12集合間的基本關(guān)系及運(yùn)算

1、1.2集合間的基本關(guān)系及運(yùn)算 【知識(shí)要點(diǎn)】 1、子集：如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A稱(chēng)為集合B的子集， 記作AB或BA. 2、集合相等：如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A=B。 3、真子集：如果A B，且A B，那么集合A稱(chēng)為集合B的真子集,AB . 4、設(shè)A S，由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱(chēng)為S的子集A的補(bǔ)集，記作A 5、元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系 6、有限集合的子集個(gè)數(shù) （1）n個(gè)元素的集合有個(gè)子集（2）n個(gè)元素的集合有-1個(gè)真子集 （3）n個(gè)元素的集合有-1個(gè)非空子集 （4）

2、n個(gè)元素的集合有-2個(gè)非空真子集 7、交集：由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合叫A與B的交集，記作AB。 8、并集：由所有屬于集合A或?qū)儆贐的元素構(gòu)成的集合稱(chēng)為A與B的并集，記AB。 9、集合的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)用 【知識(shí)應(yīng)用】 1.理解方法：看到一個(gè)集合A里的所有元素都包含在另一個(gè)集合里B，那么A就是B的子集，也就是說(shuō)集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，即由任意xA能推出xB。 【J】例1. 指出下列各組中集合A與集合B之間的關(guān)系 （1）A=-1,1，B=Z （2）A=1,3,5,15，B=x|x是15的正約數(shù) 【L】例2. 已知集合A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1,若B

3、A，求實(shí)數(shù)m取值范圍?！綜】例3. 已知集合A0,1,2,3，至少有一個(gè)奇數(shù)，這樣的集合A的子集有幾個(gè)，請(qǐng)一 一寫(xiě)出。 2.解題方法：證明2個(gè)集合相等的方法：（1）若A、B兩個(gè)集合是元素較少的有限集，可用列舉法將元素一一列舉出來(lái)，比較之或者看集合中的代表元素是否一致且代表元素滿足的條件是否一致，若均一致，則兩集合相等。（2）利用集合相等的定義證明AB,且BA，則A=B. 【J】例1. 下列各組中的兩個(gè)集合相等的有（ ） （1）P=x|x=2n,nZ, Q=x|x=2(n-1)，nZ （2）P=x|x=2n-1,n, Q=x|x=2n+1,n (3) P=x|-x=0, Q=x|x=,nZ 【L

4、】例2. 已知集合A=x|x=+，kZ，B=x|x=+,kZ,判斷集合A與集合B是否相等。 【C】例3. 設(shè)集合A=x|0,集合B=x|(x-3)(x-2) 0,判斷A與B相等嗎？ 3.理解方法：如果集合A中的元素都包含于集合B，并且集合B中有集合A所沒(méi)有的元素，那么集合A就是集合B的真子集?！綣】例1. 設(shè)集合A=2,8,a, B=2, -3a+4,且BA，求A的值。 【L】例2. 滿足aMa,b,c,d的集合M有哪幾個(gè)？ 【C】例3. 集合M=x|x=3k-2,kZ,P=y|y=3x+1,xZ,S=z|z=6m+1,mZ之間的關(guān)系是_。 4.理解方法：通俗的講，AS，那么將集合S中的元素去

5、除掉集合A中的元素，所剩余下來(lái)的元素組成的集合就是S的子集A的補(bǔ)集。 【J】例1.設(shè)集合A=1,2,3,4,，集合U=1,2,3,4,5,6，那么 A=_ 【L】例2.若U=Z，A=x|x=2k,kZ,B=x|x=2k+1.kZ,則A=_,B=_ 【C】例3.不等式組的解集為A，U=R，試求A 5.理解方法：元素與集合的關(guān)系是屬于與不屬于的關(guān)系，用表示；集合與集合之間的關(guān)系是包含（）、真包含（），相等（=）的關(guān)系。 【J、L】例1. 在下列各式中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是()10,1,2；10,1,2；0,1,20,1,2；0,1,22,0,1 A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 【C】例2 設(shè)A、B為

6、兩個(gè)集合，下列四個(gè)命題： （1）AB對(duì)任意xA,有xB （2）ABAB= (3)ABBA (4)AB存在xA，使得xB，其中真命題的序號(hào)（ ） A.（1）（2） B. (3)(4) C. (1)(2)(3) D. (4)6.應(yīng)用類(lèi)。主要記住子集個(gè)數(shù)，那么真子集的個(gè)數(shù)就是子集個(gè)數(shù)減去本身（也就是1個(gè)），非空子集個(gè)數(shù)就是子集個(gè)數(shù)減去空集（也是1個(gè)），非空真子集個(gè)數(shù)就是子集個(gè)數(shù)減去空集和本身（也就是減去2個(gè)）。如果記憶不牢靠，可以用列舉法列舉一個(gè)或多個(gè)元素較少的集合，來(lái)找出它的集合的個(gè)數(shù)，推出子集個(gè)數(shù)。 【J】例1集合Ax|0x<3且xZ的真子集的個(gè)數(shù)是()A5  B6 C7

