人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)圓242 點(diǎn)和圓直線和圓的位置的關(guān)系切線長(zhǎng)定理講義

1、合作探究探究點(diǎn)1 直線與圓的三種位置關(guān)系及實(shí)際應(yīng)用知識(shí)講解 (1)直線和圓的三種位置關(guān)系:相離:一條直線和圓沒有公共點(diǎn).相切: 一條直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).相交:一條直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線和圓相交,這條直線叫做圓的割線.(2)判斷直線和圓的位置關(guān)系:設(shè)的半徑為,圓心到直線的距離為.直線和相交；直線和相切；直線和相離.注意 要判斷一條直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法:一看直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù);二看圓心到直線的距離與圓的半徑之間的關(guān)系.典例剖析例1 如下圖，在中，以為圓心，為半徑的圓與直線有何位置關(guān)系？為什么？（1）

2、；（2）；（3）.解析 過作,垂足為，求出的長(zhǎng)，比較與的大小即可判斷與直線的位置關(guān)系.答案 如圖，過作于.在中，則.又,所以.即,所以.（1） 當(dāng)時(shí)，與直線相離.（2） 當(dāng)時(shí)，與直線相切.（3） 當(dāng)時(shí)，與直線相交.類題突破1 的半徑為，圓心到直線的距離為，且是方程的兩根，則直線為的位置關(guān)系是_.答案 相交或相離點(diǎn)撥 方程的兩根為，或.當(dāng)時(shí)，直線為相交；當(dāng)時(shí)，直線為相離.探究點(diǎn)2 切線的判定定理知識(shí)講解（1） 定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.（2） 在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中明確指出圓與直線公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線.典型剖析

3、例2 如下圖，是的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在圓上，直線是的切線嗎？為什么？解析 運(yùn)用切線的判定方法，連接，說明答案 如圖，連接是的直徑，且，即為等邊三角形，又.根據(jù)經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線可知直線是的切線.規(guī)律總結(jié) 若已知一直線經(jīng)過圓上某一點(diǎn)，那么連接這點(diǎn)和圓心，說明該直線與半徑垂直即可判定該直線與圓相切.類題突破2 如下圖，為平分線上一點(diǎn)，于、為圓心、為半徑作.求證：與相切.答案 如圖，過作于.又為平分線上一點(diǎn)，,即點(diǎn)到的距離等于的半徑.與相切.點(diǎn)撥 如果不知直線與圓有無公共點(diǎn)，則過圓心作已知直線的垂線，證明垂線段的長(zhǎng)等于半徑，從而證明直線為圓的切線.這是證明切線的另一

4、種情形.要證與相切，只需證明點(diǎn)到的距離等于半徑即可.探究點(diǎn)3 切線的性質(zhì)定理知識(shí)講解(1)切線的性質(zhì)圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn).經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.(2)切線的性質(zhì)可總結(jié)如下:如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是:a.直線過圓心;b.直線過切點(diǎn);c.直線與圓的切線垂直.典例剖析例3 如下圖,是的直徑,為上一點(diǎn)，和過點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為,求證:平分.解析 是的切線，連接，則,再結(jié)合,問題即可解決.答案 如圖，連接. 是的切線,又，,即平分.類題突破3 如圖，是的兩條切線，是切點(diǎn)，連接，與直線交

5、于,請(qǐng)你根據(jù)圓的對(duì)稱性，寫出中的三個(gè)正確的結(jié)論.結(jié)論（1）：_;結(jié)論（2）：_;結(jié)論（3）：_;答案 （1）是等腰三角形 （2）是軸對(duì)稱圖形 （3）平分（4）垂直平分線段等（只寫三個(gè)即可）點(diǎn)撥 根據(jù)切線定理和等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，即可得到結(jié)論.探究點(diǎn)4 切線長(zhǎng)定理知識(shí)講解圓的切線長(zhǎng):定義:經(jīng)過圓外-點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).定理:從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角，注意:切線長(zhǎng)不是切線的長(zhǎng)度，圓的切線是直線，無法度量長(zhǎng)度.典例剖析例4 如下圖所示，是的切線，切于點(diǎn),交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若,試求的周長(zhǎng).解析

