算符對易關(guān)系_第三章VIP

1、.1 3.7 3.7 算符對易關(guān)系、兩力學(xué)量同時可測的條件、算符對易關(guān)系、兩力學(xué)量同時可測的條件、測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系1 1算符的對易關(guān)系算符的對易關(guān)系設(shè)設(shè) 和和 為兩個算符為兩個算符FG若若 ，F(xiàn)GGF則稱則稱 與與 對易對易GF若若 ，F(xiàn)GGF則稱則稱 與與 不對易不對易GF引入對易子：引入對易子：FGGFGF,若若 ，0,GF 則則 與與 對易對易GF若若 ，0,GF 則則 與與 不對易不對易GF.2,0,0,0 x yy zz x,0,0,0 xyyzzxpppppp , 0 xx,1, 2, 3 ,0pp 123,xx xy xz1,2,3()xyzpppppp,1, 2, 3 3.

2、7 3.7 算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件 測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)） ,0,0,0,yzxyxzxyzx px px piy piy py pz pz pz pi,( ,1, 2, 3)xpi （1 1）力學(xué)量算符的基本對易關(guān)系）力學(xué)量算符的基本對易關(guān)系.3證明對易關(guān)系式證明對易關(guān)系式 xxUipxUx)(),(ExProveProve設(shè)設(shè) 為任一可微函數(shù)為任一可微函數(shù), ,f x y z ,xxxxxU xPfUPPUfUP fPUf ,xUU x Pix Uffi UixxUUi fifxx特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) 代入上對易式，即證得代入上對易式，即證

3、得 U xx,xx Pi同理可證：同理可證：,yy Pi,zz Pi3.7 3.7 算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件 測不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)）測不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)）fUfi Ui fi Uxxx.4 ,0AA , ,A BBA ,CABACBA,CBCACBA,CABCBACBA,CBABCACBA , , , , , , 0AB CBC ACA Bprove:（2 2）對易恒等式）對易恒等式雅可比恒等式雅可比恒等式雙線性雙線性 BACBACABCBCA,CABCBA ,A BC ABCBCA3.7 3.7 算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的

4、條件 測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)）.5,LLiL LLi L,xyzyzxzxyLLi LLLi LLLi L（3 3）角動量算符的對易關(guān)系）角動量算符的對易關(guān)系110is an odd permutation of xyzis an even permutation of xyzotherwise222,0,0,0 xyzLLLLLL2,0LL,xyz3.7 3.7 算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件 測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)）.6,yyzyxLpzpyLL, , ,zyyzyyyyy p Ly L pz p Lz L p, ,zxzxzyy p zpxpz

5、zpxp p, ,zzxzxyzyp xpzy p zpypz xpp pz, , ,zzxxzyzyp pzy p z pyzp px zxp pxyi ypi xpzLiProve:Prove: ,0yy L,0yypL等于零等于零()yxixpyp 等于零等于零3.7 3.7 算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件 測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)）.7定 理定 理prove:prove:2 2力學(xué)量同時有確定值的條件（對易的物理意義）力學(xué)量同時有確定值的條件（對易的物理意義）3.7 3.7 算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件 測不

6、準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)6）設(shè)設(shè) 是是 和和 的共同本征函數(shù)完全系，則的共同本征函數(shù)完全系，則 nFG,nnnnnnFG 0nnnnnnFG GF 設(shè)設(shè) 是任一狀態(tài)波函數(shù)，是任一狀態(tài)波函數(shù)，1n nna0nnnFG GFa FG GF,0FG GFF G 若算符若算符 和和 具有共同的本征函數(shù)完全具有共同的本征函數(shù)完全系，則系，則 和和 必對易。必對易。FGGF.8逆 定 理逆 定 理prove:prove:設(shè)設(shè) 是是 的本征函數(shù)完全系，則的本征函數(shù)完全系，則 nF若算符若算符 與與 對易，則對易，則FGFGGFnnnF （1 1）nnnnFGGFG（2 2） 為簡單起見，先考慮非簡并情況。由（為

