20平行四邊形與中心對(duì)稱圖形

1、平行四邊形與中心對(duì)稱圖形一、一周知識(shí)概述1、四邊形在平面內(nèi)，由不在同一條直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形組成四邊形的各條線段叫做四邊形的邊，每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做四邊形的頂點(diǎn)四邊形用它的各個(gè)頂點(diǎn)的字母順序來(lái)表示如四邊形ABCD若把四邊形的任何一邊向兩方延長(zhǎng)，其它各邊都在延長(zhǎng)所得的直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形四邊形中，連結(jié)不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做四邊形的對(duì)角線，四邊形有兩條對(duì)角線四邊形相鄰兩邊所組成的角叫做四邊形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱四邊形的角四邊形相對(duì)的兩個(gè)角叫做對(duì)角，相對(duì)的兩條邊叫做對(duì)邊2、平行四邊形的定義兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形平行四邊形ABCD記作“AB

2、CD”如圖，在ABCD中，AB與CD，AD與BC分別為ABCD的兩組對(duì)邊，A與C，B與D是兩組對(duì)角3、平行四邊形的性質(zhì)(1)平行四邊形對(duì)角相等；(2)平行四邊形對(duì)邊平行且相等；(3)平行四邊形的對(duì)角線互相平分4、中心對(duì)稱圖形在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形G繞一點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，所得到的像與原來(lái)的圖形G互相重合，那么圖形G叫做中心對(duì)稱圖形點(diǎn)O叫做圖形G的對(duì)稱中心，此時(shí)也稱圖形G關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱中心對(duì)稱圖形上，每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心5、平行四邊形的判定方法（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；(2)兩組對(duì)邊分別相

3、等的四邊形是平行四邊形；(3)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；(4)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形6、平行四邊形判定與性質(zhì)的關(guān)系特別說(shuō)明的是：平行四邊形的定義既是它的性質(zhì)，又是它的判定7、三角形中位線連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線的性質(zhì)定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半如圖，D、E分別是ABC邊AB、AC的中點(diǎn)，則，且DEBC它說(shuō)明三角形中位線與第三邊的位置和大小關(guān)系也是我們將來(lái)解決線與線之間平行關(guān)系和倍分關(guān)系的一種重要方法二、重難點(diǎn)知識(shí)歸納掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定方法，三角形中位線的性質(zhì)；應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)和判定方法解決平行四邊形的有

4、關(guān)問(wèn)題；會(huì)應(yīng)用三角形的中位線性質(zhì)解題三、典型例題講解例1、O是ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，的周長(zhǎng)為59，則_，若與的周長(zhǎng)之差為15，則_，ABCD的周長(zhǎng)=_.解析：ABCD中，.的周長(zhǎng) .在ABCD中，BC=AD，AD=28的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)， ABCD的周長(zhǎng)說(shuō)明：本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是將與的周長(zhǎng)的差轉(zhuǎn)化為兩條線段的差.例2、已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)的直線EF交AD、BC于E、F.求證：.分析：要證，只需證含有OE、OF的兩個(gè)三角形全等即可，也就是說(shuō)證明或證.這一點(diǎn)由平行四邊形的性質(zhì)容易證得.證明：四邊形ABCD是平行四邊形，（平行四邊形的對(duì)角線

5、互相平分）在與中，說(shuō)明：此題利用了平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，通過(guò)證明三角形全等，證明了.那么由此題可以看出過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的任一直線被一組對(duì)邊所截得的線段，被對(duì)角線的交點(diǎn)平分.平行四邊形是以對(duì)角線交點(diǎn)為中心的對(duì)稱圖形.例3、如圖，E、F分別是ABCD的AD、BC邊上的點(diǎn)，且AE=CF(1)求證：ABECDF；(2)若M、N分別是BE、DF的中點(diǎn)，連結(jié)MF、EN，試判斷四邊形MFNE是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論證明：(1)四邊形ABCD為平行四邊形，AB=CD，A=C又AE=CF，ABECDF(SAS)(2)四邊形MFNE是平行四邊形證明如下：由ABECDF得BE=DF又M、N分別