7、0; D8【L】例2集合a,b,c,d,e,f的子集個(gè)數(shù)_,真子集個(gè)數(shù)_,非空子集個(gè)數(shù)_,非空真子集個(gè)數(shù)_.【C】例3 同時(shí)滿足：（1）M1,2,3,4,5,；（2）aM，則6-aM的非空集合M有 個(gè)。 7.理解方法：簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是將集合A與集合B中共有的元素找出來(lái)，將這些元素組成的集合就是集合A與集合B的交集。（注意：不能僅認(rèn)為AB中的任一元素都是都是A與B的公共元素，同時(shí)還有A與B的公共元素都屬于AB的含義，這就是文字定義中“所有”二字的含義，而不是“部分”公共元素。當(dāng)A與B沒(méi)有公共元素時(shí)，不能說(shuō)A與B沒(méi)有交集，而是它們的交集為。 【J】例1 設(shè)集合M=mZ|-3<m<2,N=

8、nZ|-1n3，則MN=_ 例2 如果集合U=1,2,3，4,5,6,7,8，A=2,5,8，B=1,3,5,7那么（A）B=_ 【L】例3 已知A=-4,2a-1，B=a-5,1-a，9，AB=9，a=_ 【C】例4 設(shè)集合A=，-3,9，B=4，-3,8，求實(shí)數(shù)a的值例5 已知集合M=（x，y）|x+y=2，N=（x，y）|x-y=4，那么MN=_8.解題方法：集合A與集合B的并集就是將集合A中的元素與集合B的元素加起來(lái)所組成的集合。也就是說(shuō)，如果我們已知了兩個(gè)集合，那么它們所包含的所有不同元素組成的就是這個(gè)集合的并集。并集的符號(hào)語(yǔ)言中的“或”與生活語(yǔ)言中的“或”的含義是不同的，生活用語(yǔ)中

9、的“或”是只取其一，并不兼存，而并集中的“或”則是可兼有的。包含3種情形：（1）xA，且xB； （2）xB，且xA （3）xA且xB。【J】例1 若集合A=1,3，x，B=1，AB=1，3，x，則x可以為_(kāi)例2 集合M=x|-3<x<1,N=x|x-3，則MN=_【L】例3 集合A=x|+3x+20，B=x|m-4x+m-1>0,mR,若AB=，且AB=A，求m的取值范圍?！綜】例4集合A=0,2，a，B=1，若AB=0,1,2,4,16，則a的值為_(kāi) 例5集合A=x<a，B=x|1<x<2,且A（B）=R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ 9. 理解類(lèi)：AA=AA=

10、A A=，A=A AB=BA AB=BA A A=U A A= （A）=A （A B）=( A) ( B) （A B）=( A) ( B) A B=A A B A B=A B A. 要熟練掌握這些運(yùn)算性質(zhì)，建議運(yùn)用文氏圖形幫助理解記憶。并且在運(yùn)用時(shí)，要注意檢驗(yàn)元素的互異性。在解題時(shí)，要一步一步來(lái)求出集合，最終得出我們要求的集合，有括號(hào)的先求括號(hào)里的。若是求一個(gè)值的取值范圍，一般可以先求出一個(gè)集合，在通過(guò)2個(gè)集合的關(guān)系，求出另一個(gè)集合，列出關(guān)系可求的所求值。 【J】例1 已知集合A=x|+3x+20，B=x|m-4x+m-1>0，mR，若AB=，且AB=A，求m的取值范圍。 【L】例2 已知集合M=x|0,N=x|x-3,則集合x(chóng)|x1=( ) A MN B MN C (MN) D (MN) 【C】例3 設(shè)A=x|+4x=0,B=+2(a+1)x+-1=0,若AB=B，求a的取值范圍?？偨Y(jié)：（1）熟練掌握與應(yīng)用文氏圖，將題目與文氏圖結(jié)合，更容易求出答案（2）要求出某一個(gè)含有元素字母的集合，要求元素字母取值范圍，往往是利用題目中所給的集合間的關(guān)系或者集合與元素之間的關(guān)系來(lái)找出元素字母的取值范圍。練習(xí)題：1 集合P=x|2x10，Q=x|a-1x2a+2，QP，求a的取值范圍2 A=x|-3x+2=0,B=x|-ax+3a-5=0,AB=