7、簡單起見，先考慮非簡并情況。由（1 1）、（）、（2 2）式知，式知， 和和 都是都是 屬于本征值屬于本征值 的本征函數(shù)，它的本征函數(shù)，它們最多相差一個常數(shù)因子們最多相差一個常數(shù)因子 ，即，即nnGFnnnnnG 可見，可見， 也是也是 的本征方程的解。因此，的本征方程的解。因此， 是是 的本征函數(shù)完全系的本征函數(shù)完全系nG nG若算符若算符 與與 對易，則它們具有共同的本對易，則它們具有共同的本征函數(shù)完全系征函數(shù)完全系FG3.7 3.7 算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件 測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)7）.9 若兩個力學(xué)量算符彼此不對易，則一般說來這兩若兩個力學(xué)

8、量算符彼此不對易，則一般說來這兩個算符表示的兩個力學(xué)量不能同時具有確定性，或者個算符表示的兩個力學(xué)量不能同時具有確定性，或者說不能同時測定。說不能同時測定。 兩個算符有共同本征函數(shù)系的充要條件是這兩個兩個算符有共同本征函數(shù)系的充要條件是這兩個算符彼此對易；在兩個力學(xué)量算符的共同本征函數(shù)算符彼此對易；在兩個力學(xué)量算符的共同本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)中，這兩個算符所表示的力學(xué)量同時所描寫的狀態(tài)中，這兩個算符所表示的力學(xué)量同時有確定值?；蛘哒f有確定值?；蛘哒f兩個力學(xué)量算符所表示的力學(xué)量兩個力學(xué)量算符所表示的力學(xué)量同時有確定值的條件是這兩個力學(xué)量算符相互對易。同時有確定值的條件是這兩個力學(xué)量算符相互對易。注

9、注3.7 3.7 算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件 測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)8） 為簡單起見，以上定理和逆定理的證明是在非簡為簡單起見，以上定理和逆定理的證明是在非簡并情況下證明的；在簡并的情況下，結(jié)論仍成立（這并情況下證明的；在簡并的情況下，結(jié)論仍成立（這里就不再證明了里就不再證明了）.10Ex.2Ex.2 角動量算符角動量算符 和和 對易，即對易，即 因此它們有共同的本征函數(shù)完備系因此它們有共同的本征函數(shù)完備系 。0,2LLz( , ) l mY zL2L22(1)zLl lLm，3.7 3.7 算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時

10、可測的條件 測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)9）( )pr同時有確定值。同時有確定值。,xyzppp在在 描述的狀態(tài)中，描述的狀態(tài)中，在在 描述的狀態(tài)中，描述的狀態(tài)中，,lmY 和和 可同時有確定值可同時有確定值: :2LzLEx.1Ex.1動量算符動量算符 彼此對易，它們有共同的彼此對易，它們有共同的本征函數(shù)完備系本征函數(shù)完備系 ,xyzp p prpiper23)2()(.11Ex.5Ex.5 彼此不對易，故彼此不對易，故 一般不一般不可能同時有確定值?？赡芡瑫r有確定值。zyxLLL,zyxLLL, Ex.4 坐標(biāo)算符與動量算符不對易坐標(biāo)算符與動量算符不對易 ，故故 一般不可同時具有確定值。一般不

11、可同時具有確定值。 iPxx,xPx,3.7 3.7 算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件 測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)10）42222,(1),2snzeELl lLmn Ex.3 氫原子的算符氫原子的算符 彼此對易：彼此對易：2zHL L、 、0,2LH0,zLH0,2zLL它們有共同的本征函數(shù)完備系它們有共同的本征函數(shù)完備系 ( , , ) nlmr 故故 可可同時有確定值同時有確定值: :zLLH,2在在 狀態(tài)中，狀態(tài)中，, ,nlmr .12（1 1）定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對易的）定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對易的力學(xué)量算符的最?。〝?shù)

