7014綜合除法和余數(shù)定理

1、第 十四講 綜合除法和余數(shù)定理知識要點綜合除法和余數(shù)定理是研究多項式除法的常用工具，現(xiàn)將 有關(guān)的知識介紹如下：L記號/(xt關(guān)于J的代數(shù)式常用記號把工)或和劉等表示，側(cè)如，用只工) 表示代數(shù)式2疋+工一 3, JH可記為/(x) = 2分 + Jr 3.這時就表示當(dāng)X-1時，代數(shù)式加+一3的值，即f= 2 X I1 + 1 - 3 = 0.同樣地，有 /(0) = 2XO: + O- 3=-S；- 1) = 2 X (- »上 +( 1)-3 =一2爭等.用Az)pJ以代表關(guān)于工的各種不同的代數(shù)式但在同一個問IK中, 利司的代數(shù)式變用不同的字母表示g(H),心,廠3等，1嫁合除海在學(xué)

2、習(xí)多項式除袪時我fl有帶余除法I/<JT> = (工) Q(X> + r(j)(J)其中fg賴示被除式，如it示除式呻表示商式 示余式，且余式尸(工)的次數(shù)小于除式烈刃的次數(shù).如果g")是一次式-s KIN工啲次數(shù)小于1個此*Q)只 能為常數(shù)(0或非零常數(shù))這時余式也叫余數(shù)記為九即有/(X)二(x a) q(x) + r(2)當(dāng)一個多項式除以一個形如T - «的一次武時，有一種簡價的 運算方攝嫁合除法我們用一個例于來說明”如求/(x> H 4 5jt i 7除以-r + 2所得的商式和余式.K先用一般的豎式除法計算3才-jx + 2 ) 3才 +5；

3、- 73f七6上疋一7k 二 2_ 5所商戒為余數(shù)為一5.從運算中我們可以發(fā)現(xiàn)上述運算實際上是它們系數(shù)之間 的運算，所以我們可以省去字母，將上面的除法用下面的簡 便方式來表示。_23 +5-7- 623-一5商式為3x- h余數(shù)為一5這種簡便的除法.稱為綜合除法其演算過程如下：(1) 被除式按工的降幕排列好.依次寫出各項的系數(shù)、遇 到缺項，必象用©補足，(2) 把除式J-d的常數(shù)項的相反數(shù)a寫在各項系數(shù)的左邊申彼 此用翌線隔開.(3) 下移第一個系數(shù)作為第三行的第一個散用它乘以s加上 第二個系敦，得到第三行的第二個數(shù)；再把這個數(shù)乘以5加上第三 個系數(shù)，就得列第三行的第三個數(shù)嚴(yán)，依此進

4、行運算，最話一個數(shù)即 為余戰(zhàn)杷它用線陽開線外就是商式的多項式系數(shù)3*余數(shù)定理和因式定理.由前面的（2）式當(dāng)xa時，有f(a) R h) * g(丁) + r = r,因此.我f有以下直要定理jtits多項式心除以仗一町所得的余數(shù)等于3如求/（J）= 3 + 5x - 7除以x + 2的余烈解 由干無+ 2 = 了一（一2）,- 2> = 3 X （- 2）r + 5 X （- 2） - 7 =- 5.所以，所求的余數(shù)為一 5.這與我們前面用綜合除法求得的余散相同.再由式知'如果/（»能餓工一立整躺那么胚有r = 0（£ 乙如果r=0.那么只旳豔被龍一血整除.由

5、Jt.Stll有，因式定理 若多項式fCc）能被疋一Q整除亦即ftr）有一F因 式左一町則f（a） 0 jfiii如果/（a> « 0+那么x a必為務(wù)項 式/4）的一個因式.例題講解例1、求2護一 3P分+ 5工+6除以U+1）所得的商式和 余LW用編合除法計算如下乍_12_3-1+5+6254-12一 54'廠5所以鬲式為加一 5” +飪+ X余數(shù)為5, 例2、 求多項式fCr) = 3屮+ 5F燈一 5除以工一 2所得 的商式和余數(shù)|先按降幕井列，fg = 3 + 5+ 2才 一 $=一 2x° + 3x? + 5F + 0 * 澤一 5用僚合除法，怦算

6、如下12-2 +3 +54 -206_512所以*商式為一 2刃一一2 -136才+近+ 6,余數(shù)為77.說明 注意應(yīng)先將只丈)按降轟排列，如果/(x>«項，應(yīng)該用零 補足.例3、 用綜合除法計算(6F 一 7P-F + 8) -r (2工+ 1)W 2x + l-2(x + |t 先用 3-7F-F + 8 除以工+ *.176 -7_10+ 8一 35-216 10429所以我們有6工'一7工'一工'十8=r + * | (6* - lOx2 + 4工- 2> + 9=2卜 + * y(6r* 10rz + 4工 _ 2) + 9(iz + 1