6、 過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線很容易得出,求的周長(zhǎng)也就轉(zhuǎn)化為求的長(zhǎng).答案 根據(jù)切線長(zhǎng)定理,所以的周長(zhǎng)為類題突破4 如圖所示，四邊形的邊和分別相切于點(diǎn).求證：答案 因?yàn)槎寂c相切，是切點(diǎn)，所以所以,即點(diǎn)撥 直接利用切線長(zhǎng)定理，得出，進(jìn)而得出結(jié)論.探究點(diǎn)5 三角形的內(nèi)切圓知識(shí)講解與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形，三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn).注意 任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)內(nèi)切圓，而任一個(gè)圓都有無數(shù)個(gè)外切三角形.典例剖析例5 如圖所示，已知的內(nèi)心為點(diǎn),求的大小.解析 此例容易混淆了內(nèi)心和外心的概念，把點(diǎn)當(dāng)成了的外心

7、,要注意把內(nèi)心和外心這兩個(gè)概念區(qū)分開來:三角形的內(nèi)心是三角形的內(nèi)切圓的圓心，它是三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，三角形的外心是三角形的外接圓的圓心，它是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)。答案 因?yàn)辄c(diǎn)為的內(nèi)心，所以,所以.又因?yàn)椋?所以.類題突破5 如右圖所示，是的內(nèi)切圓，為三個(gè)切點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（ ）A. B. C. D.答案 A重點(diǎn)難點(diǎn)重難點(diǎn)1 直線和圓的位置關(guān)系的判定及性質(zhì)設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為,直線和相交，直線和 相切，直線和相離.(1)“”左邊是直線和圓的位置關(guān)系，右邊是圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系;(2)直線和圓的位置關(guān)系和圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的;

8、(3)從左邊推出右邊是直線和圓的位置關(guān)系的性質(zhì)，從右邊推出左邊是直線和圓的位置關(guān)系的判定.例1 已知的圓心到直線上一點(diǎn)的距離等于的半徑，則直線和的位置關(guān)系是_.解析 要判斷直線和的位置關(guān)系，必須先弄清的圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系，此題有兩個(gè)可能:一是直和相切;二是直線和相交.答案 相切或相交易錯(cuò)警示 區(qū)分開的長(zhǎng)度不一定是圓心到直線的距離.類題突破1 在 中，為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），的半徑，則在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，直線與相交?相切?相離?思路圖示 過圓心作垂線計(jì)算OD的長(zhǎng)比較OD的長(zhǎng)與r的大小關(guān)系結(jié)論答案 如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則.當(dāng)，即時(shí)，直線與相交；當(dāng)，即時(shí)，直線與相切；當(dāng)，即時(shí)，直線與相

9、離.重難點(diǎn)2 切線的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用(1)在應(yīng)用判定定理時(shí)注意:切線必須滿足兩個(gè)條件: (i)經(jīng)過半徑的外端;(ii)垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線，切線的判定定理實(shí)際上是從“圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線和圓相切”這個(gè)結(jié)論直接得出來的，在判定條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑，可簡(jiǎn)單地說成“無交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”;當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡(jiǎn)單地說成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”。(2) 在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)應(yīng)注意:切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)

10、;圓心到切線的距離等于半徑;經(jīng)過圓心并垂直于切線的直線必過切點(diǎn);經(jīng)過切點(diǎn)并垂直于切線的直線必過圓心.例2 如圖所示，已知中，以為直徑作，交于，交于，過作于.（1） 求證：是的切線；（2） 求四邊形的面積.解析 （1）由題意知，與有公共點(diǎn)，故只需證即可.（2)用,得.答案 (1)如圖，連接.是的直徑，.又，又.又.即是的切線.（2）在中,.設(shè),則,即，解得規(guī)律總結(jié)在切線的三種判定方法中，常用的有兩種;當(dāng)題目中未出現(xiàn)直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)，一般過圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長(zhǎng)等于半徑;當(dāng)題目中出現(xiàn)了公共點(diǎn)時(shí)，往往連接該點(diǎn)與圓心，證明這條半徑與直線垂直即可，類題突破2 直線切于點(diǎn),為的任一條直徑，點(diǎn)