12、目）集合稱為力學(xué)量完全集。力學(xué)量算符的最?。〝?shù)目）集合稱為力學(xué)量完全集。三維空間中自由粒子，完全確三維空間中自由粒子，完全確定其狀態(tài)需要三個兩兩對易的定其狀態(tài)需要三個兩兩對易的力學(xué)量：力學(xué)量：.,zyxpppEx.2Ex.2氫原子，完全確定其狀態(tài)也需氫原子，完全確定其狀態(tài)也需要三個兩兩對易的力學(xué)量：要三個兩兩對易的力學(xué)量：.,2zLLH一維諧振子，只需要一個力學(xué)一維諧振子，只需要一個力學(xué)量就可完全確定其狀態(tài)：量就可完全確定其狀態(tài)：H（2 2）力學(xué)量完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般與體系自由度）力學(xué)量完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般與體系自由度數(shù)相同。數(shù)相同。（3 3）由力學(xué)量完全集所確定的本征函數(shù)系，構(gòu)成該體

13、）由力學(xué)量完全集所確定的本征函數(shù)系，構(gòu)成該體系態(tài)空間的一組完備的本征函數(shù)，即體系的任何狀態(tài)系態(tài)空間的一組完備的本征函數(shù)，即體系的任何狀態(tài)均可用它展開。均可用它展開。3.3.力學(xué)量完全集合力學(xué)量完全集合Ex.3Ex.3Ex.1Ex.13.7 3.7 算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件 測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)11）.134 4測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系3.7 3.7 算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件 測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)2 ） 測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo) 坐標(biāo)和動量的測不準(zhǔn)關(guān)系坐標(biāo)和動量的測不準(zhǔn)關(guān)系 角動量的測不準(zhǔn)

14、關(guān)系角動量的測不準(zhǔn)關(guān)系引 言引 言由前面討論表明，兩對易力學(xué)量算符則同由前面討論表明，兩對易力學(xué)量算符則同時有確定值；不對易兩力學(xué)量算符，一般時有確定值；不對易兩力學(xué)量算符，一般來說，不存在共同本征函數(shù)，不同時具有來說，不存在共同本征函數(shù)，不同時具有確定值。確定值。問 題問 題兩個不對易算符所對應(yīng)的力學(xué)量在某一狀兩個不對易算符所對應(yīng)的力學(xué)量在某一狀態(tài)中究竟不確定到什么程度？即不確定度態(tài)中究竟不確定到什么程度？即不確定度是多少？是多少？不確定度：不確定度：測量值測量值 F Fn n 與平均值與平均值 的偏差的的偏差的大小。大小。.14GGGFFF,)()(FFGGGGFFFGGF() ()FG

15、FG FG FGGF GF GF GFk iFGGF 設(shè)設(shè) 和和 的對易關(guān)系為的對易關(guān)系為GFk iGF,k iFGGF考慮積分：考慮積分：2( )()IFi Gd dGiFGiF)()(*dFGGFidFF)()()()()(*2dGG)()(*（再利用力學(xué)量算符的厄米性）（再利用力學(xué)量算符的厄米性） 測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo) .150)()(222GkF由代數(shù)中二次定理知，這個不等式成立的條件由代數(shù)中二次定理知，這個不等式成立的條件是系數(shù)必須滿足下列關(guān)系：是系數(shù)必須滿足下列關(guān)系： 4)()(222kGF（稱為測不準(zhǔn)關(guān)系）（稱為測不準(zhǔn)關(guān)系） 如果如果 不等于零，則不等于零，則

16、 和和 的均方偏差不會同時為的均方偏差不會同時為零，它們的乘積要大于一正數(shù)，這意味著零，它們的乘積要大于一正數(shù)，這意味著 和和 不能不能同時測定。同時測定。kFGFG222*()()FdiF GG FdGd 3.7 3.7 算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件 測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)3）.16 由測不準(zhǔn)關(guān)系由測不準(zhǔn)關(guān)系 看出：若兩個力學(xué)量看出：若兩個力學(xué)量算符算符 和和 不對易，則一般說來不對易，則一般說來 與與 不能同不能同時為零，即時為零，即 和和 不能同時測定（但注意不能同時測定（但注意 的特殊態(tài)可能是例外），或者說它們不能有共同本征的特殊態(tài)可能是例外）