7、) (3a-1 - Sx1 + 2x - 1) + 9.因此所求的商式為3F 5P +肚一 I，余數(shù)為9*合除怯了*若通過計算得到fco說明 如果除式是一次式，但工前的系數(shù)不為1,即除式為（處 + b）. （a y= 0* a 1>* J8對先用fCc）除以工+ %這時就可用攥 工+呂*gCc）+廠.則/工）匸 斗工+工J* *冷（工）+ r =（4J + 6）* y 9（-i） +尸因此所 求的商武是扌' g（x）>余數(shù)仍為rt例4、（1）求工一1除f（“ = 7?4? - 6F + 5所再的余求肚一 2除/（x） = 7" 4*6* + 5所得的余數(shù).解（1）

8、由余數(shù)定理,所求的余數(shù)為/（!） = 7 X Is - 4 X 11 - 6 X I2 + 5 = 2. 由例3的說明播們知道/刃除以心+ 6的余數(shù)和找工） 除以工+ £的余數(shù)是相同的.所以卜7P 4弋一 6才+ 5除以2工一 2的余數(shù)和7卡心_ 6” + 5除以工一1的余數(shù)相同，于是，所求 的余數(shù)為/（） = 7 X I5 - 4 X ? - 6 X T + 5 - 2.'說明 本題也可用擦合除法求解.例 5、設(shè) f(jc) = 3/ + 10/ 一 15? 一 如 + 肚 + 仏求解 先用嫁合除法，卄算幻于卜+ *卜3+10-15-9+8+7_361339-18-39|

9、4求得fGr) -r jx + |j的余數(shù)為仏根據(jù)余數(shù)定理彳一*| =譏例6、多頊?zhǔn)絝(H)除以工一 1“_2所得的余敎分別為3和5* 求/(工)除以(x 一 1)(龍-2)所得的余式B根據(jù)題意由余數(shù)定理，知/(I) = 3, /(2) = 5：設(shè)f Cr)除以(J 一 1)&一 2)后所得商式為gQ人余式為處+ 札(因為除式是二次的，所以余式至多是一次的幾則了(工)=(X 1)(t 2) * y(jr) + (心 + b)r所以，有,/(1) = + 6 = 3f(1>/(2)=加十右=5.(2>A(l)> (2)薛辭莊=2" z 1.因此所求的余式為甘十

10、1.說明 余數(shù)定理討論的是fCr>除以一次式x-a的余數(shù)問 當(dāng)除式超過一次時.余式的形式就變得復(fù)雜了本題的方法具有普遍 性.可看作E余數(shù)定卻的一種推廣”例7、證明|當(dāng)是不相等的常數(shù)時*若關(guān)于丁的整式fCr) ft z-a和工一6整除，則/Q)也被(x 一 Hr -4)1除逵明 設(shè)只工)被(j- a)(j 6)除時*商式為q(x) *余式為 mx + s其中n為持定常數(shù)丫則/(j*)=(工a)才b * q(x) + mx + 乩因為/(幻能被亠山和工一&整除由因式定理得1/(a) = (口 a(<j b) qS + ma + n = 0f tb、= (b a)(6 b) *

11、qtb> + tnb 4- *i = 0»即 ma + n = 0,(1)mb H- n = 0*(2)由1) (2)得 3 = 0,又因為ab.所以祖工a把？w = 0代人(l),得用=Q所以林r +斤=0,因此JCr)除以(j-a)(j-6)的余式為0. 即/(工)被U-aHr-b)整除，例8、 試確定ci和b的值、便fB = 2 - 3x3 + 2 + 5工+0 肢 Cr+l)Cr 2)整除.解 因為/Gr)被"十1)(工一 2)廉除，所以化工被上+ 1和 x- 2整除，很據(jù)因式定理，有/(-I) 一 ZX(-l)4-3X(-l)5+dX(-l)2 + SX(-

12、1)+6=口 + b = 0,f = 2X24-3X2j+«X2s + 5X2 + A= 4 + 5+18 = 0、即a + = 0,4a + 6 + 18 3 0-解之得練 習(xí) 題仁|求2P十5+ - 4* + 8除以置十3所得的商丈及余數(shù).2、：（27J 一 9貳 + 5一 2）壬（3x 2）.3、設(shè)/（j）二十+ W W 虹+ 11被工+ 3整除”試耒左的艇4、舌'5、設(shè)fa、=才一盤戸一加+ 2被（z + 1）（工+ 2）整除*求 s 6的值6、多項式fCr）除以Q-2）和（龍一 3）所得的余數(shù)分別為k 2.階試求f（"除以（r - l）（z - 2）U - 3）所得的 余式*7、已迪多項式f（小=12 ft x - 2和忑3越躺試求叭丘的值*并求/（刃除以Gr 2）U 一 3）馬所得的 商式.8、設(shè) M = lrs- 17 + 12'+ &r? + 9z + 8t 求 /（- jX9、巳知關(guān)干畫的三次多項式除以卡一