，且以外成立，但是此情況不能出現(xiàn)，因?yàn)橐炎C得.）再證，設(shè)（既約分?jǐn)?shù)），