17、，或者說它們不能有共同本征態(tài)。反之，若兩個厄米算符態(tài)。反之，若兩個厄米算符 和和 對易，則可以找對易，則可以找出這樣的態(tài)，使出這樣的態(tài)，使 和和 同時滿足，即可同時滿足，即可以找出它們的共同本征態(tài)。以找出它們的共同本征態(tài)。 222() ()4FGkFGFG , 0F G FG0F0GFGxx pi 4)()(222xpx故有故有 坐標(biāo)和動量的測不準(zhǔn)關(guān)系坐標(biāo)和動量的測不準(zhǔn)關(guān)系 22)2xxp （或?qū)懗苫驅(qū)懗?172xpx簡記為簡記為 表明：表明： 和和 不能同時為零，坐標(biāo)不能同時為零，坐標(biāo) 的均方差越的均方差越小，則與它共軛的動量小，則與它共軛的動量 的均方偏差越大，亦就是說，的均方偏差越大，亦

18、就是說，坐標(biāo)愈測量準(zhǔn)，動量就愈測不準(zhǔn)。坐標(biāo)愈測量準(zhǔn)，動量就愈測不準(zhǔn)。xxpxPx3.7 3.7 算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件 測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)4） 角動量的測不準(zhǔn)關(guān)系角動量的測不準(zhǔn)關(guān)系22224)zyxzyxLLLLiLL （，2222241)()44xyLLmm （當(dāng)粒子處在當(dāng)粒子處在 的本征態(tài)時的本征態(tài)時zL.18測不準(zhǔn)關(guān)系的應(yīng)用測不準(zhǔn)關(guān)系的應(yīng)用 Ex. 1 利用測不準(zhǔn)關(guān)系估算線性諧振子的零點(diǎn)能利用測不準(zhǔn)關(guān)系估算線性諧振子的零點(diǎn)能0ESolve：諧振子的能量諧振子的能量 21nEn222( )()xnnnxN eHx222212xpH平均能量

19、：平均能量： 2222121xpHEdxxPxPnn)()(*dxxdxdxinn)()(*3.7 3.7 算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件 測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)5）dxxxdxdixxinnnn)()()()(*.190)(2dxxxxn222222222()()()() ()4PPPPxxxxPx2224Px22222221112228EHpxxx0P ( )nnpx dxP3.7 3.7 算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件 測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)16)可以由對稱性直接得出.20222221280ExxdEdxmi

20、n012EE 故所謂零點(diǎn)能即為測不準(zhǔn)關(guān)系要求的最小能量，故所謂零點(diǎn)能即為測不準(zhǔn)關(guān)系要求的最小能量，零點(diǎn)能在舊量子理論是沒有的。零點(diǎn)能在舊量子理論是沒有的。22x（零點(diǎn)能）（零點(diǎn)能）3.7 3.7 算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時可測的條件 測不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)測不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)17 17）.21Prove:22224)xzyxzyLLLLiLL （，則測不準(zhǔn)關(guān)系：則測不準(zhǔn)關(guān)系：222224040)xxyLLL （平均值的平方平均值的平方為非負(fù)數(shù)為非負(fù)數(shù)欲保證不等式成立，必有：欲保證不等式成立，必有：0 xL同 理同 理0 yL由于在由于在 本征態(tài)本征態(tài) 中，測量力學(xué)量中，測量力

21、學(xué)量 有確定值，有確定值，所以所以 均方偏差必為零均方偏差必為零zLlmYzLzLEx.2 利用測不準(zhǔn)關(guān)系證明，在利用測不準(zhǔn)關(guān)系證明，在 本征態(tài)本征態(tài) 下，下，zLlmY0 xL0 yL.22此式表明力學(xué)量此式表明力學(xué)量平均值平均值隨時間變化有兩方面的原因隨時間變化有兩方面的原因: :體系所處的狀態(tài)體系所處的狀態(tài) 隨時間而變化隨時間而變化力學(xué)量算符力學(xué)量算符 是時間的顯函數(shù)，使是時間的顯函數(shù)，使 隨時間變化隨時間變化FF),( tx*( , ),( , )Fx t F x tx t dx*dFFF dxdxFdxdtttt（1 1）3.8 力學(xué)量隨時間的變化力學(xué)量隨時間的變化 守恒律守恒律1