6、為BE、DF的中點(diǎn)，EM=NF由四邊形ABCD為平行四邊形知又AE=CF，四邊形BEDF為平行四邊形，故BEDF，四邊形MFNE為平行四邊形點(diǎn)評(píng)：本例兩次用到“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”的判定定理，并且兩次用到平行四邊形的性質(zhì)定理例4、已知，如圖，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是36cm，自鈍角頂點(diǎn)D向AB、BC引兩條高DE、DF，且，求這個(gè)平行四邊形的面積解析：設(shè)AB=x cm，BC=y cm四邊形ABCD為平行四邊形，AB=CD，AD=BC又四邊形ABCD的周長(zhǎng)為36cm，2x2y=36DEAB，DFBC，SABCD=AB·DE，SABCD=BC·DF由解得x=

7、10，y=8SABCD=AB·DE=說(shuō)明：利用方程思想是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法例5、如圖，在ABC中，ACB=90°，CF是斜邊上的高，AT平分CAB交CF于點(diǎn)D，過(guò)D作DEAB交BC于點(diǎn)E求證：CT=EB證明：過(guò)D作DGCB交AB于點(diǎn)GDEAB，四邊形DEBG為平行四邊形DG=EB，3=B在RtABC與RtAFC中，易知4=B4=3，1=2，AD=AD，ACDAGD，CD=GD又15=90°，27=26=90°，5=6，CD=CTCT=EB例6、AD為ABC的高，B=2C，M為BC的中點(diǎn)求證：DM=AB分析：由M為BC中點(diǎn)，要證DM=AB，聯(lián)想利用

8、中位線定理構(gòu)造AB，即取AC的中點(diǎn)N，連接MN，DN，只須證明MN=DM，這可由在直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊一半及B=2C證得證法一：取AC的中點(diǎn)N，連接MN、DN又M為BC中點(diǎn)，MN/AB，MN=AB，B=NMCAD為ABC的高，N為AC的中點(diǎn)，DN=CN，C=NDCNMC=NDCMND，B=2C，MDN=MND，MD=MN，DM=AB證法二：取AB的中點(diǎn)P，連接DP、MP，則PM為ABC的中位線PM/AC，C=PMB又AD為ABC的高，P為AB的中點(diǎn)，PD=PB=AB，B=PDBPDB=PMBDPM，B=2C，DPM=DMP，PD=DM=AB說(shuō)明：如果題目中有線段倍分并有中點(diǎn)，解題思

9、路經(jīng)常構(gòu)造中位線把問(wèn)題轉(zhuǎn)化；在證線段倍分時(shí)，也經(jīng)常用到“斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一結(jié)論證題例7、在圖(1)中的網(wǎng)格中畫(huà)出四邊形關(guān)于O點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形解：在網(wǎng)格中作出四邊形關(guān)于O點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形，如圖(2)說(shuō)明：作中心對(duì)稱圖形的實(shí)質(zhì)，就是將圖形的每一個(gè)頂點(diǎn)繞中心O旋轉(zhuǎn)180°比如，作點(diǎn)A，使點(diǎn)A與點(diǎn)A關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，只要連結(jié)AO，并延長(zhǎng)AO至A，使OA=OA即可在線測(cè)試窗體頂端一、選擇題1、下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）兩個(gè)全等三角形必關(guān)于某一點(diǎn)中心對(duì)稱關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)三角形是全等三角形（注意比較命題、的真假）兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，則這兩個(gè)三角形關(guān)于該點(diǎn)成中心對(duì)稱（沒(méi)有說(shuō)明

10、被這一點(diǎn)平分）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)三角形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心A1B2C3D42、如圖，在ABCD中，AEBC于點(diǎn)E，AFCD于點(diǎn)F，若AE=4，AF=6，ABCD的周長(zhǎng)為40，則SABCD為（）A24 B36C40 D483、如圖，在ABCD中，已知AE、CF分別是DAB、BCD的角平分線，若B=50°，則BCF=（）A50° B40°C65° D85°4、若A、B、C三點(diǎn)不共線，則以其為頂點(diǎn)的平行四邊形共有（）A1個(gè) B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)5、如圖，ABCD中，C=108°，BE平分ABC，則ABE等于（）A18° B3