11、在直線上，且與不在同一條直線上),畫出圖形，試判斷四邊形是怎樣的特殊四邊形，證明你所得到的結(jié)論。答案 如圖(1)，當(dāng)與直線不平行時(shí)，四邊形是直角梯形證明如下:在中,又，與直線相切于點(diǎn)，又與直線不平行，四邊形為直角梯形.如圖(2),當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形，證明如下:同(1)可證得.，四邊形為矩形，又,四邊形為正方形.點(diǎn)撥 本題可根據(jù)題意先畫出與它的切線,再畫直徑,最后根據(jù)來確定點(diǎn)的位置，在探索四邊形的形狀時(shí)，可轉(zhuǎn)動(dòng)直徑,畫出幾個(gè)不同位置的圖形進(jìn)行觀察和猜想，發(fā)現(xiàn)在一般情況下，四邊形是直角梯形，而當(dāng)時(shí)，四邊形就變成了正方形，所以在解題時(shí)須分兩種情況進(jìn)行分類討論。重難點(diǎn)3 切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用(1)切線長(zhǎng)

12、要與切線區(qū)別開，切線是直線，不可以度量;切線長(zhǎng)是切線上一條線段的長(zhǎng)，可以度量，不要理解為切線長(zhǎng)就是切線的長(zhǎng)度.(2)經(jīng)過圓外一點(diǎn)，可以作兩條直線與該圓相切.(3)切線長(zhǎng)的性質(zhì)與切線的性質(zhì)聯(lián)系非常密切，切線的所有性質(zhì)仍然適合切線長(zhǎng).(4)切線長(zhǎng)定理包含著一些隱含結(jié)論:垂直關(guān)系三處;全等關(guān)系三對(duì);弧相等關(guān)系兩對(duì),在一些證明求解問題中經(jīng)常用到.例3 如圖，都為的切線，切點(diǎn)分別為，則（1）求的周長(zhǎng)；（2）求的度數(shù).解析 (1)根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到,于是得到,即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得到,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到,即可得到結(jié)論.答案 (1)都為O的切線，即的周長(zhǎng)為12.(2)如圖，連接OF.分別切

13、0于A、B、F三點(diǎn)，類題突破3 如圖所示，為外一點(diǎn),切于切于是直徑,請(qǐng)問:與平行嗎?為什么?答案 平行，理由:連接AB交OP于D.為的切線，是直徑，,易錯(cuò)指導(dǎo)易錯(cuò)點(diǎn)1 判斷直線和圓的位置關(guān)系時(shí)出錯(cuò)例1 的圓心到直線的距離為,的半徑為,若,是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則直線和的位置關(guān)系是_.錯(cuò)解 相交錯(cuò)因 分析產(chǎn)生錯(cuò)解的原因是判斷直線和圓的位置關(guān)系時(shí)考慮問題不全面，求出一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以判斷相交，而沒有考慮到,的值有兩種情況.正解 相交或相離糾錯(cuò)心得 在解決問題的過程中，要注意分類討論，對(duì)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行正確判斷.易錯(cuò)點(diǎn)2 對(duì)三角形的外心、內(nèi)心、垂心的概念混淆而導(dǎo)致出錯(cuò)例2  在中，若，點(diǎn)分別為的內(nèi)心外心、垂心時(shí)，則的度數(shù)分別為_.錯(cuò)解  80°,80°,80°錯(cuò)因分析 不能正確理解三角形的外心、內(nèi)心、垂心的概念，正解  110°,80°,140° 糾錯(cuò)心得 要注意三條角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心;三條邊垂直平分線的交點(diǎn)叫做三角形的外心;三條高線的交點(diǎn)叫做三角形