22、1、力學(xué)量平均值隨時間的變化、力學(xué)量平均值隨時間的變化Hit1*)(1Hit由薛定諤方程有由薛定諤方程有 代入（代入（1 1），則有），則有.23 *11dFFdFH dHFddttii因因 是厄米算符是厄米算符 H3.8 3.8 力學(xué)量隨時間的變化力學(xué)量隨時間的變化 守恒律（續(xù)守恒律（續(xù)）*1 ()dFFdxFH HFdxdtti利用對易子記號利用對易子記號 ,HFFHHF)(1FHHFitFdtFd（2）,1HFitFdtFd則則 HFdHF d.24結(jié)論結(jié)論: :力學(xué)量力學(xué)量 的平均值的平均值 不隨時間而變化不隨時間而變化, ,則稱則稱 為運(yùn)動積分，或?yàn)檫\(yùn)動積分，或 在運(yùn)動中守恒。在運(yùn)動

23、中守恒。FFFF2 2、運(yùn)動積分、運(yùn)動積分力學(xué)量守恒的條件力學(xué)量守恒的條件若力學(xué)量算符若力學(xué)量算符 不顯含時間不顯含時間t,t,且與哈密頓算符且與哈密頓算符 對易對易FH0dFdt則有則有F 常量常量0,FHHFHF即即 ，0tF3.8 3.8 力學(xué)量隨時間的變化力學(xué)量隨時間的變化 守恒律（續(xù)守恒律（續(xù)2 2）Ex1.Ex1. 自由粒子的動量自由粒子的動量 0PtPi 不顯含時間不顯含時間.25又又221PmTH21 , , 02P HPPm0dPdt故故 守恒守恒P3.8 3.8 力學(xué)量隨時間的變化力學(xué)量隨時間的變化 守恒律（續(xù)守恒律（續(xù)3 3）哈米頓算符可表示為哈米頓算符可表示為： 在球坐

24、標(biāo)系中算符在球坐標(biāo)系中算符 等只是等只是 的函的函數(shù)，與時間（數(shù)，與時間（r,tr,t）無關(guān)，對時間偏微商為無關(guān)，對時間偏微商為0 0。 2,LLLLzyx( ,)Ex2. Ex2. 粒子在輳力場中運(yùn)動的角動量粒子在輳力場中運(yùn)動的角動量自由粒子的動量是運(yùn)動積分自由粒子的動量是運(yùn)動積分動量守恒動量守恒.26222221( )22HrLU rmrrrmr 角動量各分量算符及角動量平方算符均與哈密角動量各分量算符及角動量平方算符均與哈密頓算符對易頓算符對易角動量各分量算符及角動量平方算符均為守恒量。角動量各分量算符及角動量平方算符均為守恒量。 角動量守恒定律！角動量守恒定律！3.8 3.8 力學(xué)量隨

25、時間的變化力學(xué)量隨時間的變化 守恒律（續(xù)守恒律（續(xù)4 4）Ex3. Ex3. 哈密頓算符不顯含時間的體系的能量哈密頓算符不顯含時間的體系的能量0tH當(dāng)當(dāng) 不顯含不顯含t t時，時，H0,HH 又又0dHdt即：能量守恒定律！即：能量守恒定律！.27),(),(trtrI 空間反演算符也稱為宇稱算符空間反演算符也稱為宇稱算符),(),(),(),(2trItrtrItrII3 3、哈密頓算符對空間反演時的不變宇稱、哈密頓算符對空間反演時的不變宇稱空間反演：空間反演：( , )r t(, )r t空間反演算符空間反演算符I21I 反演算符反演算符 的本征值的本征值I本征值本征值1I 3.8 3.8