11、6°C72° D108°6、已知，第一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為1，它的三條中位線又組成第二個(gè)三角形，第二個(gè)三角形的三條中位線又組成第三個(gè)三角形，依次類推，第2009個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）ABCD7、如圖，在ABC中，AB=30cm，BC=24cm，CA=27cm，AE=EF=FB，EGDFBC，F(xiàn)MENAC，則圖中陰影部分三個(gè)三角形周長(zhǎng)的和為（）A70cm B75cmC80cm D81cm8、如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，如果AC=8，BD=10，AB=x，則x的取值范圍是（）A1x9B2x18C8x10 D4x59、如圖，在ABCD中，CE是DCB的平分

12、線，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，AB=6，BC=4，則AEEFFB為（）A112B213C324D11310、在四邊形ABCD中，給出下列條件：ABCD；AD=BC；A=C；ADBC能判斷四邊形是平行四邊形的所有組合是（）A， B，C， D， 窗體底端B卷二、解答題11、如圖，在ABCD中，AEBC，AFCD，E、F是垂足，B=50°求ABCD的其他三個(gè)角及EAF的度數(shù)答案12、如圖，已知AO是ABC的A的平分線，BDAO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，E是BC的中點(diǎn)求證：答案13、如圖，四邊形ABCD中，DCAB，以AD、AC為邊作ACED，延長(zhǎng)DC交EB于點(diǎn)F求證：EF=FB答案14、如圖，四邊形ABCD關(guān)

13、于點(diǎn)O成中心對(duì)稱圖形求證：四邊形ABCD是平行四邊形答案15、如圖，在ABC中,C=90°,點(diǎn)M在BC上，且BM=AC；點(diǎn)N在AC上，且AN=MCAM、BN相交于點(diǎn)P求證：BPM45°第1題答案錯(cuò)誤!正確答案為 B第2題答案錯(cuò)誤!正確答案為 D第3題答案錯(cuò)誤!正確答案為 C第4題答案錯(cuò)誤!正確答案為 C第5題答案錯(cuò)誤!正確答案為 B第6題答案錯(cuò)誤!正確答案為 B第7題答案錯(cuò)誤!正確答案為 D第8題答案錯(cuò)誤!正確答案為 A第9題答案錯(cuò)誤!正確答案為 B第10題答案錯(cuò)誤!正確答案為 D提示：1、(2)(4)正確2、設(shè)BC=x，CD=y，則依面積知4x=6y2x=3y，又xy=2

14、0，列方程組求解3、BCD=130°，BCF=65°4、過(guò)點(diǎn)A、B、C分別作對(duì)邊的平行線，有3個(gè)平行四邊形5、此題用到了“平行四邊形的鄰角互補(bǔ)”，求出ABC的度數(shù)后，即可得到ABE的大小6、三角形的三條中位線組成的三角形的周長(zhǎng)等于前一個(gè)三角形的周長(zhǎng)的一半7、依平行四邊形對(duì)邊相等知正好為ABC的周長(zhǎng)8、由平行四邊形性質(zhì)可知：OA=4，OB=5在平行四邊形中，AB、OA、OB構(gòu)成三角形，所以54x54，即1x99、在ABCD中，DCAB，所以DCE=CEB，又DCE=ECB，所以CEB=ECB，即BE=BC=4，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，所以又EF=BEFB=43=1，AE=ABBE=64

15、=2，所以AEEFFB=21310、由平行四邊形的判定方法知選D11、解：四邊形ABCD為平行四邊形，D=B=50°，C=BAD(ABCD的對(duì)角相等)又ABCD，CB=180°C=BAD=130°在四邊形AECF中，AEBC，AFCD，C=130°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理，得EAF=50°12、分析：由“角平分線垂直”易聯(lián)想到等腰三角形，通過(guò)補(bǔ)圖，運(yùn)用等腰三角形三線合一，構(gòu)造出三角形的中位線證明：如圖，延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)F，則ABF為等腰三角形，且BD=DF又E為BC中點(diǎn)，ED是BCF的中位線13、證明：過(guò)點(diǎn)B作BGAD，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連結(jié)EGDCAB，四邊形ABGD為平行四邊形在ACED中，四邊形BGEC是平行四邊形，EF=FB(平行四邊形對(duì)角線互相平分)14、分析：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是中心對(duì)稱圖形，所以A點(diǎn)和C點(diǎn)，B點(diǎn)和D點(diǎn)是對(duì)稱點(diǎn)，則線段AC過(guò)點(diǎn)O，BD也過(guò)點(diǎn)O，且AC、BD都被點(diǎn)O平分，所以四邊形ABCD是平行四邊形證明：四