三角形四心的向量性質(zhì)及其應(yīng)用

1、三角形“四心”的向量性質(zhì)及其應(yīng)用東陽市中天高級中學(xué)數(shù)學(xué)組：蔡航英自從2003年高考(江蘇卷)第5題向量考出彩后，在中學(xué)數(shù)學(xué)向量教學(xué)時，挖掘三角形“四心”向量性質(zhì)及其應(yīng)用，引起了廣泛重視。與三角形的“四心”(重心、垂心、外心、內(nèi)心)有關(guān)的向量問題是一類極富思考性和挑戰(zhàn)性，又具有相當(dāng)深度和難度的重要題型,備受各級各類考試命題者的青睞,頻頻出現(xiàn)在各級各類考試卷中，凸現(xiàn)出較好的區(qū)分和選拔功能，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)的極好素材，現(xiàn)將有關(guān)三角形“四心”向量性質(zhì)及其應(yīng)用羅列如下：一、三角形的重心的向量表示及應(yīng)用命題一已知是不共線的三點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，若則是的重心證明：如圖1所示，因?yàn)椋?以，為鄰邊作平行四

2、邊形，則有，所以又因?yàn)樵谄叫兴倪呅沃校挥邳c(diǎn)，所以，所以是的邊的中線故是的重心點(diǎn)評：解此題要聯(lián)系重心的定義和向量加法的意義；把平面幾何知識和向量知識結(jié)合起來解決問題是解此類問題的常用方法例1如圖2所示，的重心為為坐標(biāo)原點(diǎn)，試用表示解：設(shè)交于點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，圖2而點(diǎn)評：重心問題是三角形的一個重要知識點(diǎn)，充分利用重心性質(zhì)及向量加、減運(yùn)算的幾何意義是解決此類題的關(guān)鍵變式：已知分別為的邊的中點(diǎn)則證明：如圖的所示， 圖3 變式引申：如圖4，平行四邊形的中心為，為該平面上任意一點(diǎn)，則證明：，點(diǎn)評：（1）證法運(yùn)用了向量加法的三角形法則，證法2運(yùn)用了向量加法的平行四邊形法則（2）若與重合，則上式變?yōu)? 二、三

3、角形的外心的向量表示及應(yīng)用命題二：已知是內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)為ABC的外心。例2 已知G、M分別為不等邊ABC的重心與外心，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（1，0），且，（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；（2）若直線過點(diǎn)（0，1），并與曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且滿足，求直線的方程。解 （1）設(shè)C（x,y），則G（）， 其中， 由于， 故，外心M（0，），得軌跡E的方程是 （2）略。三、三角形的垂心的向量表示及應(yīng)用命題三：已知是內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)G為垂心。（2005全國文12）證明:由. 即則所以P為的垂心. 點(diǎn)評：本題將平面向量有關(guān)運(yùn)算、“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關(guān)知識巧

4、妙結(jié)合。變式：若H為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則點(diǎn)H是ABC的垂心BCHA圖6證明: 0即0同理，故H是ABC的垂心四、三角形的內(nèi)心的向量表示及應(yīng)用 命題四：O是內(nèi)心的充要條件是變式1：如果記的單位向量為，則O是內(nèi)心的充要條件是 變式2：如果記的單位向量為，則O是內(nèi)心的充要條件也可以是。例4（2003江蘇）已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，滿足，則P的軌跡一定通過ABC的內(nèi)心 。 PECOABD圖7解： 如圖由已知， ，設(shè)，D、E在射線AB和AC上。 AP是平行四邊行的對角線。又 ， ADPE是菱形。點(diǎn)P在 即 的平分線上。故P點(diǎn)的軌跡一定通過ABC的內(nèi)心。 五、三角形外心

5、與重心的向量關(guān)系及應(yīng)用命題五：設(shè)ABC的外心為O，則點(diǎn)G為ABC重心的充要條件為：圖8證明：如圖8，設(shè)G為重心，連結(jié)AG并延長，交BC于D，則D為BC的中點(diǎn)。 反之，若，則由上面的證明可知：設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則，從而，G在中線AD上且AG=AD，即G為重心。六、三角形外心與垂心的向量關(guān)系及應(yīng)用命題六：設(shè)ABC的外心為O，則點(diǎn)H為ABC的垂心的充要條件是。證明：如圖2，若H為垂心，以O(shè)B、OC為鄰邊作平行四邊形OBDC，圖9則 O為外心，OB=OC， 平行四邊形OBDC為菱形 ODBC，而AHBC， AHOD，存在實(shí)數(shù)，使得 。同理，存在實(shí)數(shù)，使得 比較、可得， 反之，若，則， O為外心，OB=

6、OCAHCB，同理，BHAC。 H為垂心。例6、已知H是ABC的垂心，且AH=BC，試求A的度數(shù)解：設(shè)ABC的外接圓半徑為R，點(diǎn)O是外心。 H是ABC的垂心 ，AH=BC， 而A為ABC的內(nèi)角， 02A360° 從而2A=90°或270° A的度數(shù)為45°或135°。七、三角形的外心、重心、垂心的向量關(guān)系及應(yīng)用命題七：ABC的外心、重心、垂心分別為O、G、H，則O、G、H三點(diǎn)共線（O、G、H三點(diǎn)連線稱為歐拉線），且OG=GH。圖10證明：如圖10，由命題五、六知，連結(jié)AG并延長，交BC于D，則D為BC的中點(diǎn)。，O、G、H三點(diǎn)共線，且OG=GH。

7、例7、已知O（0，0），B（1，0），C（b，c），是OBC的三個頂點(diǎn)。試寫出OBC的重心G，外心F，垂心H的坐標(biāo)，并證明G、F、H三點(diǎn)共線。（2002年全國）解：重心G為，設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，BC=(b-1，c)， ，故 H點(diǎn)的坐標(biāo)為 設(shè)外心F的坐標(biāo)為由|FO|=|FC|，得，所以F點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）。 從而可得出GH=（，），F(xiàn)H=（，） ，GHFH，F(xiàn)、G、H三點(diǎn)共線。 點(diǎn)評：向量不僅是平面解析幾何入門內(nèi)容，而且是解在關(guān)數(shù)形結(jié)合問題的重要工具。它一般通過概念的移植、轉(zhuǎn)化，將坐標(biāo)與向量結(jié)合起來，從而使一些難題在思路上獲得新的突破。例8、已知P是非等邊ABC外接圓上任意一點(diǎn)，問當(dāng)P位于何處時，P

8、A2+PB2+PC2取得最大值和最小值。解：如圖11，設(shè)外接圓半徑為R，點(diǎn)O是外心，則圖11PA2+PB2+PC2=（由命題六知：H為垂心，）當(dāng)P為OH的反向延長線與外接圓的交點(diǎn)時，有最大值6R2+2R·OH當(dāng)P為OH的延長線與外接圓的交點(diǎn)時，有最小值6R22R·OH隨著新課改的深入，向量成為高中新教材中新增加的重要內(nèi)容之一, 近幾年高考都將向量放在顯著的位置。向量有著豐富的物理背景，它既是代數(shù)研究的對象，又是幾何研究的對象，是集“數(shù)、形”于一身的數(shù)學(xué)概念。向量主要以平面幾何、直角坐標(biāo)系、三角函數(shù)等知識為基礎(chǔ)。通過向量的學(xué)習(xí)，一方面將我們對量的數(shù)學(xué)表達(dá)式的認(rèn)識進(jìn)入到一個新的領(lǐng)域，另一