26、 力學(xué)量隨時間的變化力學(xué)量隨時間的變化 守恒律（續(xù)守恒律（續(xù)5 5）rr.28 具有偶宇稱或奇宇稱的波函數(shù)稱為具有確定的宇具有偶宇稱或奇宇稱的波函數(shù)稱為具有確定的宇稱。宇稱是運(yùn)動空間對稱性的描述。稱。宇稱是運(yùn)動空間對稱性的描述。宇稱守恒律：宇稱守恒律：若體系的哈密頓算符具有空間反演不變性若體系的哈密頓算符具有空間反演不變性( , )(, )( , )IH r tHr tH r t即即則則 為運(yùn)動積分，即為運(yùn)動積分，即宇稱守恒宇稱守恒I3.8 3.8 力學(xué)量隨時間的變化力學(xué)量隨時間的變化 守恒律（續(xù)守恒律（續(xù)6 6）( ) ( , )() (, )( )( , )IH rr tHrr tH r

27、Ir tProveProve：( , )( , )Ir tr t( , )( , )Ir tr t ( (偶宇稱偶宇稱) )( (奇宇稱奇宇稱) )11I.29 故故 0,1HIitIdtId 宇稱守恒表示體系的哈密頓算符和宇稱算符具有共宇稱守恒表示體系的哈密頓算符和宇稱算符具有共同本征函數(shù)同本征函數(shù), , 因而體系能量本征函數(shù)可以有確定的宇因而體系能量本征函數(shù)可以有確定的宇稱，而且不隨時間變化。稱，而且不隨時間變化。量子力學(xué)中一個不可觀測量的對稱性（不變性）導(dǎo)致量子力學(xué)中一個不可觀測量的對稱性（不變性）導(dǎo)致一個可觀測量的守恒律。一個可觀測量的守恒律。 3.8 3.8 力學(xué)量隨時間的變化力學(xué)量

28、隨時間的變化 守恒律（續(xù)守恒律（續(xù)7 7）因此因此, ,為運(yùn)動積分，亦即宇稱守恒為運(yùn)動積分，亦即宇稱守恒IIHHI0,HI0It又又 不顯含不顯含t t，I.30一、力學(xué)量與算符一、力學(xué)量與算符 1 1厄米算符的定義厄米算符的定義 2 2力學(xué)量與厄米算符的關(guān)系力學(xué)量與厄米算符的關(guān)系 力學(xué)量用厄米算符表示，表示力學(xué)量的厄米力學(xué)量用厄米算符表示，表示力學(xué)量的厄米算符有組成完全系的本征函數(shù)系（假設(shè)）算符有組成完全系的本征函數(shù)系（假設(shè)） 3 3厄米算符的性質(zhì)厄米算符的性質(zhì) 厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)，屬于不同本征厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)，屬于不同本征值的本征函數(shù)正交值的本征函數(shù)正交 4 4力學(xué)量算符的構(gòu)成（

29、對應(yīng)原則）（假設(shè)）力學(xué)量算符的構(gòu)成（對應(yīng)原則）（假設(shè)） 5 5力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值 注注 2 2和和4 4合起來作為一個假設(shè)合起來作為一個假設(shè) 第三章第三章 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí).31二、力學(xué)量的測量值與力學(xué)量算符關(guān)系：二、力學(xué)量的測量值與力學(xué)量算符關(guān)系： 假設(shè)力學(xué)量算符的本征值是力學(xué)量的可測量假設(shè)力學(xué)量算符的本征值是力學(xué)量的可測量值。將體系的狀態(tài)波函數(shù)用算符值。將體系的狀態(tài)波函數(shù)用算符 的本征函數(shù)系的本征函數(shù)系 展開展開則在則在 態(tài)中測量力學(xué)量態(tài)中測量力學(xué)量 得到結(jié)果為得到結(jié)果為 的幾率的幾率是是 ，得到結(jié)果在，得到結(jié)果在 范圍內(nèi)的幾率是范圍內(nèi)的幾率是n2nCd2C dFFnnnndcc三、力學(xué)量算符之間的關(guān)系三、力學(xué)量算符之間的關(guān)系 1 1不同力學(xué)量同時可測定的條件不同力學(xué)量同時可測定的條件力學(xué)量力學(xué)量算符彼此對易。一體系的所有可彼此對易的力學(xué)算符彼此對易。一體系的所有可彼此對易的力學(xué)量算符構(gòu)成一個完全集。量算符構(gòu)成一個完全集